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<title> Soy un simple adolescente - Matemáticas</title>
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<body class="Soy un simple adolescente">
<header class="header">
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<main>
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<span class="nota">¿Qué tema desea buscar?</span>
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<br>
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<h2>Ruleta para estudiar</h2>
</div>
<br>
<div id="wheel">
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<h2 class="text"></h2><br><br>
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<div class="contacto">
<h2>Contáctanos</h2>
<p>Si tienes alguna duda con el contenido de la página nos puedes escribir a las siguientes direcciones:</p>
<div class="contactoflex">
<div>
<h2>Luis Noriega</h2>
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<p class="two"><strong>+58 424-1297004</strong></p>
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<p class="four"><strong>[email protected]</strong></p>
</div>
</div>
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<h2>Javier González</h2>
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<p class="four"><strong>[email protected]</strong></p>
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</div>
<section id="pitagoras" class="standard hidden4" >
<div class="pitagoras">
<br>
<hr>
<br>
<h2>Teorema de Pitágoras y Funciones Trigonométricas</h2>
<div id="abcde" class="flex">
<div>
<p >    El <span class="textopitagoras">Teorema de Pitágoras</span> nos indica que todos los
triángulos cumple la propiedad de que la suma de sus catetos elevados al cuadrado, es igual a
la hipotenusa elevada al cuadrado.</p>
<p>    Es importante saber que la hipotenusa es el lado más largo del triángulo y siempre está
opuesto al ángulo recto. Por otro lado los catetos se pueden identificar como cateto adyacente
y cateto opuesto, de acuerdo a la posición del ángulo.El cateto adyacente vendría a ser el
cateto más cercano al ángulo recto, prácticamente es el lado que está junto al angulo dado.
Mientras que el cateto opuesto es el que está en frente del ángulo. </p>
<p><span class="nota">    NOTA: </span>El <span class="italics">cateto adyacente</span> representa el coseno del ángulo, mientras que el <span class="italics">cateto opuesto</span> opuesto representa el seno del ángulo</p>
</div>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80-350" src="https://www.neurochispas.com/wp-content/uploads/2021/05/como-aplicar-el-teorema-de-pitagoras.png"
alt="Triángulo Rectángulo">
</div>
</div>
<hr>
<br>
<div id="abcde" class="flex">
<div>
<p >    Las <span class="textopitagoras">Funciones Trigonométricas</span> son las comparaciones entre
los 3 lados y los 3 ángulos de un triángulo rectángulo. De esa forma, podemos determinar el seno,
el coseno, la tangente, la cotagente, la secante y la cosecante de cualquier triángulo rectángulo, en base
a sus catetos e hipotenusa. Siendo las funciones más comúnes el <span class="italics">seno</span>,
el <span class="italics">coseno</span> y la <span class="italics">tangente</span>.</p>
<br>
<p><span class="nota">    NOTA: </span>El <span class="italics">seno del ángulo</span> es el opuesto de la
cosecante,<span class="italics"> el coseno del ángulo</span> es el de la secante y por último,
<span class="italics"> la tangente del ángulo</span> es el opuesto de la cotagente </p>
</div>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80-500 " src="https://cursoparalaunam.com/wp-content/uploads/2021/12/las-razones-trigonometricas.jpg"
alt="Razones Trigonométricas">
</div>
</div>
<div>
<div class="pdf-grid" >
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class="pdf "></iframe>
</div>
<div class="button grid21">
<button><a href="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs/Matemáticas/Pitágoras/pitagorasluis.pdf" target="_blank">Abrir en otra ventana</a></button>
</div>
<div class="iframe grid12">
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class="pdf "></iframe>
</div>
<div class="button grid22">
<button><a href="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs/Matemáticas/Pitágoras/pitagorasexamen.pdf" target="_blank">Abrir en otra ventana</a></button>
</div>
</div>
</div>
</div>
</section>
<section id="angulos" class="standard hidden4" >
<div class="angulos" >
<br>
<hr>
<br>
<h2>Ángulos</h2>
<br>
<ul class="unorderedlist">
<li><h3>Ángulos Notables</li></h3>
<div class="flex">
<div>
<p>    Los <b>ángulos notables</b> son aquellos que salen con mayor frecuencia en la trigonometría,
y a cada uno de ellos se le asigna un valor para facilitar los cálculos. Los ángulos notables son
<b> 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° y 360°</b>. De esa forma, se facilitan la resolución de
las razones trigonométricas.</p>
</div>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80-500" src="https://i0.wp.com/matematicascercanas.com/wp-content/uploads/2015/11/razonestrigono_01.jpg?resize=501%2C206&ssl=1"
alt="Ángulos notables">
</div>
</div>
<li><h3>Ángulos Sexagesimales</h3></li>
<div class="flex">
<div>
<p>    El sistema de medida de <b>ángulos sexagesimal</b>, está definido por grados, minutos
y segundos. Los <em>grados sexagesimales</em> van ubicados en la izquierda y tienen el símbolo de <b>(°)</b>,luego vienen
los <em>minutos sexagesimales</em> que están representados por una sola comilla <b>(')</b> y por último están los
<em>segundos sexagesimales</em> los cuales se identifican con las comillas dobles<b>(")</b>.</p>
<p><b>Conversion entre ángulos sexagesimales</b></p>
<ul class="ulspace">
<li><p>1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales)</p></li>
<li><p>1 grado sexagesimal = 60' (minutos sexagesimales)</p></li>
<li><p>1 minuto sexagesimal = 60"(segundos sexagesimales)</p></li>
</ul>
</div>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80-500" src="https://www.mundoprimaria.com/wp-content/uploads/2022/07/que-es-el-sistema-sexagesimal-para-ninos-y-ninas.jpg"
alt="Ángulos sexagesimales">
</div>
</div>
<br>
<li><h3>Radianes</h3></li>
<div class="flex">
<div>
<p>    Un <em>radián</em> es una unidad de medida que se utiliza para medir los ángulos,
se representan con el símbolo pi <b>(π)</b> y un radián es equivalente a
<b>180°</b>. De esta forma, 2π representan <b>360°</b> (un círculo completo), y <Sup>π</sup>/<sub>2</sub> representa
<b>90°</b> (un ángulo recto).</p>
<ul class="ulspace">
<li><p>π = 180° </p></li>
<li><p>2π = 360°</p></li>
<li><p><Sup>π</sup>/<sub>2</sub> = 90° </p></li>
<li><p><Sup>π</sup>/<sub>4</sub> = 45° </p></li>
</ul>
</div>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80-500" src="https://educapedia.org/wp-content/uploads/2020/10/radianes-a-grados.jpg"
alt="Radianes">
</div>
</div>
</ul>
</div>
<div class="pdf-grid" >
<div class="iframe grid11">
<iframe loading="lazy" src="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs/Matemáticas/Pitágoras/ejerciciosangulos.pdf"
class="pdf"></iframe>
</div>
<div class="button grid21">
<button><a href="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs/Matemáticas/Pitágoras/ejerciciosangulos.pdf" target="_blank">Abrir en otra ventana</a></button>
</div>
<div class="iframe grid12">
<iframe loading="lazy" src="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs/Matemáticas/Pitágoras/pitagorasangulos.pdf"
class="pdf"></iframe>
</div>
<div class="button grid22">
<button><a href="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs/Matemáticas/Pitágoras/pitagorasangulos.pdf" target="_blank">Abrir en otra ventana</a></button>
</div>
</div>
</div>
<br>
<hr>
<br>
</section>
<section id="IdentidadesTrigonometricas" class="standard hidden4" >
<br>
<h2>Identidades fundamentales</h2>
<div class="flex" >
<div>
<p>    Existen muchas identidades trigonómetricas, siendo las más famosas, las identidades pitágoricas o fundamentales, las cuales
gracias al Teorema de Pitágoras nos indica que <b>sen<sup>2</sup>α + cos<sup>2</sup> α = 1</b>. Esto sucede,
ya que <b>cosα = x</b> y <b>senα = y,</b> entonces al elevar cada uno al cuadrado y sumarlos, siempre el resultado
será <b>1</b>. </p>
<p>    El resto de las identidades surgen o se crean a partir de la identidad base. Una de ellas es <b>1 + ctg<sup>2</sup>α = csc<sup>2</sup>α</b>,
la cual se forma diviendo todos los términos entre <b>sen<sup>2</sup>α</b>. Por ende, <b>sen<sup>2</sup>α / sen<sup>2</sup> α</b> se convierte en <b>1</b>,
posteriormente, al dividir <b>cos<sup>2</sup>α / sen<sup>2</sup> α</b> obtenemos <b>ctg<sup>2</sup>α</b>, así pues, conseguimos <b>csc<sup>2</sup>α</b>
gracias a dividir <b> 1 / cos<sup>2</sup>α</b>, </p>
<p>    La tercera identidad, a diferencia de la segunda se genera al dividir ambos lados de la igualdad entre <b>cos<sup>2</sup> α</b>, de tal forma forma que <b>sen<sup>2</sup>α / cos<sup>2</sup> α</b>
se convierte en <b>tan<sup>2</sup>α</b>,luego <b>cos<sup>2</sup>α / cos<sup>2</sup> α</b> se convierte en <b>1</b> y por ultimo, <b>1 / cos<sup>2</sup> α</b> se transforma en <b>sec<sup>2</sup>α</b>.
Siendo así <b>tan<sup>2</sup>α + 1 = sec<sup>2</sup>α</b> una identidad trigonométricas.
</p>
</div>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80-300" src="https://i0.wp.com/lasmatesfaciles.com/wp-content/uploads/2019/10/imagen-2.png?resize=312%2C524&ssl=1"
alt="Identidades Trigonométricas">
</div>
</div>
<div class="flex">
<div>
<p><span loading="lazy" class="nota">    NOTA:</span> Estas identidades se derivan del circulo unitario, es por eso que al
sumar el seno y el coseno elevados al cuadrado obtenemos 1, ya que sería la hipotenusa(el radio), el cual vale 1</p>
<ul class="ulspace">
<li><p>sen = seno</p></li>
<li><p>cos = coseno</p></li>
<li><p>tan = tangente</p></li>
<li><p>csc = cosecante</p></li>
<li><p>sec = secante</p></li>
<li><p>ctg = cotangente</p></li>
</ul>
</div>
<div class="img">
<img class="space-img img80-300" src="https://www.neurochispas.com/wp-content/uploads/2021/05/seno-y-coseno-en-circulo-unitario.png"
height="195" alt="Círculo Unitario">
</div>
</div >
<div class="margin">
<h2>Otras identidades trigonométricas</h2>
<ul>
<li><h3>Suma y Resta de ángulos</h3></li>
<br>
<br>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80-300" src="https://www.matesfacil.com/ESO/trigonometria/suma/p0.png"
alt="Suma de ángulos">
</div>
<br>
<br>
<li><h3>Ángulo Doble</h3></li>
<br>
<br>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80-300" src="https://www.neurochispas.com/wp-content/uploads/2022/01/identidades-de-angulos-dobles.png"
height="300" alt="Ángulo Doble">
</div>
<br>
<br>
<li><h3>Ángulo Medio</h3></li>
<br>
<br>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80-300" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\begin{align*}&space;\bullet&space;&&space;\hspace{1.0em}&space;\sin&space;\frac{\pi&space;}{2}=\pm&space;\sqrt{\frac{1-\cos&space;a}{2}}&space;\\&space;\bullet&space;&&space;\hspace{1.0em}&space;\cos&space;\frac{\pi&space;}{2}=\pm&space;\sqrt{\frac{1+\cos&space;a}{2}}&space;\\&space;\bullet&space;&&space;\hspace{1.0em}&space;\tan\frac{\pi&space;}{2}=&space;\sqrt{\frac{1-\cos&space;a}{1+\cos&space;a}}\\&space;\end{align*}"
alt="Ángulo medio">
</div>
</ul>
<br><br>
</div>
<div class="pdf" >
<div class="iframe">
<iframe loading="lazy" src="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs/Matemáticas/Pitágoras/identidades.pdf"
class="pdf"></iframe>
</div>
<br>
<div class="button">
<button><a href="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs/Matemáticas/Pitágoras/identidades.pdf" target="_blank">Abrir en otra ventana</a></button>
</div>
</div>
</div>
<br>
<br>
</section>
<section id="TeoremaSenoCoseno" class="standard hidden4" >
<hr>
<br>
<h2>Teorema del Seno y del Coseno</h2>
<br>
<div class="flex">
<div class="angulos">
<h3 class="margin">Teorema del seno</h3>
<p>    El <b>Teorema del Seno</b> establece una relación entre cualquier lado de un tríangulo con su ángulo opuesto.
Básicamente, relaciona las longitudes de los lados con el seno de los ángulos opuestos.</p>
<br>
<p>La ecuación que la compone es: <b><sup>a<sup>2</sup></sup>/<sub>senα</sub> = <sup>b<sup>2</sup></sup>/<sub>senβ</sub> = <sup>c<sup>2</sup></sup>/<sub>senγ</sub> </b> </p>
</div>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80-450" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Ley_de_los_senos.svg/1200px-Ley_de_los_senos.svg.png"
height="275px" alt="Ángulo medio">
</div>
</div>
<br>
<div class="flex">
<div class="angulos">
<h3 class="margin">Teorema del Coseno</h3>
<p>    El <b>Teorema del Coseno</b> establece una relación entre 2 lados cualquiera del triángulo con el ángulo
formado entre ellos. Básicamente, relaciona las longitudes de dos lados con el coseno del ángulo que forman entre ellos.</p>
<br>
<p>El teorema del coseno tiene 3 diferentes ecuaciones de acuerdo al lado que quieres hallar:</p>
<ul class="margin">
<li><p>a<sup>2</sup> = b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup> - 2b × c×cosα</p></li>
<li><p>b<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> + c<sup>2</sup> - 2a × c×cosβ</p></li>
<li><p>c<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> - 2a × b×cosγ</p></li>
</ul>
</div>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80-300" src="https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/coseno/TCOS1.png"
alt="Ángulo medio">
</div>
</div>
<div class="pdf" >
<div class="iframe">
<iframe loading="lazy" src="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs/Matemáticas/Pitágoras/teoremasenocoseno.pdf"
class="pdf"></iframe>
</div>
<br>
<div class="button">
<button><a href="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs/Matemáticas/Pitágoras/teoremasenocoseno.pdf" target="_blank">Abrir en otra ventana</a></button>
</div>
</div>
<br>
<br>
</div>
</section>
<section id="EcuacionesTrigonometricas" class="standard hidden4" >
<hr>
<br>
<h2>Ecuaciones</h2>
<br>
<div class="flex">
<div class="angulos">
<h3 class="margin">Ecuaciones Trigonómetricas</h3>
<p>    En el caso de las <b>ecuaciones trigonómetricas</b> la incógnita pasa de ser un número a ser un ángulo que
satisface la ecuación. Cabe decir que en las ecuaciones trigonométricas pueden haber una o más identidades.</p>
<p><b>    Recomendación: </b>A la hora de resolver las ecuaciones trigonómetricas se recomienda convertir todos los términos
a una misma variable, generalmente, se suelen convertir las variables en función del <b>seno</b> o del <b>coseno</b>, y en algunos
casos de la <b>tangente</b>. De esta forma es más fácil tanto resolver la ecuación, cómo hallar el valor del ángulo. </p>
</div>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80-250" src="https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/uploads/2021/01/Ecuaciones-trigonometricas-resueltas.png"
alt="Ecuaciones trigonométricas">
</div>
</div>
</div>
<div class="pdf" >
<div class="iframe">
<iframe loading="lazy" src="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs/Matemáticas/Pitágoras/EcuacionesTrigonometricas.pdf"
class="pdf"></iframe>
</div>
<br>
<div class="button">
<button><a href="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs/Matemáticas/Pitágoras/EcuacionesTrigonometricas.pdf" target="_blank">Abrir en otra ventana</a></button>
</div>
</div>
<br>
<br>
<div class="flex">
<div class="h3">
<h3 class="margin">Ecuaciones Exponenciales</h3>
<p>Son ecuaciones cuya incógnita únicamente forma parte de un exponente.
La incógnita puede aparecer en el exponente de uno o más términos, en cualquier miembro de la ecuación. Para resolver
resolver estas ecuaciones hay 2 formas, la primera es con igualación de bases para así poder obtener una ecuación de los exponentes para despejar x(la incógnita).
La segunda es aplicando logaritmos a ambos lados de la igualdad.
</p>
<p><span class="nota">    NOTA:</span> En estas ecuaciones se suelen usar las propiedades de la potenciación, los logaritmos y los cambios de variable </p>
</div>
<div class="img">
<img loading="lazy" src="https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/uploads/2021/01/Ecuaciones-exponenciales-resueltas.png"
class="space-img img80-250" alt="Ecuaciones Exponenciales">
</div>
</div>
<div class="pdf-grid" >
<div class="iframe grid11">
<iframe loading="lazy" src="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs/Matemáticas/Logaritmos/ecuacionesexponenciales.pdf"
class="pdf"></iframe>
</div>
<div class="button grid21">
<button><a href="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs/Matemáticas/Logaritmos/ecuacionesexponenciales.pdf" target="_blank">Abrir en otra ventana</a></button>
</div>
<div class="iframe grid12">
<iframe loading="lazy" src="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs/Matemáticas/Logaritmos/ecuacionesvariadas.pdf"
class="pdf"></iframe>
</div>
<div class="button grid22">
<button><a href="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs/Matemáticas/Logaritmos/ecuacionesvariadas.pdf" target="_blank">Abrir en otra ventana</a></button>
</div>
</div>
<br>
<br>
<div class="h3">
<h3 class="margin">Ecuaciones Logarítmicas</h3>
<p>Son aquellas donde la incógnita forma parte del argumento del logaritmo. Para resolverlos hay que utilizar propiedades de los logaritmos y antilogaritmos.</p>
<div class="center">
<img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/ecuacioneslogaritmicas.JPG" alt="Ecuaciones logaritmicas">
</div>
</div>
<br>
<div class="pdf-grid" >
<div class="iframe grid11">
<iframe loading="lazy" src="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs/Matemáticas/Logaritmos/ecuacioneslogaritmicas.pdf"
class="pdf"></iframe>
</div>
<div class="button grid21">
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</div>
<div class="iframe grid12">
<iframe loading="lazy" src="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs/Matemáticas/Logaritmos/sistemaecuacioneslogexp.pdf"
class="pdf"></iframe>
</div>
<div class="button grid22">
<button><a href="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs/Matemáticas/Logaritmos/sistemaecuacioneslogexp.pdf" target="_blank">Abrir en otra ventana</a></button>
</div>
</div>
<br>
<br>
</section>
<section id="NumerosImaginarios" class="standard hidden4" >
<hr>
<br>
<h2>Numeros Complejos</h2>
<div class="flex">
<div class="angulos">
<p>    Un <b>número complejo</b> es la suma de un número real y un un número imaginario. Ese número imaginario
se simboliza con la letra i y representa √-1, es decir, se utiliza "i" para representar todas las raíces negativas
que no tienen una solución real.</p>
<p><b>Fórmula de los números complejos:</b> z = a + b×i <br><br>
Siendo a la parte real y b la parte imaginaria</p>
<h3 class="margin">Potencias de la unidad imaginaria</h3>
<ul class="ulspace">
<br>
<br>
<li><p>i<sup>0</sup> = 1</p></li>
<li><p>i<sup>1</sup> = i</p></li>
<li><p>i<sup>2</sup> = -1</p></li>
<li><p>i<sup>3</sup> = -i</p></li>
<li><p>i<sup>4</sup> = -1</p></li>
</ul>
<p><span class="nota">    NOTA:</span> A partir de la 4ta potencia de i, se empiezan a repetir los números,
por eso para calcular el valor de números imaginarios con potencia mayor a 3, debemos dividir esa potencia entre 4,
y el resto indicará su potencia entre 0 y 3, en la cual podras deducir su valor.</p>
</div>
<div >
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80-250" src="https://i.ytimg.com/vi/jHERiQIf9KA/maxresdefault.jpg"
alt="Número Complejo">
</div>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80-250" src="https://matemelga.files.wordpress.com/2018/08/imaginario.jpg"
alt="Número Imaginario">
</div>
</div>
</div>
<br><br>
<div class="flex">
<div class="angulos">
<h3 class="margin">Plano cartesiano con números complejos</h3>
<p>    Los números complejos también se pueden escribir en forma de par ordenado, de tal forma que la parte real representa
el eje x, y la parte imaginaria representando el eje y. <br>
<b> z = a + b×i = (a,b)</b>
</p>
<h3 class="margin">Tipos de números complejos</h3>
<ul class="margin">
<li><p> <b>Imaginarios puros:</b> En este caso la parte real es cero => Z = 0 + bi → (0,b)</p></li>
<li><p><b>Reales puros:</b> En este la parte imaginaria es 0 => Z = a + 0i → (a,0)</p></li>
<li><p><b>Complejo Nulo:</b> En este caso ambas parte, tanto la real como la imaginaria son 0 => Z = 0 + 0i → (0,0)</p></li>
<li><p><b>Opuesto de un complejo:</b>Sea z = a + bi su opuesto será -z = -a - bi
<br><b>Ejemplo:</b> z= -3 +5i → -z= +3 - 5i</p></li>
<li><p><b>Conjugada de un complejo:</b> Sea z = a + bi su opuesto será ƶ = a - bi
<br><b>Ejemplo:</b> z= -5 +3i → ƶ= -5 - 3i</p></li>
</ul>
</div>
<div>
<br><br>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80-350" src="https://i.ytimg.com/vi/8ycGicTWcFU/maxresdefault.jpg"
alt="Plano cartesiano números complejos">
</div>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80-500" src="https://i.ytimg.com/vi/wBHZBE8ocEg/maxresdefault.jpg"
alt="Plano cartesiano números complejos">
</div>
</div>
</div>
<div class="pdf" >
<div class="iframe">
<iframe loading="lazy" src="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs\Matemáticas\NumerosImaginarios/numeroscomplejos.pdf"
class="pdf"></iframe>
</div>
<br>
<div class="button">
<button><a href="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs\Matemáticas\NumerosImaginarios/numeroscomplejos.pdf" target="_blank">Abrir en otra ventana</a></button>
</div>
</div>
<br>
<div>
<div class="angulos">
<h3 class="margin">Operaciones con números complejos</h3>
<ol class="margin">
<li><p> <b>Adición y sustracción:</b> En este caso simplemente hay que juntar las partes reales y las partes imaginarias para poder realizar la operación.
En el caso de la suma no hay que realizar más nada, simplemente sumas las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí. Sin embargo, en la resta,
primero hay que cambiarle el signo a toda el número complejo (tanto la parte real como la imaginaria) para luego poder sumar cada parte.
<br><br><b> Ejemplo:</b></p>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/sumarestacomplejos.png"
alt="Suma y resta con números complejos">
</div>
</li>
<li><p><b>Multiplicación:</b>En este caso, hay que realizar una multiplicación distributiva y luego realizar una suma algebraica entre los términos.
Aunque, el último término siempre quedará con un i<sup>2</sup> el cual le cambiará el signo al número y se convertirá en un número real.
<br><br><b>Ejemplo:</b></p>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/multiplicacioncomplejos.png"
alt="Multiplicación con números complejos">
</div>
</li>
<li><p><b>División:</b> En el caso de las divisiones tenemos que multiplicar ambos terminos por la conjugada del denominador.
De esa forma se puede realizar el siguiente producto notable en el denominador => (a + b) × (a - b) = a<sup>2</sup> - c <sup>2</sup>
<br><br><b>Ejemplo:</b></p>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/divisioncomplejos.png"
alt="Division con números complejos">
</div>
</li>
<li><p><b>Sistemas de ecuaciones:</b> En el caso de los sistemas de ecuaciones lo que hay que hacer es igualar las partes reales y las partes imaginarias, para que queden 2 ecuaciones lineales.
<br><br><b>Ejemplo:</b></p>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/ecuacionescomplejos.png"
alt="Ecuaciones con números complejos">
</div>
</li>
<li><p><b>Raíz cuadrada de un complejo:</b> Para un complejo z= a + bi su raíz cuadrada será → √(a + bi) = x + yi
<br>Por lo tanto, el problema consiste en hallar los valores de "<b>x</b>" y "<b>y</b>".
<br><br><b>Ejemplo:</b></p>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/raizcomplejos.png"
alt="Raíz cuadrada de números complejos">
</div>
</li>
</ol>
</div>
</div>
<div class="pdf" >
<div class="iframe">
<iframe loading="lazy" src="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs\Matemáticas\NumerosImaginarios/operacionescomplejos.pdf"
class="pdf"></iframe>
</div>
<br>
<div class="button">
<button><a href="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs\Matemáticas\NumerosImaginarios/operacionescomplejos.pdf" target="_blank">Abrir en otra ventana</a></button>
</div>
</div>
</div>
<div>
<div class="angulos">
<br><br>
<h3 class="margin">Forma Polar o Trigonométrica de un complejo</h3>
<p>Para convertir un complejo a forma polar, hay que utilizar un vector cuyo origen será el origen del plano y su extremo será el número complejo.
<ul class="margin">
<li><p><b> Modulo |z|</b></p><img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/modulocomplejo.png"
alt="Modulo complejos"></li><hr>
<li><p><b>Argumento(α)</b></p><img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/argumentocomplejos.png"
alt="Argumento numeros complejos"></li><hr>
<li><p><b>Forma polar de un complejo:</b></p><img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/formapolarcomplejo.png"
alt="Forma polar numeros complejos"></li><hr>
</ul>
</div>
</div>
<br><br>
<div>
<div class="h3">
<h3 class="margin">Operaciones con complejos en forma polar</h3>
<ul class="margin">
<li><p><b>Multiplicación:</b></p><img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/multiplicacionpolares.png"
alt="Multiplicación entre complejos"></li>
<hr>
<li><p><b>División:</b></p><img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/divisionpolares.png"
alt="División entre complejos"></li>
<hr>
<li><b>Potenciación:</b></p><img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/potenciacionpolares.png"
alt="Potenciación de complejos"></li>
<hr>
<li><b>Raíces enésimas:</b></p><img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/raicespolares.png"
alt="Raíces enésimas de complejos"></li>
</ul>
</div>
</div>
<br>
<div class="pdf" >
<div class="iframe">
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class="pdf"></iframe>
</div>
<br>
<div class="button">
<button><a href="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs\Matemáticas\NumerosImaginarios/operacionespolares.pdf" target="_blank">Abrir en otra ventana</a></button>
</div>
</div>
<br>
<hr>
<br>
</section>
<section id="logaritmos" class="standard hidden4" >
<h2>Logaritmos</h2>
<div class="flex">
<div>
<p>Se define como el número al cual hay que elevar otro número llamado <b>¨base¨</b> para obtener un valor obtenido.
Los logaritmos comprenden al conjunto de los números reales positivos, ya que la <b>base siempre es positiva y diferente de 1</b> , además,
son el inverso de la función exponencial.
</p>
</div>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/logaritmos.JPG" alt="Logaritmos">
</div>
</div>
<div>
<h3 class="margin">Propiedades de logaritmos</h3>
<div class="img">
<div class="flex">
<img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/propiedadeslogaritmos.JPG" alt="Propiedades Logaritmos">
<img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/propiedadeslogaritmos1.JPG" alt="Propiedades Logaritmos">
</div>
</div>
<div class="h3">
<br>
<br>
<h3 class="margin">Antilogaritmos</h3>
<p>Consiste en elevar el logaritmo a una potencia que sea de igual base que el logaritmo</p>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/antilogaritmos.JPG" alt="Antilogaritmos">
</div>
</div>
</div>
</div>
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<button><a href="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs/Matemáticas/Logaritmos/logaritmos.pdf" target="_blank">Abrir en otra ventana</a></button>
</div>
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<div class="button grid22">
<button><a href="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs/Matemáticas/Logaritmos/logaritmos2.pdf" target="_blank">Abrir en otra ventana</a></button>
</div>
</div>
<br>
<hr>
<br>
</section>
<section id="Teorema del Resto" class="standard hidden4">
<h2>Teorema del Resto</h2>
<div class="flex">
<div>
<p>
Al dividir un polinomio P(x) entre un binomio (x ± a) y al evaluar el P(a) o P(-a) lo que se obtiene
es el residuo P(x) ÷ (x ± a). Si P (a)o P(-a) = 0 (es igual a cero), se dice que P(x) es divisible por (x ± a).
En pocas palabras, al sustiuir todas las x por "a" o "-a" en P(x), obtendremos el residuo de la división.
</p>
<p><span class="nota">    NOTA: El Teorema del Resto solo aplica cuando el divisor Q(x) es de la forma (x ± a)</p>
</div>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80-300" src="https://www.polinomios.org/wp-content/uploads/2020/10/teorema-del-resto.jpg"
alt="Teorema del resto">
</div>
</div>
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</div>
<br>
<div class="button">
<button><a href="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs\Matemáticas\TeoremaDelResto/Teorema del resto.pdf" target="_blank">Abrir en otra ventana</a></button>
</div>
</div>
<br>
<hr>
<br>
<div class="CocienteNotable">
<h2>Cocientes Notables</h2>
<div class="angulos">
<p> Los cocientes notables son divisiones exactas entre polinomios, que se usan con frecuencia en álgebra y cálculo.</p>
<h3 class="margin">Criterios de los cocientes notables</h3>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/5to/Cociente notables.png"
alt="Cocientes Notables">
</div>
<p><span class="nota">    NOTA: En el primer caso todos elementos serán positivos. Mientras que en el segundo y
tercer caso, los signos van intercalados (es decir, uno positivo y uno negativo). </p>
</div>
</div>
<div class="pdf" >
<div class="iframe">
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</div>
<br>
<div class="button">
<button><a href="./Apps/pdfjs/web/pdfs/Matemáticas/TeoremaDelResto/Cocientes notables.pdf" target="_blank">Abrir en otra ventana</a></button>
</div>
</div>
<br>
<hr>
<br>
</section>
<section id="Ruffini" class="standard hidden4">
<h2>Regla de Ruffini</h2>
<div class="flex">
<div>
<p>Es una división sintética entre un polinomio P(x) y un binomio (x ± a). En matemáticas, la regla de Ruffini
facilita el cálculo rápido de la división de cualquier polinomio de forma (x ± a) y se relaciona con el Teorema del resto.</p>
<p>Pasos:</p>
<ol class="margin">
<li><p>Se completa y se ordena el D(x) → (D(x) es el dividendo)</p> </li>
<li><p>Se despeja la "x" del divisor</p></li>
<li><p>Usamos los coeficientes del D(x) y el número dado por el divisor</p></li>
<li><p>Lo primero, es usar el coeficiente de la incógnita (x) de mayor grado. Luego, se multiplica por el divisor y
pasa sumando con el coeficiente de (x-n), es decir, el número de la derecha (x<sup>3</sup> → x<sup>2</sup>) .
Este proceso se repite con todos los elementos del dividendo.
</p></li>
</ol>
</div>
<div class="imgcenter ">
<img loading="lazy" class="space-img img80-500" src="./imagenes/mate/5to/Ruffini.jpg"
alt="Ruffini">
</div>
</div>
<h3 class="center">Factorización mediante Ruffini</h3>
<div class="flex">
<div>
<p>Son todos aquellos divisores del polinomio que dan como resultado la expresión polinómica,
simplificada, en forma de multiplicación. Estos tambíen se conocen como raíces o ceros (0) del polinomio.
Para calcularlos se utiliza el método de Ruffini, con la condición de que el residuo tiene que ser igual a cero (0)</p>
<p><span class="nota">Datos Importantes:</span></p>
<ul class="margin">
<li><p>Un polinomio puede tener tantas raíces, en base, al grado mayor del polinomio. Es decir, si el
polinomio es grado 3, sólo podrá tener 3 raíces</p></li>
<li><p>Utilizar como divisores del polinomio, aquellos números que sean divisores del término
independiente (ya sean positivo o negativos)</p></li>
<li><p>Cuando el coeficiente de la variable de mayor grado del polinomio es igual a 1 (uno),
P(x) solo tendrá raíces "enteras"</p></li>
<li><p>Cuando el coeficiente de la variable de mayor grado del polinomio es mayor a 1 (uno),
P(x) tendrá al menos una raíz "fraccionaria"</p></li>
<li><p>Por último, es importante saber que existen polinomios que aceptan raíces "imaginarias" (i).
Además, toda raíz compleja también admite su conjugada</p></li>
</ul>
</div>
<div class="imgcenter">
<img loading="lazy" class="space-img img80-500" src="./imagenes/mate/5to/FactorizaciónRuffini.jpg"
alt="Ruffini">
</div>
</div>
<div class="pdf-grid" >
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<div class="button grid21">
<button><a href="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs\Matemáticas/Ruffini/Ruffini.pdf" target="_blank">Abrir en otra ventana</a></button>
</div>
<div class="iframe grid12">
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</div>
<div class="button grid22">
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</div>
</div>
<br>
<hr><br>
</section>
<section id="Limites" class="standard hidden4">
<h2>Límites</h2>
<div class="flex">
<div>
<p>Un límite expresa la tendencia que presenta una función f(x), cuando X o su parámetro tiende a algún número.
Esta aproximación se puede hacer tanto por la derecha x<sup>+</sup> o por la izquierda x<sup>-</sup></p>
<p>Es precisamente por eso, que se dice que un límite existe, es cuando los límites laterales
(por la izquierda y por la derecha) son iguales. Es decir, si tenemos una función que tiende a x → 3, la
función tendrá un limite solo si x → 3<sup>-</sup> y 3<sup>+</sup> dan el mismo resultado.</p>
<p><span class="nota">    NOTA:</span> Un límite por la izquierda hace una referencia a un número muy cercano a X, pero que es menor que X (en el caso anterior sería 2.99999999999).
Mientra que un límite por la derecha, es un número muy cercano a X pero siempre mayor a este (en este caso sería 3.0000000001)</p>
</div>
<div class="imgcenter">
<img loading="lazy" class="space-img img80-450" src="https://www.fisicalab.com/sites/all/files/contenidos/matematicas/2224_limites_funciones/notacion_concepto_limite.gif"
alt="Limites">
</div>
</div>
<div >
<h3 class="margin"><span class="nota">Regla de los infinitos</span></h3>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/5to/Regla de los infinitos.png"
alt="Regla de los infinitos">
</div>
<h3 class="margin"><span class="nota">Existencia del límite</span></h3>
<div class="flex">
<p>Si el limite f(x) es igual a un número, a <i class="fa-solid fa-infinity"></i> o -<i class="fa-solid fa-infinity"></i>,
se dice que el límite existe</p>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/5to/Existencia limite.png"
alt="Existencia Limite">
</div>
</div>
<div class="flex">
<p>Se dice que el limite f(x) no existe cuando el límite por la izquierda, es distinto al límite por la derecha</p>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/5to/Existencia limite2.png"
alt="Existencia Limite">
</div>
</div>
<h3 class="margin">Propiedades</h3>
<ul class="margin">
<li><p><b>Funciones con una constantes</b></p><img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/5to/PropiedadLimite.png"
alt="Limites"></li>
<hr>
<li><p><b>Suma de funciones</b></p><img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/5to/PropiedadLimite2.png"
alt="Limites"></li>
<hr>
<li><p><b>Multiplicación de funciones</b></p><img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/5to/PropiedadLimite3.png"
alt="Limites"></li>
<hr>
<li><p><b>División de funciones</b></p><img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/5to/PropiedadLimite4.png"
alt="Limites"></li>
<hr>
</ul>
<div class="pdf" >
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</div>
<br>
<div class="button">
<button ><a href="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs/Matemáticas/Limites/Limites.pdf" target="_blank">Abrir en otra ventana</a></button>
</div>
</div>
<br>
<hr><br>
</div>
<h2>Regla de L'Hôpital</h2>
<div class="flex">
<div>
<p>La regla de L'Hôpital permite resolver indeterminaciones de tipo infinito entre infinito
(<sup>∞</sup>/<sub>∞</sub>) o cero entre cero (<sup>0</sup>/<sub>0</sub>). Este método consiste
en derivar la función del numerador y derivar la función del denominador, hasta que se resuelva
la indeterminación</p>
</div>
<div class="img">
<img loading="lazy" class="space-img img80" src="./imagenes/mate/5to/Regla L'hopital.png"
alt="L'Hôpital">
</div>
</div>
<div class="pdf" >
<div class="iframe">
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</div>
<br>
<div class="button">
<button ><a href="./Apps/pdfjs/web/viewer.html?file=pdfs/Matemáticas/Limites/Lhopital.pdf" target="_blank">Abrir en otra ventana</a></button>
</div>
</div>
<br>
<hr><br>
</section>
<section id="MCI" class="standard hidden4">
<h2>MCI (Método de los coeficientes indeterminados)</h2>
<p>Este método consiste en separar una fracción compleja, en varias fracciones simples. Cabe destacar que este método se suele usar mucho
para resolver Integrales.</p>
<h3 class="margin">Pasos:</h3>
<ol class="margin">
<li><p>Verificar que el grado de P(x) sea menor que el grado de Q(x) (P(x) < Q(x)) </p></li>
<li><p>Factorizar Q(x)</p></li>
<li><p>Separar en tantas fracciones como número de factores tenga el Q(x)</p></li>
<li><p>Se suman las fracciones construidas (Las fracciones separadas se suman)</p></li>
<li><p>Se eliminan los denominadores de ambas fracciones</p> </li>
<li><p>Se construye la igualdad y se buscan los coeficientes</p></li>
</ol>
<h3 class="margin">Coeficientes</h3>
<div class="flex">
<div>
<p> Los coeficientes se colocan de un grado menor que el denominador. Es decir, si el denominador es de grado 1 (x),
el coeficiente no tendría ninguna x (A). Sin embargo, si el denominador es de grado 3, por ejemplo,
el coeficiente tiene que ser de grado 2 (Bx <sup>2</sup> + Cx + D)</p>