原文：
www.kdnuggets.com/2021/08/essential-math-data-science-introduction-systems-linear-equations.html
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在本文中，你将能够利用你对向量、矩阵和线性组合的了解（分别是数据科学的基础数学 第五章、第六章和第七章）。这将使你能够将数据转换为线性方程组。在本章末尾（在 数据科学的基础数学），你将看到如何使用方程组和线性代数来解决线性回归问题。
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线性方程是变量之间关系的形式化表示。以以下方程定义的变量 x 和 y 之间的线性关系为例：
你可以在笛卡尔平面上表示这种关系：
# create x and y vectors
x = np.linspace(-2, 2, 100)
y = 2 * x + 1
plt.plot(x, y)
# [...] Add axes and styles 
图 1：方程 的图示。
记住，线上的每个点都对应于这个方程的一个解：如果你用线上的一点的坐标替换 x 和 y 在这个方程中，等式就成立。这意味着有无数的解（线上的每个点）。
还可以考虑使用相同变量的多个线性方程：这就是一个方程组。
方程组是一组描述变量之间关系的方程。例如，考虑以下示例：
你有两个线性方程，它们都描述了变量 x 和 y 之间的关系。这是一个包含两个方程和两个变量（在这种情况下也称为未知数）的系统。
你可以将线性方程组（系统的每一行）视作多个方程，每个方程对应一条直线。这称为 行图示。
你也可以将系统视作不同的列，代表系数缩放变量。这称为 列图示。让我们深入了解这两种图示。
在行图示中，系统的每一行对应一个方程。在前面的例子中，有两个方程描述了两个变量 x 和 y 之间的关系。
行图示的图形表示
让我们将这两个方程式进行图形表示：
# create x and y vectors
x = np.linspace(-2, 2, 100)
y = 2 * x + 1
y1 = -0.5 * x + 3
plt.plot(x, y)
plt.plot(x, y1)
# [...] 
图 2：我们系统中两个方程式的表示。
拥有多个方程式意味着 x 和 y 的值必须满足更多方程式。记住，来自第一个方程的 x 和 y 与第二个方程中的 x 和 y 是相同的。
所有在蓝色线上的点满足第一个方程，所有在绿色线上的点满足第二个方程。这意味着只有在两条线上的交点才满足这两个方程。当 x 和 y 取值为线交点的坐标时，方程组被解出。
在这个例子中，这个点的 x 坐标为 0.8，y 坐标为 2.6。如果你将这些值代入方程组中，你会得到：
这是一种几何方式来解决方程组。线性系统解为 x=0.8 和 y=2.6。
将系统视作列图示：你将系统视作未知值 (x 和 y) 缩放向量。
为了更好地理解这一点，让我们重新排列方程式，将变量放在一侧，将常数放在另一侧。对于第一个方程式，你有：
对于第二个方程式：
你现在可以将系统写成：
现在你可以查看图 3 来了解如何将两个方程式转换为一个 向量方程式。
图 3：将方程组视作由变量 x 和 y 缩放的列向量。
在图 3 的右侧，你会看到向量方程式。左侧有两个列向量，右侧有一个列向量。正如你在 数据科学的基础数学中看到的，这对应于以下向量的线性组合：
以及
在列图中，你用一个向量方程代替多个方程。从这个角度看，你要找到使右侧向量出现的左侧向量的线性组合。
列图中的解是一样的。行图和列图只是考虑方程组的两种不同方式：
它有效：如果你使用几何上找到的解，你会得到右侧向量。
列图的图形表示
让我们考虑将方程组表示为向量的线性组合。再以之前的例子为例：
图 4 展示了来自左侧（在图片中蓝色和红色的向量）和右侧（在图片中绿色的向量）方程的两个向量的图形表示。
图 4：由x和y缩放的向量组合得到右侧向量。
你可以在图 4 中看到，通过组合左侧向量可以得到右侧向量。如果你将向量缩放为 2.6 和 0.8，线性组合可以得到方程右侧的向量。
在一些线性系统中，没有唯一解。实际上，线性方程组可以有：
-
没有解。
-
一个解。
-
无限多个解。
让我们考虑这三种可能性（包括行图和列图），以了解为什么线性系统不可能有多于一个解或少于无限多个解。
示例 1：无解
让我们考虑以下的线性方程组，仍然是两个方程和两个变量：
我们从表示这些方程开始：
# create x and y vectors
x = np.linspace(-2, 2, 100)
y = 2 * x + 1
y1 = 2 * x + 3
plt.plot(x, y)
plt.plot(x, y1)
# [...] Add axes, styles... 
图 5：平行的方程线。
如图 5 所示，没有任何点同时位于蓝线和绿线上。这意味着这个方程组没有解。
你也可以通过列图从图形上理解为什么没有解。让我们将方程组写作如下：
将其写作列向量的线性组合，你有：
图 6：没有解的线性系统的列图。
图 6 显示了系统的列向量。你可以看到，通过组合蓝色和红色向量无法到达绿色向量的端点。原因是这些向量是线性相关的（更多细节见 数据科学的基础数学）。要到达的向量超出了你所组合的向量的跨度。
示例 2. 无限多个解
你还可能遇到另一个系统具有无限多个解的情况。我们考虑以下系统：
# create x and y vectors
x = np.linspace(-2, 2, 100)
y = 2 * x + 1
y1 = (4 * x + 2) / 2
plt.plot(x, y)
plt.plot(x, y1, alpha=0.3)
# [...] Add axes, styles... 
图 7：方程直线重叠。
由于方程是相同的，所以两个直线上的点无限多个，因此这个线性方程组有无限多个解。这例如类似于单个方程和两个变量的情况。
从列图的角度来看，你有：
并使用向量表示法：
图 8：具有无限多个解的线性系统的列图。
图 8 显示了图形化表示的对应向量。你可以看到，通过蓝色和红色向量的组合，有无限多种方法到达绿色向量的端点。
由于两个向量朝相同方向，因此存在无限多个线性组合可以到达右侧向量。
总结
总结来说，你可以有三种可能的情况，如图 9 所示，包含两个方程和两个变量。
图 9：两个方程和两个变量的三种情况的总结。
不可能有两条直线交叉超过一次而少于无限次。
这一原理适用于更多维度。例如，在 IR³中，三个平面中至少有两个可以平行（无解），三个可以相交（一个解），或三个可以重叠（无限多个解）。
现在你可以使用列图表示向量方程，你可以进一步使用矩阵来存储列向量。
我们再次考虑以下线性系统：
记住来自 数据科学的基础数学 的内容，你可以将线性组合写作矩阵-向量乘积。矩阵对应于左侧两个列向量的串联：
向量对应于矩阵的列向量的系数权重（此处为 x 和 y）：
你的线性系统变成如下矩阵方程：
符号说明
这导致了广泛用于书写线性系统的符号表示：
其中 A 是包含列向量的矩阵，x 是系数向量，b 是结果向量，我们称之为 目标向量。它使你能够从单独考虑方程的微积分，转到将线性系统的每一部分表示为向量和矩阵的线性代数。这种抽象非常强大，并将向量空间理论应用于求解线性方程组。
在列向量图像中，你需要找到方程左侧列向量线性组合的系数。只有当目标向量在这些列向量的跨度内时，解才存在。
个人简介： Hadrien Jean 是一位机器学习科学家。他拥有巴黎高等师范学院的认知科学博士学位，并在那里进行基于行为和电生理数据的听觉感知研究。他曾在工业界工作，构建了用于语音处理的深度学习管道。在数据科学和环境交汇处，他从事应用于音频录音的深度学习项目，用于生物多样性评估。他还定期在 Le Wagon（数据科学训练营）创作内容和授课，并在他的博客(hadrienj.github.io)上撰写文章。
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