1.2函数概念.md

函数

定义：由一个x，可以唯一确定一个y，是个函数

ex : $y=x^2$是函数 ![[Pasted image 20220814104100.png | 300]]

$y^2=x$不是函数 ![[Pasted image 20220814104224.png|300]]

应用：[[#^d11217 | 反函数存在条件]]

反函数

定义 由$y = f(x)$, 定义其逆函数$x = f^{-1}(y)$ $f^{-1}$这个变换就叫$y$到$x$的反函数

ex
$y=2x$反函数是$x=\frac{1}{2}y$

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反函数存在充要条件 :$x,y$一一对应 即$x \xrightarrow{f} y$且$y \xrightarrow{f^{-1}} x$ 见 [[#函数]] ^c4fe03

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性质：

1. 单调函数一定存在反函数

   1. tip：非单调函数也可能存在反函数 见 [[#^c4fe03|反函数存在充要条件]]
   2. 会用在[[不定积分的换元积分法#第二换元法]]

2. 注意 ![[Pasted image 20220815221700.png]]

3.$f(f^{-1}(x))=x$ 对这个形式要敏感，在[[变限积分]]中会出现 ${\displaystyle {\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{a}^{f^{-1} (x)}f(t)\mathrm {d} t=f(f^{-1} (x)) d[f^{-1}(x)]}=x*d[f^{-1}(x)]$

复合函数

根据定义，求法很简单，$f(x)$与$g(x)$复合即$f(g(x))$

要注意的是分段函数的复合: 例一： 设$f(x)=\left{\begin{array}{ll}e^{x} & x<1 \ x^{2}-1 & x \geq 1\end{array} ， g(x)=\left{\begin{array}{ll}x+2 & x<0 \ x^{2}-1 & x \geq 0\end{array}\right.\right.$，求$f[g(x)]$

1.广义化，也就是写出$f(g(x))$的表达式。这种写法要记住，形成格式

$f[g(x)]=\left{\begin{array}{ll}e^{g(x)} & g(x)<1 \ {[g(x)]^{2}-1} & g(x) \geq 1\end{array}\right.$

2.解出定义域的$g(x)$，显然要分类讨论(画图!)

当$g(x)<1$时 (1) 当$x<0$ $g(x)=x+2&lt;1 \Rightarrow x&lt;-1$ 故此时$x<-1$，且$g(x)=x+2$ (2) 当$x \geq 0$ $g(x)=x^{2}-1&lt;1 \Rightarrow-\sqrt{2}&lt;x&lt;\sqrt{2}$ 故$0 \leq x<\sqrt{2}$，且$g(x)=x^{2}-1$ 当$g(x) \geq 1$时 (1) 当$x<0$ $g(x)=x+2 \geq 1 \Rightarrow x \geq-1$ 故此时$-1 \leq x<0$，且$g(x)=x+2$ (2) 当$x \geq 0$ $g(x)=x^{2}-1 \geq 1 \Rightarrow x \geq \sqrt{2}$或$x \leq-\sqrt{2}$ 故$x \geq \sqrt{2}$，且$g(x)=x^{2}-1$

因此有$g(x)<1$时$\left{\begin{array}{l}g(x)=x+2 \quad x<-1 \ g(x)=x^{2}-1 \quad 0 \leq x<\sqrt{2}\end{array}\right.$ $$ g(x) \geq 1 \text { 时 }\left{\begin{array}{l} g(x)=x+2 \quad-1 \leq x<0 \ g(x)=x^{2}-1 \quad x \geq \sqrt{2} \end{array}\right. $$

3.回带$g(x)$，整理

有$f[g(x)]=\left{\begin{array}{ll}e^{x+2} & x<-1 \ e^{x^{2}-1} & 0 \leq x<\sqrt{2} \ (x+2)^{2}-1 & -1 \leq x<0 \ \left(x^{2}-1\right)^{2}-1 & x \geq \sqrt{2}\end{array}\right.$ 整理后如下 $$ f[g(x)]=\left{\begin{array}{lc} e^{x+2} & x<-1 \ (x+2)^{2}-1 & -1 \leq x<0 \ e^{x^{2}-1} & 0 \leq x<\sqrt{2} \ \left(x^{2}-1\right)^{2}-1 & x \geq \sqrt{2} \end{array}\right. $$