原文：
www.kdnuggets.com/2022/12/momentgenerating-functions.html
数据科学是一个多学科领域。因此，它通常更倾向于多语种和多才多艺的人。它需要对计算和应用数学的理解，这可能会让纯编码背景的数据科学家感到望而却步。然而，掌握数学统计学是重要的，特别是如果你计划为预测结果创建算法和数据模型的话。
在大多数情况下，学习任何东西的最佳方法是将其分解成概念。这也适用于概率与统计中的概念。矩生成函数（MGF）就是所有数据科学家都应了解的概念之一。以下指南将回答它们是什么以及如何在编程中实现它们。
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如果你字面理解矩生成函数，你会发现 MGF 是生成矩的函数。但什么是矩？在统计学中，我们使用所谓的分布来说明值在一个领域中的分布情况，即哪些值是常见的，哪些是稀有的。
数据科学家和统计学家使用矩来测量分布。从根本上说，矩是分布的参数，它们可以用来确定或描述其形状，允许你提取有关数据的信息（元数据）。我们将下文介绍四种最常见的矩。
均值是第一矩。它描述了分布的中心位置/位置/倾向。此外，它是初始期望值，也称为（数学）期望或平均值。在结果具有联合发生概率的情况下，我们使用算术平均公式：
简而言之，所有变量值的总和可以除以值的数量 [(值的总和)÷(值的总数)]。
然而，如果结果的发生概率不同，你必须计算每个概率的结果，将这些值加总，然后乘以相应的结果/概率。
均值公式是最受欢迎的方法之一来测量平均值或中心趋势。它也可以表示为中位数（中间值）或众数（最可能的值）。
方差是第二个矩。它表示分布的宽度或扩散程度——值与平均值或标准的偏离程度。这个矩最终用于说明或查找分布或数据集中的任何偏差。我们通常使用标准差，它由方差的平方根表示[E(X³)]。
偏度是第三个矩。它表示分布的非对称性或相对于分布均值的偏斜程度。偏度影响均值、中位数和众数之间的关系。一个分布的偏度可以分为三类：
-
对称分布： 分布的两侧/尾部对称。在这个类别中，偏度的值为 0。在一个完全对称（单峰）分布中，均值、中位数和众数是相同的。
-
正偏：分布的右侧/尾部比左侧长。这用于识别和表示异常值，这些值大于均值。这个类别也可以称为右偏、右尾或右偏分布。通常，均值大于中位数，中位数大于众数（众数 < 中位数 < 均值）。
-
负偏：分布的左侧/尾部比右侧长。我们用它来识别和表示值小于均值的异常值。这个类别也可以称为左偏、左尾或左偏分布。通常，众数大于中位数，中位数大于均值（众数 > 中位数 > 均值）。
你还可以使用以下简单公式来找出偏度：
或
峰度是第四个矩。我们用它来通过分布的“尾部”来测量和指示异常值的出现。因此，峰度最关注分布的尾部。它帮助我们确定分布是否正常或充满极端值。
通常，正态分布的峰度值为 3 或超额峰度为 0。具有这种类型峰度的分布称为中峰度型。具有较轻尾部和峰度值小于三（K < 3）的分布称为负峰度。在这些情况下，分布通常较宽且较平坦，称为平峰型。
另一方面，具有较重尾部和峰度值大于三（K > 3）的分布称为具有正峰度。在这些情况下，分布较窄，具有尖锐或高峰，称为尖峰型。高峰度表明分布包含异常值。
现在我们已经涵盖了什么是矩，我们可以讨论矩生成函数（MGF）。
矩生成函数最终是允许你生成矩的函数。在 X 是一个具有累积分布函数 Fx 的随机变量且 t 的期望值接近于零的某个邻域的情况下，X 的 MGF 定义为：
其中 X 是离散的，pi 代表概率质量函数（PMF），其定义为：
其中 X 是连续的，f(X) 代表概率密度函数（PDF），其定义如下：
在我们尝试找到原矩的情况下，我们必须找到 E[xn] 的值。这涉及使用 E[etx] 的 nth 导数。我们还通过将 t (t = 0) 作为值来简化它：
因此，使用 MGF 找到第一阶原矩（均值）时，将 t 设为 0 看起来如下：
你可以使用相同的方法找到第二阶原矩：
你可以使用泰勒展开式（ex=1+x1!+x22!+x33!+…，-∞t 作为辅助变量使用。你可以用它来找到 MGF 中的不同导数。
MGF 提供了一种替代方案，用于在连续概率分布中积分 PDF 以找到其矩。在编程中，寻找正确的积分使算法变得更加复杂，需要更多的计算资源，增加了程序的负载或运行时间。MGF 和其衍生方法在找到矩时更为高效。
在不使用 MGF 的情况下找到分布的矩是可能的，但计算高阶矩而不使用 MGF 会变得复杂。Python 的内置统计模块提供了一系列足够的函数，可用于从数据集中计算矩。然而，这并不是在 Python 中使用统计函数的唯一选项。
上述指南提供了对矩和矩生成函数的基本探讨。作为程序员或数据科学家，你可能从未需要手动计算原始矩或尝试手动推导中心矩。很可能，有多种模块和库可以为你完成这些任务。然而，了解后台发生的过程始终是重要的。
Nahla Davies 是一名软件开发者和技术作家。在全职从事技术写作之前，她管理了——除了其他有趣的工作——担任过 Inc. 5,000 实验性品牌组织的首席程序员，该组织的客户包括三星、时代华纳、Netflix 和索尼。