From e70a05d36cb399aba925ca791d11bb7832f7d324 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E8=B5=B5=E8=BE=B0=E7=91=9E?= Date: Fri, 31 May 2024 01:26:18 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E6=88=91=E7=88=B1=E6=95=B0=E5=AD=A6?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- pages/goldsaying/index.md | 3 ++- pages/posts/2024051801.md | 8 +----- pages/posts/2024052101.md | 34 ++++++++++++++--------- pages/posts/2024052201.md | 57 ++++++++++++++++++++++++--------------- 4 files changed, 60 insertions(+), 42 deletions(-) diff --git a/pages/goldsaying/index.md b/pages/goldsaying/index.md index 2ad6e1a2..a948fd8e 100644 --- a/pages/goldsaying/index.md +++ b/pages/goldsaying/index.md @@ -2,6 +2,8 @@ title: 金句 --- +17. #### 我欲穿花寻路, 直入白云深处, 浩气展虹霓。 +- 《水调歌头·游览》[北宋]黄庭坚 --- 16. #### 祸患常积于忽微, 智勇多困于所溺。 - 《五代史伶官传序》[北宋]欧阳修 @@ -11,7 +13,6 @@ title: 金句 > 一个翻译版本是 **“我当然不会试图摘月, (我要月亮奔我而来!)”** > > 其中前句确实为赫本原话，但后一句有待商榷。[参考 - 知乎](https://www.zhihu.com/question/349627995) - --- 14. #### 一日三餐没烦恼, 今天就吃老八秘制小汉堡。 --- diff --git a/pages/posts/2024051801.md b/pages/posts/2024051801.md index f41a17e2..798f1932 100644 --- a/pages/posts/2024051801.md +++ b/pages/posts/2024051801.md @@ -14,10 +14,7 @@ top: 1 ##### 发起缘由 -- 无意间发现的开源博客框架[Valaxy](https://valaxy.site/); -- 好看是第一要素，而它刚刚好; -- 我喜欢***(实际上没啥关系); -- 一直在想为班级搞一个自建博客，有了个人实际上班级也好搞了; +- 无意间发现的开源博客框架[Valaxy](https://valaxy.site/) --- @@ -30,7 +27,4 @@ top: 1 ##### 待办 -- 搞个音乐播放器 -- 搞定RSS订阅 - 留言板 - diff --git a/pages/posts/2024052101.md b/pages/posts/2024052101.md index f79a03af..b2b2c8b3 100644 --- a/pages/posts/2024052101.md +++ b/pages/posts/2024052101.md @@ -1,7 +1,7 @@ --- title: 三大公式 & 梯散旋度 date: 2024-05-21 -updated: 2024-05-29 +updated: 2024-05-31 categories: 数学 tags: - 数学 @@ -15,15 +15,17 @@ top: 0 --- -#### 一、格林公式(Green Foumula) +#### 一、格林公式(Green Formula) > 若函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 在闭区域 $D$ 连续, 并且具有一阶连续偏导数, 则 > $$I = \oint_{C^{+}} Pdx + Qdy = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy$$ > 其中 $C$ 是闭区域的边界。 + - **注意**: 做题的时候别忘了一定是闭区域, 而且要抠原点。 - 旋度定义为括号内的。 - 格林公式的意义就是: 从**第二型曲线积分**[^1]简化计算成闭曲线围成的二重积分。 - 二重积分就是这么做: $x$ 型区域、 $y$ 型区域，或者转化成极坐标。 + [^1]: 指对坐标的积分, 是有方向的积分。 --- @@ -33,22 +35,32 @@ top: 0 > 设空间闭区域 $V$ 由分片光滑的双侧封闭曲面 $S$ 围成, 若函数 $P, Q, R$ 在 $V$ 上连续, 且有一阶的连续偏导数, 则 > $$I = \oiint_{S^{+}}Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \iiint_{V}(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z})dxdydz$$ > 其中 $S^{+}$ 代表 $S$ 的外侧。 + - 旋度定义为括号内的。 + > 如果将严格确定方向的**第二型曲面积分**转化为面积积分(为了好算), 则 > $$\oiint_{S^{+}}Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \iint_{S}(P\cos\alpha + R\cos\beta + Q\cos\gamma)dS$$ > 其中 $(\alpha, \beta, \gamma)$ 是方向余弦。 -- 计算方法 + +- 计算方法(其实是第二型曲面积分的解法) + 1. 整体投影 > 适用于有几个面投影过去变成曲线; 2. 分别投影 > 适用于比较规则的面。 + - 单面投影 + > $$I = \pm\iint_{\Sigma}[P(-z_{x}^{'}) + Q(-z_{y}^{'}) + R]dxdy$$ > 其中 $\Sigma$ 是 $S$ 在 $Oxy$ 平面上的投影。 > > 若 $S$ 要计算的方向与 $Oxy$ 相对朝"**上**", 则取 $+$ , 反之取 $-$ 。 + - 由上能知道(实际不是)方向余弦的计算方法 + > $$(\alpha, \beta, \gamma) = \frac{(z_{x}^{'}, z_{y}^{'}, 1)}{\sqrt{z_{x}^{'2} + z_{y}^{'2} + 1}}$$ > 其中 $z = z(x, y)$ 实际上是 $S$ 给出的显式表达式。 + - 高斯公式的意义就是, 把格林公式作了维数上的推广, 从**第二型曲面积分**简化计算成闭曲面围成的三重积分。 + > - 别忘了三重积分! > 1. 先一后两法: 投影法 > 小柱体体积求和! > $$I = \iiint_{V}f(x, y, z)dxdydz = \iint_{\sigma_{xy}}d\sigma\int_{z_{1}}^{z_{2}}f(x, y, z)dz$$ @@ -59,11 +71,10 @@ top: 0 > 柱坐标千万别忘了 $rdr$ ! > > 极坐标千万别忘了 $\rho^{2}\sin\varphi$ ! -> -> 画个图(如下) + --- -#### 三、斯托克斯公式(Stokes Foumula) +#### 三、斯托克斯公式(Stokes Formula) > 光滑曲面 $S$ 的边界 $L (\partial{S} = L)$ 是**按段**光滑的**连续**曲线, 若函数 $P, Q, R$ 在 $V$ 上连续且有一阶连续偏导数, 则 > $$I = \oint_{L} Pdx + Qdy + Rdz = \iint_{S} (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z})dydz + (\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x})dzdx + (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy$$ @@ -72,11 +83,8 @@ top: 0 - 由于对 $L$ 进行环路积分, 所以上述"方向"就好理解(仅限个人认知思路)。 - 不记行列式的**规律: $dx$ 对应 $dydz$ , 也就对应 $R$ 和 $Q$ 。** -#### 四、三度 - -1. 梯度(向量) $\nabla F = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z}$ -2. 散度 $div(\bold F) = \nabla\bold F$ -3. 旋度(向量) $rot(F)$ 是Stokes公式里边的那一大坨偏导数相减。 +#### 四、三度向量 -- $div(rot(\bold F)) = 0$ -- $rot(\nabla u) = 0$ \ No newline at end of file +1. 梯度 $\nabla F = {\rm grad}F = (\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z})$ +2. 散度 ${\rm div}\bold F = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z}$ +3. 旋度 ${\rm rot}\bold F$ 是Stokes公式里边的那一大坨偏导数相减。 \ No newline at end of file diff --git a/pages/posts/2024052201.md b/pages/posts/2024052201.md index ea3a1546..6405018b 100644 --- a/pages/posts/2024052201.md +++ b/pages/posts/2024052201.md @@ -1,7 +1,7 @@ --- title: 那些将要被遗忘的数学知识 date: 2024-05-22 -updated: 2024-05-29 +updated: 2024-05-31 categories: 数学 tags: - 数学 @@ -9,17 +9,17 @@ tags: top: 0 --- -#### 一、一阶线性微分方程秒杀公式 +#### 一、微分方程 + +##### 1 一阶线性微分方程秒杀公式 > 对于方程 $y^{'} + P(x)y = Q(x)$，有 > > $\begin{aligned}y = e^{- \int P(x)dx}(C + \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx)\end{aligned} , C \in R$ ---- - -#### 二、二阶线性微分方程的解法 +##### 2 二阶线性微分方程的解法 -##### 1 齐次方程的通解公式 +###### (1) 齐次方程的通解公式 先将 $y^{''} + Py^{'} + Qy = 0$ 的通解算出: 特征方程 $\lambda^{2} + P\lambda + Q = 0$ 。 @@ -29,7 +29,7 @@ top: 0 - 若 $P^{2} - 4Q = 0$ , 则有二重根 $\lambda \in R, s.t. Y = e^{\lambda x}(c_{1} + c_{2}x)$ - 若 $P^{2} - 4Q < 0$ , 则有共轭复数 $\lambda_{1}, \lambda_{2} = \alpha \pm \beta i, s.t. Y = e^{\alpha x}(c_{1}\cos\beta x + c_{2}\cos\beta x)$ -##### 2 猜(科学地蒙)非齐次方程的特解 +###### (2) 猜(科学地蒙)非齐次方程的特解 完整方程为: $y^{''} + Py^{'} + Qy = T(x)$ @@ -53,15 +53,17 @@ top: 0 ---- +##### 3 其他具有明显特征的微分方程 -#### 三、空间曲线/曲面的切线、法平面/切平面、法线 +1. 伯努利方程 +--- +#### 二、空间曲线/曲面的切线、法平面/切平面、法线 --- -#### 四、多元函数的极值 +#### 三、多元函数的极值 ##### 1 无条件极值 @@ -72,25 +74,43 @@ top: 0 ##### 2 Lagrange乘子法 --- -#### 五、方向导数 +#### 四、方向导数 --- -#### 六、Riemann积分的物理应用 +#### 五、重积分 + +##### 1 第一型曲线积分 + +> 是对弧长的积分。对 $f = f(x, y)$ 有如下弧长微元的转化: +> $$ds = \sqrt{(x_{t}^{'})^2 + (x_{t}^{'})^2}dt = \sqrt{(f_{x}^{'})^2 + 1}dx = \sqrt{r^2(\theta) + r^{'2}(\theta)}d\theta$$ + +##### 2 第二型曲线积分 + +> 直接使用[格林公式](./2024052101/#一、格林公式-green-formula)。 + +##### 3 第一型曲面积分 + +> 是对面积的积分。对 $z = z(x, y)$ 有如下面积微元的转化: +> $$dS = \sqrt{1 + (z_{x}^{'})^2 + (z_{y}^{'})^2}dxdy = \frac{1}{\vert F_{z}^{'}\vert}\sqrt{F_{x}^{'2} + F_{y}^{'2} + F_{z}^{'2}}dxdy$$ + +##### 4 第二型曲面积分(详见[高斯公式](./2024052101/#二、高斯公式-gauss-formula)) + +##### 5 Riemann积分的物理应用 设物体质量为 $M$ 。 -##### 1 质心 +1. 质心 $\begin{aligned}\bar t = \frac{\int_{\Omega}t\mu(P)d\Omega}{M}\end{aligned}, t = x, y, z$ -##### 2 转动惯量 +2. 转动惯量 $\begin{aligned}I_{x} = \int_{\Omega}(y^2 + z^2)\mu(P)d\Omega\end{aligned}$ , 其他同理。 --- -#### 七、平面曲线积分与路径无关的等价条件 +#### 六、平面曲线积分与路径无关的等价条件 $P, Q$ 具有连续的一阶偏导数。 @@ -110,15 +130,10 @@ $P, Q$ 具有连续的一阶偏导数。 --- -#### 八、无穷级数 +#### 七、无穷级数 ##### 1 正项级数敛散性判别法 -- 比较判别法 -- 比值判别法 -- 根值判别法 -- Rabbe判别法 -- 积分判别法 - 比较判别法 - 比值判别法 - 根值判别法