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阅读完本文后，读者将学到以下内容：
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相关性的定义
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正相关
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负相关
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无相关性
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相关性的数学定义
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相关系数的 Python 实现
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协方差矩阵
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协方差矩阵的 Python 实现
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相关性衡量两个变量的共同变化程度。
如果变量Y在变量X增加时也增加，那么X和Y是正相关的，如下所示：
X 和 Y 之间的正相关。 图片由作者提供。
如果变量Y在变量X增加时减少，那么X和Y是负相关的，如下所示：
X 和 Y 之间的负相关。 图片由作者提供。
当X和Y之间没有明显关系时，我们说X和Y是无相关的，如下所示：
X 和 Y 是无相关的。 图片由作者提供。
设X和Y为两个特征
X = (X1 , X2 , . . ., Xn )
Y = (Y1 , Y2 , . . ., Yn )
X和Y之间的相关系数定义为
其中 mu 和 sigma 分别表示均值和标准差，Xstd 是变量 X 的标准化特征。相关系数是X和Y的标准化特征之间的向量点积（标量积）。相关系数的取值范围在-1 到 1 之间。接近 1 的值表示强正相关，接近-1 的值表示强负相关，接近零的值表示低相关性或无相关性。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
n = 100
X = np.random.uniform(1,10,n)
Y = np.random.uniform(1,10,n)
plt.scatter(X,Y)
plt.show() 
X 和 Y 之间没有相关性。图片由作者提供。
X_std = (X - np.mean(X))/np.std(X)
Y_std = (Y - np.mean(Y))/np.std(Y)
np.dot(X_std, Y_std)/n
0.2756215872210571
# Using numpy
np.corrcoef(X, Y)
array([[1\. , 0.27562159],
[0.27562159, 1\. ]])协方差矩阵 是数据科学和机器学习中非常有用的矩阵。它提供了数据集中特征之间的共同变动（相关性）信息。协方差矩阵定义如下：
其中 mu 和 sigma 代表给定特征的均值和标准差。这里的 n 是数据集中观察的数量，j 和 k 的下标取值为 1, 2, 3, . . ., m，其中 m 是数据集中的特征数量。例如，如果一个数据集有 4 个特征和 100 个观察值，则 n = 100，m = 4，因此协方差矩阵将是一个 4 x 4 的矩阵。对角线元素将全为 1，因为它们表示特征与自身之间的相关性，根据定义，相关性等于 1。
假设我想计算 4 只科技股票（AAPL、TSLA、GOOGL 和 AMZN）在 1000 天内的相关程度。我们的数据集有 m = 4 个特征和 n = 1000 个观察值。协方差矩阵将是一个 4 x 4 的矩阵，如下图所示。
技术股票之间的协方差矩阵。图片由作者提供。
生成上述图形的代码可以在这里找到：数据科学和机器学习的基本线性代数。
总之，我们回顾了相关性的基础知识。相关性定义了 2 个变量之间的共同变动程度。相关系数的取值范围在 -1 和 1 之间。接近零的值表示低相关性或无相关性。
本杰明·O·塔约 是物理学家、数据科学教育者和作家，同时也是 DataScienceHub 的拥有者。之前，本杰明曾在中央俄克拉荷马大学、大峡谷大学和匹兹堡州立大学教授工程学和物理学。