diff --git "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R02-B-\345\225\2171.md" "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R02-B-\345\225\2171.md"
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index 000000000..91c92fc74
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+++ "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R02-B-\345\225\2171.md"
@@ -0,0 +1,659 @@
+---
+tags:
+  - 例题
+  - 信息论
+datetime: 2024-11-23 14:24:01
+dlink:
+  - "[[R02infait]]"
+---
+### 问题翻译: 
+【问题 1】以下是定常二阶马尔可夫信息源 $S$ 的状态转移图. 请回答以下问题. 
+```dot
+digraph DFA {
+    bgcolor="transparent";
+    rankdir=LR;
+    size="8,5";
+
+    node [shape = circle]; "00"; "01"; "10";
+
+    // 状态转移
+    "00" -> "00" [label="0/0.75"];
+    "00" -> "01" [label="1/0.25"];
+    "10" -> "00" [label="0/0.5"];
+    "10" -> "01" [label="1/0.5"];
+    "01" -> "10" [label="0/1"];
+}
+```
+
+```tikz
+\usepackage{tikz}
+\begin{document}
+\begin{tikzpicture}[->, shorten >=1pt, auto, semithick]
+  % Define states with absolute positions
+  \node[circle, draw] (s00) at (0, 0) {$00$};
+  \node[circle, draw] (s01) at (2, 0) {$01$};
+  \node[circle, draw] (s10) at (1, -1.732) {$10$};
+  
+  % Transitions
+  \path (s00) edge[loop left] node[midway] {0 / 0.75} (s00)
+        (s00) edge[bend left] node[midway] {1 / 0.25} (s01)
+        (s10) edge[bend left] node[midway] {0 / 0.5} (s00)
+        (s10) edge[bend left] node[midway] {1 / 0.5} (s01)
+        (s01) edge[bend left] node[midway] {0 / 1} (s10);
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
+```
+1. 根据上图的状态转移图, 求此马尔可夫信息源$S$的转移概率矩阵 $A$. 按状态 "00", "10", "01" 的顺序写出矩阵的行. 
+2. 假设时刻 00 在状态 "00", 那么时刻 22 处于状态 "10" 的概率是多少？
+3. 求该马尔可夫信息源 $S$ 的定常分布 $\mathbf{w} = (w_1, w_2, w_3)$, 其中 $w_i$ 的下标 $i=1,2,3$ 分别对应状态 "00", "10", "01". 
+4. 证明定常二阶马尔可夫信息源的熵速率 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} H(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ 等于 $H(X_3 \mid X_1, X_2)$.
+5. 计算上述马尔可夫信息源 $S$ 的熵速率 $H(S)$.
+
+---
+# o1
+#### (1) 转移概率矩阵 $A$
+根据转移概率: 
+- 从状态  "00" : 
+    - 转移到  "00" : 0.75
+    - 转移到  "10" : 0
+    - 转移到  "01" : 0.25
+- 从状态  "10" : 
+    - 转移到  "00" : 0.5
+    - 转移到  "10" : 0
+    - 转移到  "01" : 0.5
+- 从状态  "01" : 
+    - 转移到  "00" : 0
+    - 转移到  "10" : 1.0
+    - 转移到  "01" : 0
+因此, 状态转移矩阵为: 
+$$
+A = \begin{bmatrix}
+0.75 & 0 & 0.25 \\
+0.5 & 0 & 0.5 \\
+0 & 1.0 & 0
+\end{bmatrix}
+$$
+---
+#### (2) 从时刻 $0$ 的状态"00"到时刻$2$的状态"10"的概率
+状态分布在两步后的变化可以通过 $A^2$ 计算: 
+$$
+A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix}
+0.75 & 0 & 0.25 \\
+0.5 & 0 & 0.5 \\
+0 & 1.0 & 0
+\end{bmatrix}
+\cdot
+\begin{bmatrix}
+0.75 & 0 & 0.25 \\
+0.5 & 0 & 0.5 \\
+0 & 1.0 & 0
+\end{bmatrix}
+$$
+通过矩阵乘法计算: 
+$$
+A^2 = \begin{bmatrix}
+0.5625 & 0.25 & 0.1875 \\
+0.375 & 0.5 & 0.125 \\
+0.5 & 0 & 0.5
+\end{bmatrix}
+$$
+假设初始状态向量为 $\mathbf{v_0} = [1, 0, 0]$, 时刻 $2$ 的状态分布为: 
+$$
+\mathbf{v_2} = \mathbf{v_0} \cdot A^2 = [1, 0, 0] \cdot
+\begin{bmatrix}
+0.5625 & 0.25 & 0.1875 \\
+0.375 & 0.5 & 0.125 \\
+0.5 & 0 & 0.5
+\end{bmatrix} = [0.5625, 0.25, 0.1875]
+$$
+因此, 时刻 $2$ 处于状态  "10"  的概率为: 
+$$
+P(\text{state  "10" }) = 0.25
+$$
+---
+#### (3) 定常分布 $\mathbf{w}$
+定常分布满足以下方程: 
+$$
+\mathbf{w} \cdot A = \mathbf{w}, \quad w_1 + w_2 + w_3 = 1
+$$
+展开为方程组: 
+1. $0.75w_1 + 0.5w_2 = w_1$
+2. $0.25w_1 + w_3 = w_2$
+3. $0.5w_2 = w_3$
+4. $w_1 + w_2 + w_3 = 1$
+逐步化简: 
+1. 第一个方程化简为 $0.25w_1 = 0.5w_2$, 即 $w_1 = 2w_2$. 
+2. 第三个方程代入得 $w_3 = 0.5w_2$. 
+3. 将 $w_1 = 2w_2$ 和 $w_3 = 0.5w_2$ 代入归一化条件: 
+$$
+w_1 + w_2 + w_3 = 2w_2 + w_2 + 0.5w_2 = 3.5w_2 = 1
+$$
+解得 $w_2 = \frac{2}{7}$. 
+4. 计算 $w_1$ 和 $w_3$: 
+$$
+w_1 = 2w_2 = \frac{4}{7}, \quad w_3 = 0.5w_2 = \frac{1}{7}
+$$
+因此, 定常分布为: 
+$$
+\mathbf{w} = \left( \frac{4}{7}, \frac{2}{7}, \frac{1}{7} \right)
+$$
+
+---
+##### (4) 证明定常二阶马尔可夫信息源的熵速率 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} H(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ 等于 $H(X_3 \mid X_1, X_2)$. 
+
+根据题意: 
+- 熵速率是描述信息源长期平均的不确定性的重要指标. 
+- 对于二阶马尔可夫信息源, 条件概率仅依赖于前两个状态, 即 $P(X_n \mid X_{n-1}, X_{n-2}, \ldots) = P(X_n \mid X_{n-1}, X_{n-2})$. 
+
+定义熵速率: 
+$$
+H(S) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} H(X_1, X_2, \ldots, X_n)
+$$
+
+利用链式规则展开联合熵: 
+$$
+H(X_1, X_2, \ldots, X_n) = H(X_1) + H(X_2 \mid X_1) + \sum_{i=3}^n H(X_i \mid X_{i-1}, X_{i-2})
+$$
+
+将熵速率表示为每一项的平均值: 
+$$
+H(S) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left[ H(X_1) + H(X_2 \mid X_1) + \sum_{i=3}^n H(X_i \mid X_{i-1}, X_{i-2}) \right]
+$$
+
+当 $n \to \infty$ 时, 前两项的贡献 ($H(X_1)$ 和 $H(X_2 \mid X_1)$) 可以忽略, 因为它们是常数. 因此: 
+$$
+H(S) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=3}^n H(X_i \mid X_{i-1}, X_{i-2})
+$$
+
+由于马尔可夫链的定常性, 所有条件熵 $H(X_i \mid X_{i-1}, X_{i-2})$ 是相等的, 即: 
+$$
+H(X_i \mid X_{i-1}, X_{i-2}) = H(X_3 \mid X_1, X_2)
+$$
+
+因此: 
+$$
+H(S) = H(X_3 \mid X_1, X_2)
+$$
+
+---
+
+##### (5) 计算马尔可夫信息源 $S$ 的熵速率 $H(S)$. 
+
+从转移概率矩阵 $A$ 和定常分布 $\mathbf{w} = \left( \frac{4}{7}, \frac{2}{7}, \frac{1}{7} \right)$ 计算条件熵 $H(X_3 \mid X_1, X_2)$. 
+
+条件熵公式: 
+$$
+H(X_3 \mid X_1, X_2) = -\sum_{i, j, k} P(X_1 = i, X_2 = j, X_3 = k) \log P(X_3 = k \mid X_1 = i, X_2 = j)
+$$
+
+将概率分解为定常分布和转移概率: 
+$$
+P(X_1 = i, X_2 = j, X_3 = k) = P(X_1 = i, X_2 = j) \cdot P(X_3 = k \mid X_1 = i, X_2 = j)
+$$
+
+对于二阶马尔可夫链: 
+$$
+P(X_3 = k \mid X_1 = i, X_2 = j) = A[j, k]
+$$
+
+定常分布表示联合概率: 
+$$
+P(X_1 = i, X_2 = j) = P(X_2 = j \mid X_1 = i) \cdot P(X_1 = i)
+$$
+
+利用这些关系计算各项条件熵. 根据已知的转移概率矩阵和定常分布: 
+1. 从状态  "00" : 
+   - $P(X_3 = \text{ "00" } \mid X_1 = \text{ "00" }, X_2 = \text{ "00" }) = 0.75$
+   - $P(X_3 = \text{ "10" } \mid X_1 = \text{ "00" }, X_2 = \text{ "00" }) = 0$
+   - $P(X_3 = \text{ "01" } \mid X_1 = \text{ "00" }, X_2 = \text{ "00" }) = 0.25$
+
+2. 其他状态类似, 计算每一项的条件熵贡献. 
+
+最终结果为: 
+$$
+H(S) = H(X_3 \mid X_1, X_2) = \text{(通过计算得到的具体值, 可进一步展开. )}
+$$
+
+
+
+---
+### 解答
+
+如果状态向量表示为 $\mathbf{v} = [1, 0, 0]$（即状态 "00" 的概率为 1，其余状态的概率为 0），根据转移概率矩阵 $A$ 的行定义方式（行对应当前状态，列对应可能转移到的状态），状态向量应该右乘矩阵 $A$，以计算下一步的状态分布。
+
+---
+
+#### 原因分析
+
+1. 转移概率矩阵的定义：
+   - $A[i, j]$ 表示从状态 $i$ 转移到状态 $j$ 的概率。
+   - 行表示当前状态，列表示可能的目标状态。
+
+2. 状态向量的意义：
+   - $\mathbf{v} = [v_1, v_2, v_3]$ 表示当前状态的概率分布，其中 $v_1$, $v_2$, $v_3$ 是状态 "00"、"10"、"01" 的概率。
+   - 在 $t$ 时刻，状态分布为 $\mathbf{v_t}$。
+
+3. 矩阵乘法的规则：
+   - $\mathbf{v_t} \cdot A$ 会对每个状态 $i$ 的概率分布 $v_i$ 按 $A[i, j]$ 进行转移。
+   - 乘法结果是下一时刻的状态分布 $\mathbf{v_{t+1}}$。
+
+---
+
+#### 数学公式
+
+假设状态分布为 $\mathbf{v_t} = [v_1, v_2, v_3]$，转移概率矩阵为：
+$$
+A = \begin{bmatrix}
+a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
+a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
+a_{31} & a_{32} & a_{33}
+\end{bmatrix}
+$$
+
+状态分布的更新规则为：
+$$
+\mathbf{v_{t+1}} = \mathbf{v_t} \cdot A
+$$
+
+具体计算为：
+$$
+\mathbf{v_{t+1}} = [v_1, v_2, v_3] \cdot 
+\begin{bmatrix}
+a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
+a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
+a_{31} & a_{32} & a_{33}
+\end{bmatrix}
+= \left[ \sum_{i=1}^3 v_i a_{i1}, \sum_{i=1}^3 v_i a_{i2}, \sum_{i=1}^3 v_i a_{i3} \right]
+$$
+
+---
+
+#### 例子
+
+若状态向量为 $\mathbf{v_t} = [1, 0, 0]$，表示当前时刻状态为 “00”。状态分布更新为：
+$$
+\mathbf{v_{t+1}} = [1, 0, 0] \cdot A = [a_{11}, a_{12}, a_{13}]
+$$
+
+因此，状态向量右乘矩阵 $A$，结果即为下一时刻的状态分布。
+
+---
+
+#### 总结
+
+当转移概率矩阵 $A$ 的行表示当前状态、列表示可能转移到的状态时：
+- 状态向量 $\mathbf{v_t}$ 应该右乘矩阵 $A$，即 $\mathbf{v_{t+1}} = \mathbf{v_t} \cdot A$。
+- 如果改为左乘（即 $A \cdot \mathbf{v_t}$），需要矩阵列表示当前状态、行表示目标状态，这种定义较少见。
+
+因此，按照国际和日本常用的定义，状态向量应该右乘矩阵 $A$。
+
+
+---
+### 定常二重马尔可夫源的“二重”含义
+
+#### “二重”的定义
+“二重”（二阶）马尔可夫信息源是指系统的状态转移过程不仅依赖于当前状态，还依赖于前两个状态。换句话说，当前的状态 $X_t$ 的分布由 $X_{t-1}$ 和 $X_{t-2}$ 两个状态共同决定，而不是仅由 $X_{t-1}$ 决定。
+
+- 一重（单阶）马尔可夫链：当前状态 $X_t$ 仅依赖于前一个状态 $X_{t-1}$：
+  $$
+  P(X_t \mid X_{t-1}, X_{t-2}, \ldots) = P(X_t \mid X_{t-1})
+  $$
+
+- 二重（双阶）马尔可夫链：当前状态 $X_t$ 依赖于前两个状态 $X_{t-1}$ 和 $X_{t-2}$：
+  $$
+  P(X_t \mid X_{t-1}, X_{t-2}, \ldots) = P(X_t \mid X_{t-1}, X_{t-2})
+  $$
+
+---
+
+### 为什么第三问中的定常分布满足 $\mathbf{w} \cdot A = \mathbf{w}$？
+
+#### 定常分布的条件
+
+第三问中的 $\mathbf{w}$ 是复合状态（例如 "00"、"10"、"01"）的定常分布。由于转移概率矩阵 $A$ 描述的是从一个复合状态到另一个复合状态的转移规律，满足马尔可夫链的基本定理，定常分布应该满足：
+$$
+\mathbf{w} \cdot A = \mathbf{w}
+$$
+
+具体推导如下：
+
+#### 1. 状态转移概率矩阵 $A$ 的作用
+- $A[i, j]$ 是从复合状态 $i$ 转移到复合状态 $j$ 的概率。
+- 如果当前时刻的状态分布为 $\mathbf{w} = [w_1, w_2, w_3]$，则下一时刻的状态分布 $\mathbf{w'}$ 为：
+  $$
+  \mathbf{w'} = \mathbf{w} \cdot A
+  $$
+
+#### 2. 定常分布的定义
+当系统达到平稳状态时，状态分布不随时间变化，即 $\mathbf{w'} = \mathbf{w}$。因此：
+$$
+\mathbf{w} \cdot A = \mathbf{w}
+$$
+
+这个条件反映了复合状态的平稳性：状态分布在多次转移后保持不变。
+
+---
+
+### 为什么从概念中难以看出？
+
+您可能感到疑惑的原因在于：
+
+1. 复合状态：
+   - 定常分布 $\mathbf{w}$ 是针对“复合状态”（如 "00"、"10"、"01"）定义的，而不是简单状态（如单个 $X_t$）。这些复合状态的分布直接与 $A$ 相关。
+   - 复合状态是二重马尔可夫源的关键，必须将其转化为状态转移矩阵 $A$ 进行分析。
+
+2. 与一重马尔可夫链的区别：
+   - 在一重马尔可夫链中，定常分布是针对单一状态定义的，满足 $\mathbf{w} \cdot A = \mathbf{w}$ 的性质更容易从概念上理解。
+   - 在二重马尔可夫链中，我们分析的是复合状态的分布，因此 $\mathbf{w} \cdot A = \mathbf{w}$ 的形式和意义需要与复合状态的定义联系起来。
+
+---
+
+### 总结
+
+1. 二重（双阶）马尔可夫链的“二重”是指当前状态依赖于前两个状态。
+2. 定常分布的条件 $\mathbf{w} \cdot A = \mathbf{w}$ 适用于复合状态的分布，因为 $A$ 描述的是复合状态之间的转移规律。
+3. 从概念看不清楚是因为要先明确“复合状态”这一关键点，并理解 $A$ 是复合状态的转移概率矩阵。
+
+
+---
+### 熵速率简介
+
+#### 熵速率的定义
+熵速率（Entropy Rate）是一个描述随机过程长期平均不确定性的重要指标，特别是在信息论中，用于衡量信息源每个输出符号的平均不确定性。
+
+假设一个离散随机过程 $X_1, X_2, \ldots$ 是时间上的序列，其联合熵为 $H(X_1, X_2, \ldots, X_n)$，熵速率定义为：
+$$
+H(S) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} H(X_1, X_2, \ldots, X_n)
+$$
+
+#### 直观理解
+- 熵速率描述了在信息源长期运行中，单个符号的平均不确定性。
+- 与单个符号的熵 $H(X_i)$ 不同，熵速率考虑了符号之间的依赖性（如马尔可夫链的条件概率）。
+
+---
+
+### $n$ 的意义
+- $n$ 表示随机过程中的符号数量，通常理解为时间步数。
+- 联合熵 $H(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ 是从第 1 个符号到第 $n$ 个符号的联合信息量。
+- 随着 $n$ 增大，联合熵的增长通常是线性的，其斜率即为熵速率。
+
+---
+
+### 计算熵速率的方法
+
+#### 1. 联合熵的展开
+通过链式规则，联合熵可以展开为条件熵的求和：
+$$
+H(X_1, X_2, \ldots, X_n) = H(X_1) + H(X_2 \mid X_1) + H(X_3 \mid X_1, X_2) + \cdots + H(X_n \mid X_1, X_2, \ldots, X_{n-1})
+$$
+
+#### 2. 在定常马尔可夫源中的简化
+对于定常二阶马尔可夫链，有以下性质：
+- 条件概率仅依赖于前两个状态：
+  $$
+  P(X_n \mid X_{n-1}, X_{n-2}, \ldots) = P(X_n \mid X_{n-1}, X_{n-2})
+  $$
+- 条件熵 $H(X_i \mid X_{i-1}, X_{i-2})$ 是常数。
+
+因此，长期联合熵的增长由条件熵 $H(X_3 \mid X_1, X_2)$ 决定：
+$$
+H(S) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} H(X_1, X_2, \ldots, X_n) = H(X_3 \mid X_1, X_2)
+$$
+
+#### 3. 条件熵的计算
+条件熵定义为：
+$$
+H(X_3 \mid X_1, X_2) = -\sum_{i,j,k} P(X_1 = i, X_2 = j, X_3 = k) \log P(X_3 = k \mid X_1 = i, X_2 = j)
+$$
+
+- 联合概率 $P(X_1 = i, X_2 = j, X_3 = k)$ 可以分解为定常分布和转移概率：
+  $$
+  P(X_1 = i, X_2 = j, X_3 = k) = P(X_1 = i, X_2 = j) \cdot P(X_3 = k \mid X_1 = i, X_2 = j)
+  $$
+
+---
+
+### 联合熵和条件熵的关系
+
+#### 联合熵的定义
+联合熵 $H(X, Y)$ 是两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合信息量：
+$$
+H(X, Y) = -\sum_{x, y} P(X = x, Y = y) \log P(X = x, Y = y)
+$$
+
+#### 条件熵的定义
+条件熵 $H(Y \mid X)$ 描述在已知 $X$ 的条件下，随机变量 $Y$ 的平均不确定性：
+$$
+H(Y \mid X) = -\sum_{x, y} P(X = x, Y = y) \log P(Y = y \mid X = x)
+$$
+
+#### 联合熵和条件熵的关系
+联合熵和条件熵之间的关系为：
+$$
+H(X, Y) = H(X) + H(Y \mid X)
+$$
+
+---
+
+### 需要学习的信息论内容
+
+要深入理解以上概念并进行计算，建议学习以下内容：
+
+1. 信息论的基础：
+   - 信息熵的定义与性质。
+   - 联合熵、条件熵和相对熵。
+   - 熵的不等式（如 $H(X, Y) \geq \max(H(X), H(Y))$）。
+
+2. 马尔可夫链和随机过程：
+   - 马尔可夫链的定义和基本性质。
+   - 转移概率矩阵的构造和状态分布的推导。
+   - 定常分布的计算方法。
+
+3. 熵速率的专门内容：
+   - 信息源的建模（如马尔可夫信息源）。
+   - 熵速率的推导与计算方法。
+   - 信息源编码（如香农编码和算术编码）。
+
+
+
+
+---
+# Claude
+让我们逐步解决这个二阶马尔可夫信息源的问题。
+
+1. 转移概率矩阵 $A$：
+按照状态 "00", "10", "01" 的顺序，转移概率矩阵为：
+$$A = \begin{bmatrix} 
+0.75 & 0.25 & 0 \\
+0.5 & 0 & 0.5 \\
+0 & 1 & 0
+\end{bmatrix}$$
+
+2. 使用矩阵 $A$ 的第 22 次幂，我们需要计算从 "00" 到 "10" 的概率：
+- 可以通过反复矩阵乘法计算，或者使用特征值方法。
+- 对于这种情况，由于状态转移具有周期性和规律性，概率会收敛到定常分布。
+- 但具体计算需要逐步迭代或使用线性代数工具。
+
+3. 定常分布 $\mathbf{w}$：
+- 需要求解方程 $\mathbf{w} = \mathbf{w}A$ 且 $w_1 + w_2 + w_3 = 1$
+- 设 $w_1 = w_{00}, w_2 = w_{10}, w_3 = w_{01}$
+- 列出方程组：
+  $w_1 = 0.75w_1 + 0.5w_3$
+  $w_2 = 0.25w_1 + w_3$
+  $w_3 = 0.5w_2$
+  $w_1 + w_2 + w_3 = 1$
+- 解这个方程组（可能需要代数推导）
+
+4. 熵速率等于条件熵的证明：
+这是二阶马尔可夫过程的一个重要性质。证明需要使用链式法则和马尔可夫性质：
+- $H(X_1, X_2, ..., X_n) = H(X_1) + \sum_{i=2}^n H(X_i | X_1, ..., X_{i-1})$
+- 对于二阶马尔可夫过程，$X_i$ 仅依赖于 $X_{i-1}, X_{i-2}$
+- 极限情况下，$\frac{1}{n} H(X_1, X_2, ..., X_n)$ 收敛到 $H(X_3 | X_1, X_2)$
+
+5. 熵速率 $H(S)$：
+需要计算 $H(X_3 | X_1, X_2)$，这需要条件概率和对数计算。
+
+这些问题涉及深入的马尔可夫链理论和概率论知识。要完全解决，需要进行详细的数学推导和计算。
+
+是否需要我帮您详细推导某个具体步骤？
+
+
+您说得对。我来逐一详细回应：
+
+1. 转移概率矩阵问题：
+让我重新仔细分析状态转移图。对于每个状态：
+- "00" 状态：转移到 "00" 概率 0.75，转移到 "01" 概率 0.25
+- "10" 状态：转移到 "00" 概率 0.5，转移到 "01" 概率 0.5
+- "01" 状态：转移到 "10" 概率 1
+
+正确的转移概率矩阵应为：
+$$A = \begin{bmatrix} 
+0.75 & 0.25 & 0 \\
+0.5 & 0 & 0.5 \\
+0 & 1 & 0
+\end{bmatrix}$$
+
+3. 定常分布方程组解法：
+根据定常分布的定义，我们有：
+设 $w_1 = w_{00}, w_2 = w_{10}, w_3 = w_{01}$
+
+方程组：
+- $w_1 = 0.75w_1 + 0.5w_3$
+- $w_2 = 0.25w_1 + w_3$
+- $w_3 = 0.5w_2$
+- $w_1 + w_2 + w_3 = 1$
+
+从最后一个方程开始：
+- $w_3 = 0.5w_2$
+- $w_2 = 2w_3$
+- $w_1 = 0.75w_1 + 0.5w_3$
+
+具体求解需要代数推导。
+
+4. 熵速率极限情况：
+对于二阶马尔可夫过程，极限情况是指当时间步数趋于无穷大时，每个符号的条件熵稳定在一个固定值。
+
+具体来说：
+- $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} H(X_1, X_2, ..., X_n) = H(X_3 | X_1, X_2)$
+- 这意味着随着观测序列变长，每个符号的平均不确定性收敛到对最后一个符号的条件熵。
+
+5. 条件熵计算：
+需要计算 $H(X_3 | X_1, X_2)$，步骤如下：
+- 计算 $P(X_3 | X_1, X_2)$ 的所有可能条件概率
+- 使用条件熵公式：$H(X_3 | X_1, X_2) = -\sum P(X_1,X_2,X_3) \log P(X_3 | X_1, X_2)$
+
+这需要详细的概率分布和联合概率计算。
+
+需要我对某个步骤进行更详细的解释吗？
+
+
+
+
+---
+
+### 证明第四问的极限等于 $H(X_3 \mid X_1, X_2)$
+
+---
+
+### 1. 问题重述
+
+熵速率定义为：
+$$
+H(S) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} H(X_1, X_2, \ldots, X_n)
+$$
+
+目标是证明：
+$$
+H(S) = H(X_3 \mid X_1, X_2)
+$$
+
+需要解决的核心问题：
+- 为什么 $n \to \infty$ 时可以“忽略” $X_1$ 和 $X_2$？
+- 这个忽略与定常性和马尔可夫链性质的关系是什么？
+
+---
+
+### 2. 链式规则展开联合熵
+
+联合熵 $H(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ 可以通过链式规则展开为：
+$$
+H(X_1, X_2, \ldots, X_n) = H(X_1) + H(X_2 \mid X_1) + H(X_3 \mid X_1, X_2) + \cdots + H(X_n \mid X_1, X_2, \ldots, X_{n-1})
+$$
+
+将熵速率表达为联合熵的均值：
+$$
+H(S) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n H(X_i \mid X_1, X_2, \ldots, X_{i-1})
+$$
+
+---
+
+### 3. 二阶马尔可夫链的条件熵简化
+
+#### 二阶马尔可夫性质
+在二阶马尔可夫链中，当前状态 $X_i$ 的分布只依赖于前两个状态 $X_{i-1}, X_{i-2}$，即：
+$$
+P(X_i \mid X_{i-1}, X_{i-2}, \ldots, X_1) = P(X_i \mid X_{i-1}, X_{i-2})
+$$
+
+因此，对于 $i \geq 3$，条件熵有：
+$$
+H(X_i \mid X_1, X_2, \ldots, X_{i-1}) = H(X_i \mid X_{i-1}, X_{i-2})
+$$
+
+#### 联合熵均值的变化
+- 对于 $i = 1$ 和 $i = 2$，条件熵 $H(X_1)$ 和 $H(X_2 \mid X_1)$ 是常数，与 $n$ 无关。
+- 对于 $i \geq 3$，条件熵为 $H(X_i \mid X_{i-1}, X_{i-2})$，这在定常马尔可夫链中是相等的。
+
+因此，链式规则可以简化为：
+$$
+H(X_1, X_2, \ldots, X_n) = H(X_1) + H(X_2 \mid X_1) + \sum_{i=3}^n H(X_i \mid X_{i-1}, X_{i-2})
+$$
+
+---
+
+### 4. 定常性的作用
+
+在定常马尔可夫链中：
+- 条件熵 $H(X_i \mid X_{i-1}, X_{i-2})$ 是相等的（因为转移概率矩阵 $A$ 和状态分布不随时间变化）。
+- 记 $H(X_i \mid X_{i-1}, X_{i-2}) = H(X_3 \mid X_1, X_2)$。
+
+令 $h = H(X_3 \mid X_1, X_2)$，则：
+$$
+H(X_1, X_2, \ldots, X_n) = H(X_1) + H(X_2 \mid X_1) + (n-2)h
+$$
+
+---
+
+### 5. 极限推导
+
+熵速率的定义为：
+$$
+H(S) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} H(X_1, X_2, \ldots, X_n)
+$$
+
+将联合熵代入：
+$$
+H(S) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left[ H(X_1) + H(X_2 \mid X_1) + (n-2)h \right]
+$$
+
+提取 $h$ 的主导项：
+$$
+H(S) = \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{H(X_1)}{n} + \frac{H(X_2 \mid X_1)}{n} + h - \frac{2h}{n} \right]
+$$
+
+当 $n \to \infty$ 时，前两项 $\frac{H(X_1)}{n}$ 和 $\frac{H(X_2 \mid X_1)}{n}$ 趋于 0，最后一项 $-\frac{2h}{n}$ 也趋于 0，因此：
+$$
+H(S) = h = H(X_3 \mid X_1, X_2)
+$$
+
+---
+
+### 6. 小结
+
+极限 $H(S) = H(X_3 \mid X_1, X_2)$ 的核心在于：
+1. **链式规则展开**：将联合熵分解为条件熵之和。
+2. **二阶马尔可夫性质**：使得条件熵仅依赖于最近两个状态，简化为 $H(X_i \mid X_{i-1}, X_{i-2})$。
+3. **定常性**：保证所有 $H(X_i \mid X_{i-1}, X_{i-2})$ 相等，从而条件熵的平均值等于单个条件熵。
+
+这使得在 $n \to \infty$ 的极限下，早期项对熵速率的贡献被忽略。
\ No newline at end of file
diff --git "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R02-B-\345\225\2172.md" "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R02-B-\345\225\2172.md"
new file mode 100644
index 000000000..7f54873f3
--- /dev/null
+++ "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R02-B-\345\225\2172.md"
@@ -0,0 +1,168 @@
+---
+tags:
+  - 信息论
+  - 例题
+datetime: 2024-12-02 10:31:38
+---
+# 题目
+设 $X$ 和 $Y$ 为取值在 $\{0, 1\}$ 中的随机变量。对于参数 $\alpha, \beta, \gamma \in [0, 1]$，定义概率如下：
+- $P(X = 0) = \alpha$
+- $P(X = 1) = 1 - \alpha$
+- $P(Y = 0 | X = 0) = \beta$
+- $P(Y = 1 | X = 0) = 1 - \beta$
+- $P(Y = 0 | X = 1) = \gamma$
+- $P(Y = 1 | X = 1) = 1 - \gamma$
+定义二进制熵函数 $h(p)$ 如下：
+$$
+h(p) = \begin{cases} 
+-p \log p - (1-p) \log (1-p), & \text{如果 } 0 < p < 1 \\
+0, & \text{如果 } p = 0 \text{ 或 } p = 1
+\end{cases}
+$$
+## 问题
+1. 使用二进制熵函数表达条件熵 $H(Y | X)$。
+2. 若 $\beta = 1 - \gamma$，求使相互信息量 $I(X; Y)$ 最大化的 $\alpha$ 值，并用二进制熵函数及 $\alpha, \beta$ 表达 $I(X; Y)$ 的最大值。
+3. 固定 $\alpha, \beta$ 的值（$0 < \alpha < 1$），求使相互信息量 $I(X; Y)$ 最小化的 $\gamma$ 值，并表示该最小值。
+4. 固定 $\alpha, \beta$ 的值（$0 < \alpha < 1, \beta > \frac{1}{2}$），求使相互信息量 $I(X; Y)$ 最大化的 $\gamma$ 值。
+---
+# GPT-4o
+### 解答
+### 1. 使用二进制熵函数表达条件熵 $H(Y | X)$
+条件熵 $H(Y | X)$ 表达了在给定 $X$ 的情况下，随机变量 $Y$ 的不确定性。根据题目中的概率定义，我们可以写出：
+$$
+H(Y | X) = \sum_{x \in \{0, 1\}} P(X = x) H(Y | X = x)
+$$
+根据条件概率的定义，我们知道：
+- 当 $X = 0$ 时，$P(Y = 0 | X = 0) = \beta$ 和 $P(Y = 1 | X = 0) = 1 - \beta$；
+- 当 $X = 1$ 时，$P(Y = 0 | X = 1) = \gamma$ 和 $P(Y = 1 | X = 1) = 1 - \gamma$。
+因此，对于每个条件，$Y$ 的熵分别为：
+$$
+H(Y | X = 0) = h(\beta), \quad H(Y | X = 1) = h(\gamma)
+$$
+其中，二进制熵函数 $h(p)$ 定义为：
+$$
+h(p) = -p \log p - (1-p) \log (1-p) \quad \text{(如果 } 0 < p < 1\text{)}
+$$
+因此，条件熵 $H(Y | X)$ 为：
+$$
+H(Y | X) = \alpha h(\beta) + (1 - \alpha) h(\gamma)
+$$
+其中，$\alpha$ 是 $P(X = 0)$，而 $1 - \alpha$ 是 $P(X = 1)$。
+### 2. 若 $\beta = 1 - \gamma$，求使相互信息量 $I(X; Y)$ 最大化的 $\alpha$ 值，并用二进制熵函数及 $\alpha, \beta$ 表达 $I(X; Y)$ 的最大值
+相互信息量 $I(X; Y)$ 定义为：
+$$
+I(X; Y) = H(Y) - H(Y | X)
+$$
+其中，$H(Y | X)$ 是条件熵，已在第一部分给出：
+$$
+H(Y | X) = \alpha h(\beta) + (1 - \alpha) h(\gamma)
+$$
+而 $H(Y)$ 是 $Y$ 的熵，它可以通过求解 $P(Y = 0)$ 和 $P(Y = 1)$ 来得到。我们首先计算 $P(Y = 0)$ 和 $P(Y = 1)$：
+$$
+P(Y = 0) = P(Y = 0 | X = 0) P(X = 0) + P(Y = 0 | X = 1) P(X = 1) = \alpha \beta + (1 - \alpha) \gamma
+$$
+$$
+P(Y = 1) = P(Y = 1 | X = 0) P(X = 0) + P(Y = 1 | X = 1) P(X = 1) = \alpha (1 - \beta) + (1 - \alpha)(1 - \gamma)
+$$
+因此，$H(Y)$ 为：
+$$
+H(Y) = h(\alpha \beta + (1 - \alpha) \gamma)
+$$
+结合 $H(Y | X)$，我们得到相互信息量 $I(X; Y)$ 为：
+$$
+I(X; Y) = h(\alpha \beta + (1 - \alpha) \gamma) - [ \alpha h(\beta) + (1 - \alpha) h(\gamma) ]
+$$
+现在，要求 $I(X; Y)$ 最大化。题目中给定了 $\beta = 1 - \gamma$，因此我们可以将其代入并进行求解。为了最大化 $I(X; Y)$，我们需要找到使 $h(p)$ 最大的 $p$，而二进制熵函数 $h(p)$ 在 $p = 0.5$ 时最大。所以，要求：
+$$
+\alpha \beta + (1 - \alpha) \gamma = 0.5
+$$
+将 $\beta = 1 - \gamma$ 代入，得到：
+$$
+\alpha (1 - \gamma) + (1 - \alpha) \gamma = 0.5
+$$
+解这个方程，得到 $\alpha$ 的最优值。通过整理：
+$$
+\alpha - \alpha \gamma + (1 - \alpha) \gamma = 0.5
+$$
+$$
+\alpha - \alpha \gamma + \gamma - \alpha \gamma = 0.5
+$$
+$$
+\alpha + \gamma(1 - 2\alpha) = 0.5
+$$
+这给出的是关于 $\alpha$ 和 $\gamma$ 的关系。为了进一步分析，可以根据具体的 $\gamma$ 值来求解 $\alpha$。
+
+---
+### 3. 固定 $\alpha, \beta$，使 $I(X; Y)$ 最小化
+### 问题 3：固定 $\alpha, \beta$，求使 $I(X; Y)$ 最小化的 $\gamma$
+我们从相互信息的定义出发：
+$$
+I(X; Y) = H(Y) - H(Y|X),
+$$
+其中：
+$$
+H(Y|X) = \alpha h(\beta) + (1-\alpha) h(\gamma).
+$$
+边缘熵 $H(Y)$ 计算如下：
+$$
+P(Y=0) = \alpha \beta + (1-\alpha) \gamma, \quad P(Y=1) = 1 - P(Y=0),
+$$
+$$
+H(Y) = h(P(Y=0)) = h(\alpha \beta + (1-\alpha) \gamma).
+$$
+因此，相互信息为：
+$$
+I(X; Y) = h(\alpha \beta + (1-\alpha) \gamma) - \left[\alpha h(\beta) + (1-\alpha) h(\gamma)\right].
+$$
+#### 条件 1：最小化 $I(X; Y)$
+要使 $I(X; Y)$ 最小化，可以通过调整 $\gamma$ 来让 $H(Y) - H(Y|X)$ 的差最小。
+- 当 $\gamma = \beta$ 时：
+  $$
+  P(Y=0) = \alpha \beta + (1-\alpha)\beta = \beta.
+  $$
+  此时：
+  $$
+  H(Y) = h(\beta), \quad H(Y|X) = \alpha h(\beta) + (1-\alpha) h(\beta) = h(\beta).
+  $$
+  相互信息：
+  $$
+  I(X; Y) = h(\beta) - h(\beta) = 0.
+  $$
+#### 结论：
+当 $\gamma = \beta$ 时，相互信息 $I(X; Y)$ 取得最小值，且最小值为：
+$$
+I(X; Y) = 0.
+$$
+---
+### 4. 固定 $\alpha, \beta$，使 $I(X; Y)$ 最大化的 $\gamma$
+相互信息最大化的关键是调整 $\gamma$ 使 $H(Y) - H(Y|X)$ 的差最大化。为此，我们需要最大化 $H(Y)$ 并最小化 $H(Y|X)$。
+#### 条件 1：最小化 $H(Y|X)$
+$$
+H(Y|X) = \alpha h(\beta) + (1-\alpha) h(\gamma).
+$$
+$\gamma$ 应选择使 $h(\gamma)$ 最小，即：
+$$
+\gamma = 0 \quad \text{或} \quad \gamma = 1.
+$$
+此时 $h(\gamma) = 0$，有：
+$$
+H(Y|X) = \alpha h(\beta).
+$$
+#### 条件 2：最大化 $H(Y)$
+当 $\gamma = 0$ 或 $\gamma = 1$ 时：
+$$
+P(Y=0) = \alpha \beta + (1-\alpha)\gamma.
+$$
+- 若 $\gamma = 0$，则 $P(Y=0) = \alpha \beta$。
+- 若 $\gamma = 1$，则 $P(Y=0) = \alpha \beta + (1-\alpha) = \alpha (\beta - 1) + 1$。
+我们选择 $\gamma$ 使 $P(Y=0)$ 接近 0.5，从而使 $H(Y)$ 最大化。
+---
+#### 结论：
+- 固定 $\alpha, \beta$，若 $\beta > \frac{1}{2}$，使 $I(X; Y)$ 最大化的 $\gamma$ 为：
+  $$
+  \gamma = 0.
+  $$
+  最大相互信息量为：
+  $$
+  I(X; Y) = h(\alpha \beta) - \alpha h(\beta).
+  $$
\ No newline at end of file
diff --git "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R02-C-\345\225\2171.md" "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R02-C-\345\225\2171.md"
new file mode 100644
index 000000000..7db24f7c1
--- /dev/null
+++ "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R02-C-\345\225\2171.md"
@@ -0,0 +1,262 @@
+---
+tags:
+  - 自动机
+dlink:
+  - "[[R02infait]]"
+---
+## 题目
+### 日文原文
+
+**【問1】**  
+決定性有限オートマトン $M_1 = (P, \Sigma, δ_1, p_1, F_1)$ を考える．ただし，$P, \Sigma, δ_1, p_1, F_1$ はそれぞれ $M_1$ の状態集合，アルファベット，遷移関数，初期状態，最終状態の集合を表す．
+- $P = \{p_0, p_1, p_2, p_3\}$,  
+- $\Sigma = \{0, 1, 2, 3\}$,  
+- $F_1 = \{p_0\}$,  
+- $δ_1(p_i, a) = p_{(i + n(a)) \bmod 4}$（ただし $i = 0, 1, 2, 3$）。
+ここで $n(a)$ は記号 $a \in \Sigma$ に対応する整数であり，以下が成り立つ：
+$$
+n(0) = 0, \quad n(1) = 1, \quad n(2) = 2, \quad n(3) = 3.
+$$
+非負整数 $x$ と正の整数 $y$ に対して，$x \bmod y$ は $x$ を $y$ で割ったときの余りを表す．例えば，$δ_1(p_1, 3) = p_0$ である．次の問いに答えよ．
+1. $M_1$ の状態遷移図を与えよ．
+2. 決定性有限オートマトン $M_2 = (P, \Sigma, δ_1, p_1, F_2)$ は，$M_1$ と同じ状態集合，アルファベット，遷移関数，初期状態を持つ．$M_2$ と等価な決定性有限オートマトンの最小状態数が 2 であるとき，最終状態の集合 $F_2 ⊆ P$ の例をひとつ与えよ．
+3. $\Sigma$ 上の文字列 $u$ に対して，
+$$
+Y(u) =
+\begin{cases}
+1 & \text{if } u \text{ is the empty string}, \\
+Y(v) \times n(a) & \text{if } u = va, \ v \in \Sigma^*, \ a \in \Sigma.
+\end{cases}
+$$
+$Y(u) \bmod 6 = 0$ かつ $Y(u) ≠ 0$ となる $u$ のみを受理する決定性有限オートマトン $M_3$ を考える．ここで，$M_3$ の状態集合を $\{q_0, q_1, q_2, q_3, q_6\}$，初期状態を $q_1$，最終状態の集合を $\{q_6\}$ とする．また，各状態は次のような文字列に対応する：
+- $q_0$ は $Y(u) = 0$ を満たす文字列 $u$ に対応，
+- $q_1$ は $Y(u) \bmod 2 ≠ 0$ かつ $Y(u) \bmod 3 ≠ 0$ を満たす文字列 $u$ に対応，
+- $q_2$ は $Y(u) \bmod 2 = 0$ かつ $Y(u) \bmod 6 ≠ 0$ を満たす文字列 $u$ に対応，
+- $q_3$ は $Y(u) \bmod 3 = 0$ かつ $Y(u) \bmod 6 ≠ 0$ を満たす文字列 $u$ に対応，
+- $q_6$ は $Y(u) \bmod 6 = 0$ かつ $Y(u) ≠ 0$ を満たす文字列 $u$ に対応．
+$M_3$ の状態遷移図を与えよ．
+
+---
+### 中文翻译
+**【问题1】**  
+考虑一个确定性有限自动机 $M_1 = (P, \Sigma, δ_1, p_1, F_1)$，其中 $P, \Sigma, δ_1, p_1, F_1$ 分别表示 $M_1$ 的状态集合、字母表、转移函数、初始状态和终止状态集合：
+- $P = \{p_0, p_1, p_2, p_3\}$，  
+- $\Sigma = \{0, 1, 2, 3\}$，  
+- $F_1 = \{p_0\}$，  
+- $δ_1(p_i, a) = p_{(i + n(a)) \bmod 4}$（其中 $i = 0, 1, 2, 3$）。
+这里 $n(a)$ 是字母 $a \in \Sigma$ 对应的整数，定义如下：
+$$
+n(0) = 0, \quad n(1) = 1, \quad n(2) = 2, \quad n(3) = 3.
+$$
+对于非负整数 $x$ 和正整数 $y$，$x \bmod y$ 表示 $x$ 除以 $y$ 的余数。例如，$δ_1(p_1, 3) = p_0$。回答以下问题：
+1. 绘制 $M_1$ 的状态转移图。  
+2. 定义另一个自动机 $M_2 = (P, \Sigma, δ_1, p_1, F_2)$，其状态集合、字母表、转移函数和初始状态与 $M_1$ 相同。如果与 $M_2$ 等价的最小确定性有限自动机只有 2 个状态，给出一个 $F_2 ⊆ P$ 的例子。  
+3. 对于字母表 $\Sigma$ 上的字符串 $u$，定义：
+$$
+Y(u) =
+\begin{cases}
+1 & \text{如果 } u \text{ 是空字符串}, \\
+Y(v) \times n(a) & \text{如果 } u = va, \ v \in \Sigma^*, \ a \in \Sigma.
+\end{cases}
+$$
+考虑一个自动机 $M_3$，它接受的字符串 $u$ 满足 $Y(u) \bmod 6 = 0$ 且 $Y(u) ≠ 0$。$M_3$ 的状态集合为 $\{q_0, q_1, q_2, q_3, q_6\}$，初始状态为 $q_1$，终止状态集合为 $\{q_6\}$。各状态对应以下字符串：
+- $q_0$ 对应 $Y(u) = 0$ 的字符串 $u$，
+- $q_1$ 对应 $Y(u) \bmod 2 ≠ 0$ 且 $Y(u) \bmod 3 ≠ 0$ 的字符串 $u$，
+- $q_2$ 对应 $Y(u) \bmod 2 = 0$ 且 $Y(u) \bmod 6 ≠ 0$ 的字符串 $u$，
+- $q_3$ 对应 $Y(u) \bmod 3 = 0$ 且 $Y(u) \bmod 6 ≠ 0$ 的字符串 $u$，
+- $q_6$ 对应 $Y(u) \bmod 6 = 0$ 且 $Y(u) ≠ 0$ 的字符串 $u$。
+绘制 $M_3$ 的状态转移图。
+
+---
+## 
+### M1 の状態遷移図 - TikZコード
+以下は、$M_1$ の状態遷移図を Obsidian の TikZ プラグインで描画するコードです。
+```tikz
+\usepackage{tikz}
+
+\begin{document}
+\begin{tikzpicture}
+
+  % 定义状态
+  \node (p0) at (0, 0) [circle, draw, double] {$p_0$}; % 接受状态
+  \node (p1) at (3, 0) [circle, draw] {$p_1$};
+  \node (p2) at (3, -3) [circle, draw] {$p_2$};
+  \node (p3) at (0, -3) [circle, draw] {$p_3$};
+
+  % 转移路径
+  \draw[->] (p0) to[loop above] node {0} ();
+  \draw[->] (p0) to[bend left] node[midway, above] {1} (p1);
+  \draw[->] (p0) to[bend left=15] node[midway, right] {2} (p2);
+  \draw[->] (p0) to[bend right] node[midway, left] {3} (p3);
+
+  \draw[->] (p1) to[loop above] node {0} ();
+  \draw[->] (p1) to[bend left] node[midway, right] {1} (p2);
+  \draw[->] (p1) to[bend left=15] node[midway, right] {2} (p3);
+  \draw[->] (p1) to[bend right] node[midway, above] {3} (p0);
+
+  \draw[->] (p2) to[loop below] node {0} ();
+  \draw[->] (p2) to[bend left] node[midway, below] {1} (p3);
+  \draw[->] (p2) to[bend left=15] node[midway, left] {2} (p0);
+  \draw[->] (p2) to[bend right] node[midway, right] {3} (p1);
+
+  \draw[->] (p3) to[loop below] node {0} ();
+  \draw[->] (p3) to[bend left] node[midway, left] {1} (p0);
+  \draw[->] (p3) to[bend left=15] node[midway, left] {2} (p1);
+  \draw[->] (p3) to[bend right] node[midway, below] {3} (p2);
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+```
+---
+### 第二問：簡単な日本語での解説
+**問題の要点：**  
+- $M_2$ は $M_1$ と同じ状態集合 $P = \{p_0, p_1, p_2, p_3\}$ を持っています。  
+- しかし、最終状態集合 $F_2$ は $M_1$ の $F_1 = \{p_0\}$ とは異なります。  
+- 問題は $M_2$ が最小化されたときに 2 つの状態で表せるような $F_2$ の例を求めています。
+
+---
+#### ポイント解説：
+- 状態 $p_0, p_2$ は偶数の位置、$p_1, p_3$ は奇数の位置です。  
+- $M_1$ の遷移パターンを見ると、$p_0 \to p_2 \to p_0$ と $p_1 \to p_3 \to p_1$ のように、偶奇で循環しています。  
+- したがって、$F_2 = \{p_0, p_2\}$ または $F_2 = \{p_1, p_3\}$ とすることで、2 つの状態に分類できます。
+
+---
+#### 回答例：
+- $F_2 = \{p_0, p_2\}$  
+  または  
+- $F_2 = \{p_1, p_3\}$  
+
+どちらでも正しいです。偶数または奇数の状態を受理状態として選ぶことで、状態が 2 つに等価化されます。
+
+---
+### 第三問：M3の作り方の説明
+
+#### 1. **问题核心：理解 $Y(u)$ 的定义与含义**  
+
+首先，重新理解 $Y(u)$ 的定义：
+
+$$
+Y(u) =
+\begin{cases}
+1 & \text{if } u \text{ is the empty string}, \\
+Y(v) \times n(a) & \text{if } u = va, \ v \in \Sigma^*, \ a \in \Sigma.
+\end{cases}
+$$
+这意味着：
+- 如果字符串是空字符串（$\varepsilon$），则 $Y(\varepsilon) = 1$。  
+- 如果字符串 $u$ 由 $v$ 加上一个字符 $a$ 组成，即 $u = va$，则：
+  $$
+  Y(u) = Y(v) \times n(a)
+  $$
+  其中，$n(a)$ 是字母 $a$ 对应的整数值，具体为：
+  $$
+  n(0) = 0, \quad n(1) = 1, \quad n(2) = 2, \quad n(3) = 3
+  $$
+
+**关键问题：$Y(u) = 0$ 是如何产生的？**  
+根据递归定义：
+- 如果字符串中包含 $0$，即 $a = 0$，则：
+  $$
+  Y(u) = Y(v) \times 0 = 0
+  $$
+  一旦某次乘法中乘以了 $0$，无论后续如何继续乘，$Y(u)$ 都将保持为 $0$。
+
+---
+
+#### 2. **分析主体：字符串 $u$ 的乘积规则**  
+- 你的分析对象是字符串 $u$，逐字符计算其对应的 $Y(u)$。  
+- 目标是判断 $Y(u) \bmod 6$ 的结果，并根据结果分类字符串。
+
+**分类方法：**  
+题目已经给出了不同状态的分类规则，按照 $Y(u) \bmod 6$ 的结果，将字符串映射到不同的状态：
+
+1. **状态 $q_0$：**  
+   $$
+   Y(u) = 0
+   $$
+   - 如果字符串 $u$ 包含字符 $0$，则直接进入状态 $q_0$，并在此停留。  
+   - **分析：** $n(0) = 0$ 导致乘积结果变为 0，无论后续字符如何，状态都会停在 $q_0$。
+
+2. **状态 $q_1$：**  
+   $$
+   Y(u) \bmod 2 \neq 0 \quad \text{かつ} \quad Y(u) \bmod 3 \neq 0
+   $$
+   - 表示 $Y(u)$ 既不能被 $2$ 整除，也不能被 $3$ 整除。  
+   - **分析：** 典型情况是 $Y(u) = 1$ 或其他素数乘积。
+
+3. **状态 $q_2$：**  
+   $$
+   Y(u) \bmod 2 = 0 \quad \text{かつ} \quad Y(u) \bmod 6 \neq 0
+   $$
+   - 说明 $Y(u)$ 可以被 $2$ 整除但不能被 $6$ 整除，即不能同时被 $3$ 整除。  
+   - **分析：** 典型情况是 $Y(u) = 2, 4, 8$ 等。
+
+4. **状态 $q_3$：**  
+   $$
+   Y(u) \bmod 3 = 0 \quad \text{かつ} \quad Y(u) \bmod 6 \neq 0
+   $$
+   - 说明 $Y(u)$ 可以被 $3$ 整除但不能被 $6$ 整除，即不能同时被 $2$ 整除。  
+   - **分析：** 典型情况是 $Y(u) = 3, 9$ 等。
+
+5. **状态 $q_6$（最终状态）：**  
+   $$
+   Y(u) \bmod 6 = 0 \quad \text{かつ} \quad Y(u) \neq 0
+   $$
+   - 表示 $Y(u)$ 可以被 $6$ 整除但不为 0。  
+   - **分析：** 典型情况是 $Y(u) = 6, 12, 18$ 等。
+
+---
+
+#### 3. **状态转移过程分析（构建自动机的步骤）**  
+
+**主体分析目标：字符串 $u$ 如何从一个状态转移到另一个状态。**  
+- 每次读入字符 $a \in \Sigma$，执行乘法 $Y(u) \times n(a)$ 并计算结果 $\bmod 6$。  
+- **核心逻辑：**  
+  1. 如果读到 $0$，无论当前状态如何，直接转移到 $q_0$ 并停留。  
+  2. 如果读到其他字符 $1, 2, 3$，则根据乘积的结果更新状态。
+
+### 4. TikZ 状态转移图示例
+
+下面是 $M_3$ 的 TikZ 状态转移图代码，按照上述逻辑绘制。
+```tikz
+\usepackage{tikz}
+
+\begin{document}
+\begin{tikzpicture}
+
+  % 定义状态
+  \node (q0) at (0, 0) [circle, draw] {$q_0$};  % 状态 q0
+  \node (q1) at (2, 0) [circle, draw] {$q_1$};  % 初始状态 q1
+  \node (q2) at (4, 1) [circle, draw] {$q_2$};  % 状态 q2
+  \node (q3) at (4, -1) [circle, draw] {$q_3$}; % 状态 q3
+  \node (q6) at (6, 0) [circle, draw, double] {$q_6$}; % 接受状态 q6 (双圈)
+
+  % 状态转移路径
+  % q0 自环
+  \draw[->] (q0) to[loop above] node {0, 1, 2, 3} ();
+  
+  % q1 自环和转移
+  \draw[->] (q1) to[loop above] node {1} ();
+  \draw[->] (q1) to node[midway, above] {2} (q2);
+  \draw[->] (q1) to node[midway, right] {3} (q3);
+
+  % q2 自环和转移
+  \draw[->] (q2) to[loop above] node {1} ();
+  \draw[->] (q2) to node[midway, below] {3} (q6);
+  \draw[->] (q2) to node[midway, right] {2} (q0);
+
+  % q3 自环和转移
+  \draw[->] (q3) to[loop above] node {1} ();
+  \draw[->] (q3) to node[midway, right] {2} (q6);
+  \draw[->] (q3) to node[midway, left] {3} (q0);
+
+  % q6 自环
+  \draw[->] (q6) to[loop above] node {1, 2, 3} ();
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+```
+### 5. 结论
+- **分析的主体是字符串 $u$ 的乘积 $Y(u)$ 以及它的模运算结果。**  
+- 目标是通过逐个字符解析字符串，构建一个能根据模运算结果进行状态转移的自动机。  
+- 关键是理解 **包含字符 $0$ 会直接使 $Y(u) = 0$**，因此状态 $q_0$ 相当于失败状态。
\ No newline at end of file
diff --git "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R02-C-\345\225\2172.md" "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R02-C-\345\225\2172.md"
index 503719215..294c7c716 100644
--- "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R02-C-\345\225\2172.md"
+++ "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R02-C-\345\225\2172.md"
@@ -1,6 +1,6 @@
 ---
 tags:
-  - Automaton
+  - 自动机
   - 過去問
 datetime: 2024-12-09 09:57:21
 dlink:
diff --git "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R02infait.md" "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R02infait.md"
index 85da91835..9e068b554 100644
--- "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R02infait.md"
+++ "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R02infait.md"
@@ -5,7 +5,6 @@ tags:
 datetime: 2024-11-28 17:33:20
 dlink:
   - "[[R02infait.pdf]]"
-  - "[[九州大学]]"
 ---
 # 数学
 6选3
diff --git "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R03ist.md" "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R03ist.md"
index 76f8e8c7a..f6ba85203 100644
--- "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R03ist.md"
+++ "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R03ist.md"
@@ -3,7 +3,6 @@ tags:
   - 過去問
   - 例题
 dlink:
-  - "[[九州大学]]"
   - "[[R03ist.pdf]]"
 datetime: 2024-12-10 01:22:51
 ---
diff --git "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R04-C-\345\225\2171.md" "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R04-C-\345\225\2171.md"
index 0da7a4065..883c58056 100644
--- "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R04-C-\345\225\2171.md"
+++ "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R04-C-\345\225\2171.md"
@@ -42,12 +42,12 @@ dlink:
 \end{tikzpicture}
 \end{document}
 ```
-このオートマトン M に基づいて、決定性有限オートマトン $\tilde{M} = (\tilde{K}, \tilde{\Sigma}, \tilde{\delta}, \tilde{q_0}, \tilde{F})$ を、
+このオートマトン $M$ に基づいて、決定性有限オートマトン $\tilde{M} = (\tilde{K}, \tilde{\Sigma}, \tilde{\delta}, \tilde{q_0}, \tilde{F})$ を、
 $$\tilde{K} = K \times K, \ \tilde{\Sigma} = \{0, 1\}, \ \tilde{q_0} = (q_0, q_0), \ \tilde{F} = \{(q_2, q_2)\},$$
 $$\tilde{\delta}((q, q'), a) =
 \begin{cases}
 (\delta(q, 0), \delta(q', 0)) & a = 0 のとき, \\
-(\delta(q, 1), \delta(q', 1)) & a = 1 のとき
+(\delta(q, 0), \delta(q', 0)) & a = 1 のとき
 \end{cases}$$
 と定義する。入力文字列 $10$ に対するオートマトン $\tilde{M}$ の状態系列は
 $$(q_0, q_0) \to (q_1, q_2) \to (q_2, q_3),$$
@@ -105,7 +105,7 @@ $$\tilde{K} = K \times K, \ \tilde{\Sigma} = \{0, 1\}, \ \tilde{q_0} = (q_0, q_0
 $$\tilde{\delta}((q, q'), a) =
 \begin{cases}
 (\delta(q, 0), \delta(q', 0)) & a = 0 \text{ 时}, \\
-(\delta(q, 1), \delta(q', 1)) & a = 1 \text{ 时}
+(\delta(q, 0), \delta(q', 0)) & a = 1 \text{ 时}
 \end{cases}$$
 对于输入字符串 $10$，自动机 $\tilde{M}$ 的状态序列为：
 $$(q_0, q_0) \to (q_1, q_2) \to (q_2, q_3),$$
@@ -231,4 +231,56 @@ $$
   $$
   であることが示されます。
 
-以上が，まずは問1（入力 $\texttt{01101}$ に対する状態系列）の要点です。
\ No newline at end of file
+以上が，まずは問1（入力 $\texttt{01101}$ に対する状態系列）の要点です。
+
+---
+# DeepSeek
+**1. 给出输入字符串 $01101$ 在自动机 $\tilde{M}$ 上的状态序列。**
+
+根据自动机 $\tilde{M}$ 的转移函数定义，无论输入是 0 还是 1，状态转移都按照输入 0 来进行。因此，输入字符串 $01101$ 的状态序列为：
+
+$$
+(q_0, q_0) \to (q_1, q_1) \to (q_2, q_2) \to (q_3, q_3) \to (q_4, q_4) \to (q_5, q_5)
+$$
+
+**2. 证明当 $n (≥ 1)$ 是 $5$ 的倍数时，输入字符串 $1^n$ 在自动机 $\tilde{M}$ 上的最终状态为 $(q_5, q_5)$。**
+
+由于输入字符串仅由 1 组成，且转移函数定义为 $\tilde{\delta}((q, q'), a) = (\delta(q, 0), \delta(q', 0))$，对于每一个输入 1，状态转移都按照输入 0 来进行。
+
+因此，输入 $1^n$ 时，状态序列为：
+$$
+(q_0, q_0) \xrightarrow{1} (q_1, q_1) \xrightarrow{1} (q_2, q_2) \xrightarrow{1} (q_3, q_3) \xrightarrow{1} (q_4, q_4) \xrightarrow{1} (q_5, q_5)
+$$
+当 $n$ 是 5 的倍数时，最终状态为 $(q_5, q_5)$。
+
+**3. 对于长度 $≥ 2$ 的字符串 $w ∈ \{0, 1\}^*$，自动机 $\tilde{M}$ 的最终状态记为 $(q_{iw}, q_{jw})$，其中 $iw, jw ∈ \{2, 3, 4, 5, 6\}$。请用字符串 $w$ 中 $0$ 和 $1$ 的个数（即 $\#_0(w)$ 和 $\#_1(w)$）表示 $iw$ 和 $jw$。**
+
+根据转移函数定义，状态转移始终按照输入 0 来进行。因此，最终状态 $(q_{iw}, q_{jw})$ 可以表示为：
+$$
+iw = (\#_0(w) + \#_1(w)) \mod 5 + 2
+$$
+$$
+jw = (\#_0(w) + \#_1(w)) \mod 5 + 2
+$$
+
+**4. 证明自动机 $\tilde{M}$ 接受的语言是：**
+
+$$
+\{w \in \{0, 1\}^* \mid \#_0(w) \mod 5 = 2, \#_1(w) \mod 5 = 0\}
+$$
+
+自动机 $\tilde{M}$ 的接受状态为 $(q_2, q_2)$。根据转移函数定义，状态转移始终按照输入 0 来进行。因此，要使最终状态为 $(q_2, q_2)$，需要满足：
+
+$$
+(\#_0(w) + \#_1(w)) \mod 5 = 2
+$$
+
+并且，由于 $\#_1(w) \mod 5 = 0$，所以：
+$$
+\#_0(w) \mod 5 = 2
+$$
+因此，自动机 $\tilde{M}$ 接受的语言是：
+
+$$
+\{w \in \{0, 1\}^* \mid \#_0(w) \mod 5 = 2, \#_1(w) \mod 5 = 0\}
+$$
\ No newline at end of file
diff --git "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R04-\346\225\260\345\255\246-\345\220\221\351\207\217\345\210\206\346\236\220.md" "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R04-\346\225\260\345\255\246-\345\220\221\351\207\217\345\210\206\346\236\220.md"
index 58c864dd6..39ef47adc 100644
--- "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R04-\346\225\260\345\255\246-\345\220\221\351\207\217\345\210\206\346\236\220.md"
+++ "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R04-\346\225\260\345\255\246-\345\220\221\351\207\217\345\210\206\346\236\220.md"
@@ -77,4 +77,150 @@ $S_3$ is the boundary of the region enclosed by the cylindrical surface $x^2 + z
 ### Final Answers:
 1. Flux over $S_1$: $44\pi$.
 2. Flux over $S_2$: $22\pi$.
-3. Flux over $S_3$: $52\pi$.
\ No newline at end of file
+3. Flux over $S_3$: $52\pi$.
+
+
+
+
+To solve the problem of integrating the vector field $\mathbf{F} = x\mathbf{i} + 2y\mathbf{j} + 10z\mathbf{k}$ over the specified surfaces, we proceed as follows:
+
+### 1. Surface $S_1$: Cylindrical Surface $x^2 + z^2 = 1$ for $0 \leq y \leq 4$
+
+- **Parameterization**:
+  - Use cylindrical coordinates with $r = 1$, so $x = \cos\theta$, $z = \sin\theta$, and $0 \leq y \leq 4$.
+  - Position vector: $\mathbf{r}(\theta, y) = \cos\theta \mathbf{i} + y \mathbf{j} + \sin\theta \mathbf{k}$.
+  
+- **Differential Area Vector**:
+  - Compute partial derivatives: $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = -\sin\theta \mathbf{i} + \cos\theta \mathbf{k}$ and $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} = \mathbf{j}$.
+  - Cross product: $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = \cos\theta \mathbf{i} + \sin\theta \mathbf{k}$.
+  - This gives the outward-pointing normal vector.
+
+- **Dot Product**:
+  - $\mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = (\cos\theta \mathbf{i} + 2y \mathbf{j} + 10\sin\theta \mathbf{k}) \cdot (\cos\theta \mathbf{i} + \sin\theta \mathbf{k}) d\theta dy = (\cos^2\theta + 10\sin^2\theta) d\theta dy$.
+
+- **Integral**:
+  $$
+  \int_{S_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_{0}^{4} \int_{0}^{2\pi} (\cos^2\theta + 10\sin^2\theta) d\theta dy.
+  $$
+  - Integrate over $\theta$:
+    $$
+    \int_{0}^{2\pi} (\cos^2\theta + 10\sin^2\theta) d\theta = \int_{0}^{2\pi} (9\sin^2\theta + 1) d\theta = 9\pi + 2\pi = 11\pi.
+    $$
+  - Integrate over $y$:
+    $$
+    \int_{0}^{4} 11\pi dy = 44\pi.
+    $$
+  - **Result for $S_1$**: $44\pi$.
+
+### 2. Surface $S_2$: Half-Cylinder with $x^2 + z^2 = 1$ for $0 \leq y \leq 4$ and $z \geq 0$, plus the rectangle $z = 0$
+
+- **Cylindrical Part ($S_{2a}$)**:
+  - Similar to $S_1$, but for $0 \leq \theta \leq \pi$ (since $z \geq 0$).
+  - Integral over $S_{2a}$:
+    $$
+    \int_{S_{2a}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_{0}^{4} \int_{0}^{\pi} (\cos^2\theta + 10\sin^2\theta) d\theta dy = 22\pi.
+    $$
+
+- **Rectangular Part ($S_{2b}$)**:
+  - The rectangle is at $z = 0$, $-1 \leq x \leq 1$, $0 \leq y \leq 4$.
+  - Normal vector points downward: $-\mathbf{k}$.
+  - $\mathbf{F} \cdot (-\mathbf{k}) = -10z = 0$ (since $z = 0$).
+  - Integral over $S_{2b}$:
+    $$
+    \int_{S_{2b}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = 0.
+    $$
+
+- **Result for $S_2$**: $22\pi + 0 = 22\pi$.
+
+### 3. Surface $S_3$: Boundary of the Region Enclosed by $x^2 + z^2 = 1$, $z = 0$, $y = 0$, and $x + y = 4$
+
+- **Divergence Theorem**:
+  - Since $S_3$ is a closed surface, use the Divergence Theorem:
+    $$
+    \int_{S_3} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) dV.
+    $$
+  - Compute divergence:
+    $$
+    \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x) + \frac{\partial}{\partial y}(2y) + \frac{\partial}{\partial z}(10z) = 1 + 2 + 10 = 13.
+    $$
+  - Volume $V$ is a cylinder with radius 1, height from $y = 0$ to $y = 4$, cut by the plane $x + y = 4$.
+  - The volume can be found by integrating over the cylindrical coordinates, considering the bounds imposed by $x + y \leq 4$.
+
+- **Volume Integral**:
+  - Convert to cylindrical coordinates: $x = r\cos\theta$, $z = r\sin\theta$.
+  - The plane $x + y = 4$ gives $y = 4 - r\cos\theta$.
+  - The limits for $y$ are $0 \leq y \leq 4 - r\cos\theta$.
+  - Integrate:
+    $$
+    \int_V 13 \, dV = 13 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{0}^{4 - r\cos\theta} r \, dy \, dr \, d\theta.
+    $$
+    $$
+    = 13 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r(4 - r\cos\theta) \, dr \, d\theta = 13 \left( 4\pi - \frac{1}{3} \right).
+    $$
+  - **Result for $S_3$**: $13 \left( 4\pi - \frac{1}{3} \right)$.
+
+### Final Answers:
+1. **For $S_1$**: $44\pi$.
+2. **For $S_2$**: $22\pi$.
+3. **For $S_3$**: $13 \left( 4\pi - \frac{1}{3} \right)$.
+
+
+---
+# GPT-4o
+要计算面积分 $\int \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$，需要明确如何表达面积微元法向量 $d\mathbf{S}$ 并将其与向量场 $\mathbf{F}$ 进行点乘。以下是分步说明：
+
+### 1. 面积微元法向量 $d\mathbf{S}$ 的定义
+对于给定的曲面 $S$，面积微元法向量是：
+$$
+d\mathbf{S} = \mathbf{n} \, dS,
+$$
+其中：
+- $\mathbf{n}$ 是曲面 $S$ 在每一点的单位法向量。
+- $dS$ 是该点处的小面积元。
+
+因此，$\int \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$ 可以表示为：
+$$
+\int_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_S (\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}) \, dS.
+$$
+我们需要将 $dS$ 和 $\mathbf{n}$ 表达为参数形式。
+
+### 2. 分步骤计算的流程
+#### (a) 选择适当的参数化
+每个曲面 $S$ 可以用参数化的方法表示其点 $(x, y, z)$ 和面积微元 $dS$。参数化的选择依赖于曲面的定义。
+
+#### (b) 计算法向量
+通过参数化 $S$，我们可以用两个参数 $(u, v)$ 表示曲面上任意一点。参数化函数为 $\mathbf{r}(u, v)$，则法向量 $\mathbf{n}$ 可由叉积计算：
+$$
+\mathbf{n} \propto \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}.
+$$
+对该向量进行归一化后得到单位法向量。
+
+#### (c) 求点积并积分
+将参数化后的 $\mathbf{F}$ 和 $\mathbf{n}$ 表达为参数形式，计算点积并在参数范围内求积分：
+$$
+\int_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_{u, v} \mathbf{F}(\mathbf{r}(u, v)) \cdot \mathbf{n} \, \lVert \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \rVert \, du \, dv.
+$$
+
+### 3. 应用到具体问题
+#### 问题 1：柱面部分 $S_1$
+- **参数化**：柱面 $x^2 + z^2 = 1$ 可用参数 $(\theta, y)$ 表示：
+  $$
+  \mathbf{r}(\theta, y) = (\cos\theta, y, \sin\theta), \quad 0 \leq \theta \leq 2\pi, \, 0 \leq y \leq 4.
+  $$
+- **法向量**：$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}$ 和 $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}$ 的叉积为：
+  $$
+  \mathbf{n} = (\cos\theta, 0, \sin\theta), \quad dS = d\theta \, dy.
+  $$
+- **积分表达式**：
+  $$
+  \int_{S_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_0^{2\pi} \int_0^4 (x\cos\theta + 2y\cdot 0 + 10z\sin\theta) \, d\theta \, dy.
+  $$
+
+#### 问题 2：半柱面部分 $S_2$
+同理，将半柱面 $(0 \leq z)$ 与矩形面 $z = 0$ 分别参数化，重复上述过程。
+
+#### 问题 3：封闭区域 $S_3$
+利用柱面 $x^2 + z^2 = 1$ 和各个平面参数化，求出相应的法向量并积分。如果封闭区域完整，可以用高斯散度定理将问题转化为体积分。
+
+### 4. 核心计算
+将上述结果代入积分表达式，即可逐步计算得到结果。重要的是将 $\mathbf{F}$ 和 $\mathbf{n}$ 准确写成参数形式，然后依次积分。
\ No newline at end of file
diff --git "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R04ist.md" "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R04ist.md"
index e18bb4184..53a7fa5f0 100644
--- "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R04ist.md"
+++ "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R04ist.md"
@@ -3,7 +3,6 @@ tags:
   - 例题
   - 過去問
 dlink:
-  - "[[九州大学]]"
   - "[[R04ist.pdf]]"
 datetime: 2024-12-10 01:56:45
 ---
@@ -33,4 +32,4 @@ datetime: 2024-12-10 01:56:45
 ![[R04-C-問1#問1]]
 
 ---
-![[R04-C-問2#問2]]
\ No newline at end of file
+![[R04-C-問2#問2]]
diff --git "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R05-B-\345\225\2171.md" "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R05-B-\345\225\2171.md"
index 44605f0f5..a3ac0e235 100644
--- "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R05-B-\345\225\2171.md"
+++ "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R05-B-\345\225\2171.md"
@@ -21,4 +21,62 @@ $$
 (2) 对于概率密度函数 $p(x) = \frac{2x}{a^2}$，微分熵为
 $$
 h(X) = -\int_0^a \frac{2x}{a^2} \log \frac{2x}{a^2} \, dx = \log a - \frac{1}{2}
-$$
\ No newline at end of file
+$$
+
+
+
+# DeepSeekV3
+**解答：**
+
+(1) **区间 $[0, a]$ 上均匀分布的随机变量的微分熵：**
+
+均匀分布的概率密度函数为：
+$$ p(x) = \frac{1}{a}, \quad 0 \leq x \leq a $$
+
+微分熵的定义为：
+$$ h(X) = -\int_{0}^{a} p(x) \log p(x) \, dx $$
+
+代入 $p(x) = \frac{1}{a}$：
+$$ h(X) = -\int_{0}^{a} \frac{1}{a} \log \frac{1}{a} \, dx $$
+$$ = -\frac{1}{a} \log \frac{1}{a} \cdot a $$
+$$ = -\log \frac{1}{a} $$
+$$ = \log a $$
+
+因此，区间 $[0, a]$ 上均匀分布的随机变量的微分熵为：
+$$ h(X) = \log a $$
+
+(2) **区间 $[0, a]$ 上概率密度函数 $p(x) = \frac{2x}{a^2}$ 的随机变量的微分熵：**
+
+微分熵的定义为：
+$$ h(X) = -\int_{0}^{a} p(x) \log p(x) \, dx $$
+
+代入 $p(x) = \frac{2x}{a^2}$：
+$$ h(X) = -\int_{0}^{a} \frac{2x}{a^2} \log \left( \frac{2x}{a^2} \right) \, dx $$
+
+为了简化计算，进行变量代换 $y = \frac{x}{a}$，则 $x = a y$， $dx = a \, dy$，积分限变为 $0 \leq y \leq 1$，概率密度函数变为：
+$$ p(y) = \frac{2 a y}{a^2} = \frac{2y}{a} $$
+
+因此，微分熵变为：
+$$ h(X) = -\int_{0}^{1} \frac{2y}{a} \log \left( \frac{2y}{a} \right) \cdot a \, dy $$
+$$ = -2 \int_{0}^{1} y \log \left( \frac{2y}{a} \right) \, dy $$
+$$ = -2 \int_{0}^{1} y \left( \log(2y) - \log a \right) \, dy $$
+$$ = -2 \left( \int_{0}^{1} y \log(2y) \, dy - \log a \int_{0}^{1} y \, dy \right) $$
+
+先计算 $\int_{0}^{1} y \log(2y) \, dy$：
+利用分部积分法，设 $u = \log(2y)$， $dv = y \, dy$，则 $du = \frac{1}{y} \, dy$， $v = \frac{y^2}{2}$：
+$$ \int y \log(2y) \, dy = \frac{y^2}{2} \log(2y) - \int \frac{y^2}{2} \cdot \frac{1}{y} \, dy $$
+$$ = \frac{y^2}{2} \log(2y) - \frac{1}{2} \int y \, dy $$
+$$ = \frac{y^2}{2} \log(2y) - \frac{y^2}{4} $$
+
+在区间 $[0, 1]$ 上求定积分：
+$$ \int_{0}^{1} y \log(2y) \, dy = \left[ \frac{1}{2} \log 2 - \frac{1}{4} \right] - 0 = \frac{\log 2}{2} - \frac{1}{4} $$
+
+再计算 $\int_{0}^{1} y \, dy = \frac{1}{2}$
+
+将结果代入微分熵表达式：
+$$ h(X) = -2 \left( \frac{\log 2}{2} - \frac{1}{4} - \log a \cdot \frac{1}{2} \right) $$
+$$ = -2 \left( \frac{\log 2}{2} - \frac{1}{4} - \frac{\log a}{2} \right) $$
+$$ = -\log 2 + \frac{1}{2} + \log a $$
+
+因此，区间 $[0, a]$ 上概率密度函数 $p(x) = \frac{2x}{a^2}$ 的随机变量的微分熵为：
+$$ h(X) = \log a - \frac{1}{2} $$
\ No newline at end of file
diff --git "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R05ist.md" "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R05ist.md"
index 15c7ad593..971c89b3c 100644
--- "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R05ist.md"
+++ "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R05ist.md"
@@ -3,7 +3,6 @@ tags:
   - 例题
   - 過去問
 dlink:
-  - "[[九州大学]]"
   - "[[R05ist.pdf]]"
 datetime: 2024-12-13 10:09:43
 ---
diff --git "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06-B-\345\225\2171.md" "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06-B-\345\225\2171.md"
new file mode 100644
index 000000000..cf4e2a01a
--- /dev/null
+++ "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06-B-\345\225\2171.md"
@@ -0,0 +1,86 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[R06ist]]"
+---
+## 【問1】  
+アルファベット $\{s_1, s_2, s_3, s_4, s_5, s_6\}$ 上の無記憶情報源 $S$ の符号化に関して，以下の問いに答えよ。ただし，符号語アルファベットを $\{0, 1\}$ とする。
+
+1. 無記憶情報源 $S$ に関して，各符号語長を $3, 3, 3, 2, 2, 2$ とする符号が瞬時に復号可能になり得るかどうかを述べよ。なり得る場合，瞬時に復号可能な符号の一例を示せ。  
+2. 無記憶情報源 $S$ に関して，各符号語長を $3, 3, 3, 3, 2, 2$ とする符号が瞬時に復号可能になり得るかどうかを述べよ。なり得る場合，瞬時に復号可能な符号の一例を示せ。  
+以後の問いにおいて， 無記憶情報源 S に関して，その確率分布が
+$$
+P(s_1) = 0.18, \, P(s_2) = 0.2, \, P(s_3) = 0.3, \, P(s_4) = 0.13, \, P(s_5) = 0.11, \, P(s_6) = 0.08
+$$
+であるとする．次の問いに 答えよ
+3. 無記憶情報源 $S$ に関して，その確率分布が以下のように与えられるとする：  
+   ハフマン符号化により符号化せよ。
+4. ハフマン符号化により得られた符号の平均符号長を求めよ。
+
+
+# DeepSeekV3
+
+### 1. 各符号码长为 $3, 3, 3, 2, 2, 2$ 时，是否可以瞬时解码？
+
+计算克拉夫特不等式：
+$$
+2^{-3} + 2^{-3} + 2^{-3} + 2^{-2} + 2^{-2} + 2^{-2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{8} + \frac{3}{4} = \frac{9}{8} > 1
+$$
+不满足克拉夫特不等式，因此**无法构建瞬时编码**。
+### 2. 各符号码长为 $3, 3, 3, 3, 2, 2$ 时，是否可以瞬时解码？
+
+
+计算克拉夫特不等式：
+$$
+2^{-3} + 2^{-3} + 2^{-3} + 2^{-3} + 2^{-2} + 2^{-2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{8} + \frac{2}{4} = 1
+$$
+满足克拉夫特不等式，因此**可以构建瞬时编码**。
+
+例如：
+- $s_5$: 00
+- $s_6$: 01
+- $s_1$: 100
+- $s_2$: 101
+- $s_3$: 110
+- $s_4$: 111
+
+此编码满足前缀条件，因此是瞬时可解码的。
+
+
+### 3. 哈夫曼编码
+
+给定概率分布：
+
+$$
+P(s_1) = 0.18, \, P(s_2) = 0.2, \, P(s_3) = 0.3, \, P(s_4) = 0.13, \, P(s_5) = 0.11, \, P(s_6) = 0.08
+$$
+
+按照哈夫曼编码步骤，合并过程如下：
+
+1. 合并 $s_6$ (0.08) 和 $s_5$ (0.11)，得到新节点 0.19。
+2. 合并 $s_4$ (0.13) 和 $s_1$ (0.18)，得到新节点 0.31。
+3. 合并 0.19 和 0.31，得到新节点 0.5。
+4. 合并 $s_2$ (0.2) 和 $s_3$ (0.3)，得到新节点 0.5。
+5. 最后合并 0.5 和 0.5，得到根节点 1.0。
+
+根据树的结构，哈夫曼编码如下：
+
+- $s_3$: 0
+- $s_2$: 10
+- $s_4$: 110
+- $s_1$: 1110
+- $s_5$: 11110
+- $s_6$: 11111
+
+### 4. 哈夫曼编码的平均码长
+
+根据上述编码，计算平均码长：
+
+$$
+L = 0.3 \times 1 + 0.2 \times 2 + 0.13 \times 3 + 0.18 \times 4 + 0.11 \times 5 + 0.08 \times 5
+$$
+
+$$
+L = 0.3 + 0.4 + 0.39 + 0.72 + 0.55 + 0.4 = 2.76 \text{ 比特/符号}
+$$
diff --git "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06-B-\345\225\2172.md" "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06-B-\345\225\2172.md"
new file mode 100644
index 000000000..ad55611ec
--- /dev/null
+++ "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06-B-\345\225\2172.md"
@@ -0,0 +1,66 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[R06ist]]"
+---
+## 【問2】  
+アルファベット $X = \{1, 2, 3\}$ 上の確率分布 $p_1$ と $p_2$ を以下のように定める：  
+$$
+p_1(1) = 1, \, p_1(2) = 0, \, p_1(3) = 0, \quad p_2(1) = 0, \, p_2(2) = b, \, p_2(3) = 1 - b
+$$
+ただし，$b \in (0, 1)$ を定数とする。$p_1$ と $p_2$ の重み付き平均で表される確率分布 $q$ のうち，$X$ 上の一様分布 $u$ とのKullback-Leiblerダイバージェンス  
+$$
+D(u || q) = \sum_{x \in X} u(x) \log \frac{u(x)}{q(x)}
+$$
+が最小となるものを求めよ。
+
+---
+# DeepSeekV3
+アルファベット $X = \{1, 2, 3\}$ 上の確率分布 $q$ は、$p_1$ と $p_2$ の重み付き平均として $q(x) = \alpha p_1(x) + (1 - \alpha) p_2(x)$ で表される。ここで、$\alpha \in [0, 1]$ である。一様分布 $u$ とのKLダイバージェンス $D(u \| q)$ を最小化する $\alpha$ を求める。
+
+### ステップ1: $q$ の表現
+$p_1$ と $p_2$ の定義より：
+$$
+\begin{aligned}
+q(1) &= \alpha \cdot 1 + (1 - \alpha) \cdot 0 = \alpha, \\
+q(2) &= \alpha \cdot 0 + (1 - \alpha) \cdot b = (1 - \alpha)b, \\
+q(3) &= \alpha \cdot 0 + (1 - \alpha) \cdot (1 - b) = (1 - \alpha)(1 - b).
+\end{aligned}
+$$
+
+### ステップ2: KLダイバージェンスの最小化
+一様分布 $u(x) = \frac{1}{3}$ に対するKLダイバージェンスは：
+$$
+D(u \| q) = \frac{1}{3} \sum_{x \in X} \log \frac{1/3}{q(x)} = -\log 3 - \frac{1}{3} \sum_{x \in X} \log q(x).
+$$
+これを最小化するには、$\sum_{x \in X} \log q(x)$ を最大化すればよい。具体的には：
+$$
+\log \left( \alpha \cdot (1 - \alpha)b \cdot (1 - \alpha)(1 - b) \right) = \log \left( \alpha (1 - \alpha)^2 b(1 - b) \right).
+$$
+定数 $b(1 - b)$ を無視すると、最大化対象は $\alpha (1 - \alpha)^2$ となる。
+
+### ステップ3: 最大化問題の解析
+関数 $f(\alpha) = \alpha (1 - \alpha)^2$ の微分は：
+$$
+f'(\alpha) = (1 - \alpha)^2 - 2\alpha(1 - \alpha) = (1 - \alpha)(1 - 3\alpha).
+$$
+$f'(\alpha) = 0$ の解は $\alpha = 1/3$ または $\alpha = 1$。区間 $[0, 1]$ での最大値は $\alpha = 1/3$ で達成され：
+$$
+f(1/3) = \frac{1}{3} \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{27}.
+$$
+
+### ステップ4: 最適な $q$ の導出
+$\alpha = 1/3$ を代入すると：
+$$
+\begin{aligned}
+q(1) &= \frac{1}{3}, \\
+q(2) &= \frac{2}{3}b, \\
+q(3) &= \frac{2}{3}(1 - b).
+\end{aligned}
+$$
+
+**答え：**
+$$
+q(1) = \frac{1}{3}, \quad q(2) = \frac{2}{3}b, \quad q(3) = \frac{2}{3}(1 - b).
+$$
\ No newline at end of file
diff --git "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06-C-\345\225\2171.md" "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06-C-\345\225\2171.md"
new file mode 100644
index 000000000..a56e390ec
--- /dev/null
+++ "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06-C-\345\225\2171.md"
@@ -0,0 +1,53 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[R06ist]]"
+---
+### 問1
+アルファベット $\Sigma = \{a, d\}$ 上の言語 $L$ を以下のように定義する：
+$$L = \{ w \in \Sigma^* \mid w \in \{xad, xadd, xdad\} \text{ for some } x \in \Sigma^* \}$$以下の図は $L$ を受理する非決定性有限オートマトン $M = (K, \Sigma, \delta, q_0, F)$ の状態遷移図である。ただし
+- $K = \{q_0, q_1, \dots, q_8\}$
+- $\Sigma = \{a, d\}$
+- $\delta$ 
+- $q_0$
+- $F = \{q_2, q_5, q_8\}$
+は、それぞれ $M$ の状態の集合、アルファベット、遷移関数、初期状態、受理状態の集合を表す。次の各問いに答えよ：
+```tikz
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{positioning}
+
+\begin{document}
+\begin{tikzpicture}[node distance=1cm and 1cm]
+
+% Nodes
+  \node (q0) [circle, draw] {$q_0$};
+  \node (q1) [circle, draw, above right=of q0] {$q_1$}; % q1在右上角
+  \node (q3) [circle, draw, right=of q0] {$q_3$};       % q3在正右方
+  \node (q6) [circle, draw, below right=of q0] {$q_6$}; % q6在右下角
+
+  \node (q2) [circle, draw, double, right=of q1] {$q_2$};
+  \node (q4) [circle, draw, right=of q3] {$q_4$};
+  \node (q5) [circle, draw, double, right=of q4] {$q_5$};
+  \node (q7) [circle, draw, right=of q6] {$q_7$};
+  \node (q8) [circle, draw, double, right=of q7] {$q_8$};
+
+  % Edges
+  \draw[->] (-0.5, 0) -- (q0);% Start state arrow
+  \draw[->] (q0) to[loop above] node {a, d} ();
+  \draw[->] (q0) to node[midway, above left] {a} (q1);
+  \draw[->] (q0) to node[midway, above] {a} (q3);
+  \draw[->] (q0) to node[midway, below left] {d} (q6);
+  \draw[->] (q1) to node[midway, above] {d} (q2);
+  \draw[->] (q3) to node[midway, above] {d} (q4);
+  \draw[->] (q4) to node[midway, above] {d} (q5);
+  \draw[->] (q6) to node[midway, above] {a} (q7);
+  \draw[->] (q7) to node[midway, above] {d} (q8);
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+```
+1. $L$ を受理する状態数4の非決定性有限オートマトンの状態遷移図を示せ。  
+2. $L$ を表す正規表現を示せ。  
+3. $L$ を受理する状態数4の決定性有限オートマトンの状態遷移図を示せ。  
+4. $L$ を受理する決定性有限オートマトンの状態数は必ず4以上であることを証明せよ。
\ No newline at end of file
diff --git "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06-C-\345\225\2172.md" "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06-C-\345\225\2172.md"
new file mode 100644
index 000000000..8f7f2566a
--- /dev/null
+++ "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06-C-\345\225\2172.md"
@@ -0,0 +1,103 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[R06ist]]"
+---
+### 問2
+アルファベット $\Sigma = \{\rightarrow, \leftarrow, \uparrow, \downarrow\}$ 上の文字列 $a = a[1]a[2]\cdots a[n]$（各 $i$ に対し $a[i] \in \Sigma$）に対し、2次元ベクトルの系列 $f(a) = (p[0], p[1], \dots, p[n])$（各 $i$ に対し $p[i] = (x[i], y[i])$, $x[i], y[i]$ は整数）を次のように定義する：
+$$
+p[i] = 
+\begin{cases} 
+p[i-1] + (1, 0) & \text{if } a[i] = \rightarrow \\
+p[i-1] - (1, 0) & \text{if } a[i] = \leftarrow \\
+p[i-1] + (0, 1) & \text{if } a[i] = \uparrow \\
+p[i-1] - (0, 1) & \text{if } a[i] = \downarrow
+\end{cases}
+$$
+すなわち、$f(a)$ は、原点からスタートして $a$ の矢印の向きに従って2次元格子点上を遷移したときの軌跡を表す。
+また、各 $i = 1, 2, \dots, n$ に対し、$|x[i]| + |y[i]| > |x[i-1]| + |y[i-1]|$ のとき（$a[i]$ によって原点から遠ざかる方向に遷移したとき） $i$ を**前進ステップ**、そうでないとき（$a[i]$ によって原点に近づく方向に遷移したとき） $i$ を**後進ステップ**と呼ぶ。
+
+文字列 $a$ が**往復的**であることを、任意の後進ステップ $i$ に対し、
+$$
+i_0 = \max\{j \mid j \leq i-1, p[j] = p[i-1], j \text{ は前進ステップ}\}
+$$
+が存在し、$p[i] = p[i_0 - 1]$ が成り立つことと定義する。すなわち，往復的な文字列 $a$ に おいては，後進ステップ i による $p[i − 1]$ から $p[i]$ への遷移は，i に対応する前進ステッ プ $i_0$ による $p[i_0 − 1]$ から $p[i_0]$ への遷移を逆にたどるものとなっている．往復的で $f(a)$ の最後の要素が原点であるような文字列 a からなる言語
+
+言語 $L$ を以下のように定義する：
+$$
+L = \bigcup_{n \geq 0} \{a \in \Sigma^n \mid a \text{ は往復的}, p = f(a), p[n] = (0, 0)\}.
+$$
+について，次の各問いに答えよ.  
+1. 以下の文字列 $a_1, a_2, a_3, a_4$ が $L$ の要素であるか否かをそれぞれ判定せよ。  
+   - $a_1 = \uparrow \uparrow \downarrow \rightarrow \downarrow \uparrow \leftarrow \downarrow$  
+   - $a_2 = \rightarrow \rightarrow \leftarrow \leftarrow \leftarrow \uparrow \downarrow \rightarrow$  
+   - $a_3 = \downarrow \leftarrow \uparrow \rightarrow$  
+   - $a_4 = \leftarrow \uparrow \uparrow \downarrow \leftarrow \rightarrow \downarrow \leftarrow \downarrow \uparrow$  
+2. 次の図は、アルファベットを $\{\rightarrow, \leftarrow\}$ に限定した言語 $L \cap \{\rightarrow, \leftarrow\}^*$ を最終状態によって受理するプッシュダウンオートマトン（PDA）の状態遷移図の一部である。空欄 ①, ②, ③ を埋めよ。（2か所の ③ には同じものが入る。）
+```tikz
+\usepackage{tikz}
+\begin{document}
+\begin{tikzpicture}[->, shorten >=1pt, auto, semithick]
+  % 定义状态节点
+  \node[circle, draw] (s_) at (-2, 0) {$S_-$};
+  \node[double,circle, draw] (s0) at (0, 0) {$S_0$};
+  \node[circle, draw] (s+) at (2, 0) {$S_+$};
+
+  % 定义状态转移
+\path 
+(s_) 
+edge[loop left] node[left] {
+	$\leftarrow, \leftarrow /\leftarrow\leftarrow$,\\
+	$\rightarrow,\leftarrow /\epsilon$} ()
+edge[bend right] node[below] {3} (s0)
+(s0) 
+edge[bend right] node[above] {${1}$} (s_)
+edge[bend left] node[above] {$\rightarrow, Z / \rightarrow Z$} (s+)
+(s+) 
+edge[loop right] node[above] {${2}$} ()
+edge[bend left] node[below] {${3}$} (s0);
+
+\draw[->] (-0.5, -0.5) -- (s0);
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+```
+
+遷移規則 $a,b / s$ は，遷移元の状態で読んだ入力文字が $a$，スタックの先頭文字が $b$ のとき，遷移先の状態に遷移し，スタックの先頭を文字 $b$ から文字列 $s$ に置き換える動作を表す．ただし，$\epsilon$ は空文字列を表す．初期状態では，スタックは，空であることを表す特殊文字 $Z$ のみを保持しているとする．$S_0$ は初期状態であり唯一の最終状態でもある． 
+ヒント：状態 $S_0$，$S_+$，$S_−$ は，それぞれ，$x[i] = 0$，$x[i] > 0$，$x[i] < 0$ であることを表す
+
+3. 次の図は、言語 $L$ を最終状態で受理するPDAの状態遷移図の一部である。ただし、②と③は、(2)で求めたものと同じである。④と⑤を埋めよ。
+```tikz
+\usepackage{tikz}
+\begin{document}
+\begin{tikzpicture}[->, shorten >=1pt, auto, semithick]
+  % 定义状态节点
+  \node[double, circle, draw] (s0) at (-2, -2) {$S_0$};
+  \node[circle, draw] (s0plus) at (-2, 2) {$S_{0+}$};
+  \node[circle, draw] (splusplus) at (2, 2) {$S_{++}$};
+  \node[circle, draw] (splus0) at (2, -2) {$S_{+0}$};
+
+  % 定义状态转移
+  \path 
+  % S0+ 到其他节点
+  (s0plus) edge[bend left] node[above] {$\to, \uparrow / \to Y \uparrow$} (splusplus)
+           edge[bend left] node[right] {3} (s0)
+           edge[loop above] node {4} (s0plus)
+  % S++ 到其他节点
+  (splusplus) edge[bend left] node {$\epsilon, Y / \epsilon$} (s0plus)
+              edge[bend left] node[right] {$\epsilon, X / \epsilon$} (splus0)
+              edge[loop right] node[right] {5} (splusplus)
+  % S+0 到其他节点
+  (splus0) edge[bend left] node {3} (s0)
+           edge[bend left] node {$\uparrow, \to / \uparrow X \to$} (splusplus)
+           edge[loop right] node[right] {2} (splus0)
+  % S0 到其他节点
+  (s0) edge[bend left] node {$\uparrow, Z / \uparrow Z$} (s0plus)
+       edge[bend left] node {$\epsilon, Z / \to Z$} (splus0);
+
+\draw[->] (-3, -3) -- (s0);
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+```
+ヒント：このPDAは、$x[i]$ と $y[i]$ の全ての符号の組に対応する9個の状態を持つ。このうち、$x[i] = y[i] = 0$ を表す状態 $S_0$（初期状態であり唯一の最終状態でもある）、$x[i] = 0, y[i] > 0$ を表す状態 $S_{0+}$、$x[i] > 0, y[i] = 0$ を表す状態 $S_{+0}$、$x[i] > 0, y[i] > 0$ を表す状態 $S_{++}$ の4つの状態間の状態遷移図のみ示してある。
diff --git "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06-\346\225\260\345\255\246-\345\220\221\351\207\217\345\210\206\346\236\220.md" "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06-\346\225\260\345\255\246-\345\220\221\351\207\217\345\210\206\346\236\220.md"
new file mode 100644
index 000000000..4e3d3fd96
--- /dev/null
+++ "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06-\346\225\260\345\255\246-\345\220\221\351\207\217\345\210\206\346\236\220.md"
@@ -0,0 +1,225 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[R06ist]]"
+---
+## ベクトル解析
+
+直交座標系において，$x$，$y$軸方向の単位ベクトルをそれぞれ $\mathbf{i}$，$\mathbf{j}$ とする．次の (1)，(2) で示すベクトル場 $\mathbf{F}$ と経路 $C$ について，線積分
+$$
+\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
+$$
+をそれぞれ求めよ．
+
+1. ベクトル場 
+$$
+\mathbf{F} = (2xy^3 - y)\mathbf{i} \;+\; (3x^2y^2 - x)\mathbf{j}
+$$
+とし，経路 $C$ を曲線 
+$$
+y^3 + x^2 - 2xy = 1
+$$
+上で，始点 $(-13,-4)$ から終点 $(5,-4)$ までの部分とする．
+
+2. ベクトル場
+$$
+\mathbf{F} = (3e^{2x} + 4y)\mathbf{i} \;+\; (x + 7y e^y)\mathbf{j}
+$$
+とする．経路 $C$ は，点 $P(0,0)$，$Q(2,2)$，$R(4,6)$，$S(1,3)$ を頂点とする四辺形であり，$P\to Q\to R\to S\to P$ の向きに一周するものとする．
+
+---
+
+## Vector Analysis
+
+The unit vectors on x and y axes of Cartesian coordinates are denoted by i and j, respectively. Find each line integral $$\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$ of the vector field $F$ along the path $C$ defined in (1) and (2)
+
+Let $\mathbf{i}$ and $\mathbf{j}$ be the unit vectors along the $x$- and $y$-axes in the Cartesian coordinate system, respectively.  For the following vector fields $\mathbf{F}$ and paths $C$ given in (1) and (2), compute the line integrals
+$$
+\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
+$$
+
+1. Let 
+$$
+\mathbf{F} = (2xy^3 - y)\mathbf{i} \;+\; (3x^2y^2 - x)\mathbf{j},
+$$
+and let $C$ be the portion of the curve 
+$$
+y^3 + x^2 - 2xy = 1
+$$
+from $(-13,-4)$ to $(5,-4)$.
+
+2. Let
+$$
+\mathbf{F} = (3e^{2x} + 4y)\mathbf{i} \;+\; \bigl(x + 7y e^y\bigr)\mathbf{j},
+$$
+and let $C$ be the quadrilateral with vertices $P(0,0)$, $Q(2,2)$, $R(4,6)$, and $S(1,3)$, oriented in the order $P\to Q\to R\to S\to P$.
+
+---
+# o1
+## 解法の概略
+
+### (1) の線積分
+
+1. **ベクトル場が保守場（勾配ベクトル場）かの判定**
+
+   与えられた $\mathbf{F} = (2xy^3 - y,\, 3x^2y^2 - x)$ について，
+   $$
+   \frac{\partial}{\partial y}(2xy^3 - y)
+   \quad\text{と}\quad
+   \frac{\partial}{\partial x}(3x^2y^2 - x)
+   $$
+   を比較すると，両者とも $6xy^2 - 1$ となり一致する．  
+   したがって $\mathbf{F}$ は保守場であり，あるスカラー関数 $\phi(x,y)$ が存在して $\nabla\phi = \mathbf{F}$ を満たす．
+
+2. **ポテンシャル関数 $\phi(x,y)$ の求め方**
+
+   $\mathbf{F} = \bigl(\phi_x,\;\phi_y\bigr)$ なので，
+   $$
+     \phi_x = 2xy^3 - y 
+     \quad\Longrightarrow\quad
+     \phi(x,y) = \int (2xy^3 - y)\,dx 
+     = x^2y^3 - xy + g(y).
+   $$
+   次に $\phi_y$ をとると，
+   $$
+     \phi_y = 3x^2y^2 - x + g'(y)
+   $$
+   が与えられるが，これが $\mathbf{F}$ の第2成分 $3x^2y^2 - x$ に一致するには $g'(y) = 0$ が必要なので，$g(y)$ は定数でよい．  
+   よって
+   $$
+     \phi(x,y) = x^2y^3 - xy
+   $$
+   としてよい．
+
+3. **始点・終点でのポテンシャルを評価**
+
+   線積分 $\displaystyle \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ は保守場の場合
+   $$
+   \phi(\text{終点}) \;-\; \phi(\text{始点})
+   $$
+   で与えられる．
+
+   - $\phi(5, -4)$ の計算  
+     $$
+       \phi(5,-4)
+       = 5^2 \times (-4)^3 \;-\; 5\times(-4)
+       = 25 \times (-64) + 20
+       = -1600 + 20
+       = -1580.
+     $$
+   - $\phi(-13, -4)$ の計算  
+     $$
+       \phi(-13, -4)
+       = (-13)^2 \times (-4)^3 \;-\; \bigl((-13)\times(-4)\bigr)
+       = 169 \times (-64) \;-\; 52
+       = -10816 - 52
+       = -10868.
+     $$
+
+   従って，
+   $$
+     \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
+     = \phi(5, -4)\;-\;\phi(-13, -4)
+     = (-1580) - (-10868)
+     = 9288.
+   $$
+   これが (1) の答えになる．
+
+---
+
+### (2) の線積分
+
+1. **ベクトル場 $\mathbf{F} = (3e^{2x} + 4y,\; x + 7y e^y)$ が保守場かの判定**
+  $$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(3e^{2x} + 4y) = 4,\quad 
+   \frac{\partial}{\partial x}(x + 7y e^y) = 1.$$  
+   これらは一致しないので，$\mathbf{F}$ は保守場ではない．
+
+2. **経路 $C$ が閉曲線であることの確認**
+
+   頂点 $P\to Q\to R\to S\to P$ という四辺形を一周する向きなので，$C$ は閉曲線である．
+
+3. **グリーンの定理の適用**
+
+   $C$ が正の向き（反時計回り）で囲む領域を $D$ とすると，グリーンの定理より
+   $$
+     \oint_C (P\,dx + Q\,dy)
+     \;=\;
+     \iint_D 
+       \biggl(
+         \frac{\partial Q}{\partial x}
+         - 
+         \frac{\partial P}{\partial y}
+       \biggr)\,dA
+     \quad
+     \bigl(P = 3e^{2x}+4y,\; Q=x+7y e^y \bigr).
+   $$
+   ここで
+   $$
+   \frac{\partial Q}{\partial x} = 1,
+   \quad
+   \frac{\partial P}{\partial y} = 4,
+   $$
+   よって被積分関数は
+   $$
+   1 - 4 = -3.
+   $$
+   すなわち
+   $$
+     \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
+     \;=\;
+     \iint_D (-3)\,dA
+     \;=\;
+     -3 \iint_D 1\,dA
+     \;=\;
+     -3\,(\text{領域 }D\text{の面積}).
+   $$
+
+4. **四辺形 $PQRS$ の面積計算**
+
+   頂点を $P(0,0), Q(2,2), R(4,6), S(1,3)$ とするとき，座標を順に $(x_1,y_1)=(0,0)$, $(x_2,y_2)=(2,2)$, $(x_3,y_3)=(4,6)$, $(x_4,y_4)=(1,3)$ として多角形の面積公式（あるいは行列式による公式）を用いると
+
+   $$
+   \text{Area}(D)
+   =
+   \frac{1}{2}
+   \bigl|
+     x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1
+     - 
+     (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1)
+   \bigr|.
+   $$
+
+   実際に計算すると
+   $$
+   x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 = 0\cdot2 + 2\cdot6 + 4\cdot3 + 1\cdot0 = 24,
+   $$
+   $$
+   y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1 = 0\cdot2 + 2\cdot4 + 6\cdot1 + 3\cdot0 = 14,
+   $$
+   よって差は $24 - 14 = 10$，面積は
+   $$
+     \frac12 \times 10 = 5.
+   $$
+
+   従って
+   $$
+     \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
+     \;=\;
+     -3 \times 5
+     \;=\;
+     -15.
+   $$
+   これが (2) の答えである．
+
+---
+
+## 最終的な答え
+
+1. $\displaystyle \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 9288.$
+
+2. $\displaystyle \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = -15.$
+
+以上が問題 (1)・(2) の線積分の値となります。
+
+
diff --git "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06-\346\225\260\345\255\246-\345\276\256\347\247\257\345\210\206.md" "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06-\346\225\260\345\255\246-\345\276\256\347\247\257\345\210\206.md"
new file mode 100644
index 000000000..44b89e45c
--- /dev/null
+++ "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06-\346\225\260\345\255\246-\345\276\256\347\247\257\345\210\206.md"
@@ -0,0 +1,97 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[R06ist]]"
+---
+## 解析学・微積分 (Analysis and Calculus)
+
+1. 次の積分を計算せよ：
+   $$
+   I = \int_{0}^{\infty} x^5 \exp(-x^4) \, dx
+   $$
+   ただし、以下を証明なく用いてよい：
+   $$
+   \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-x^2) \, dx = \sqrt{\pi}
+   $$
+
+2. 次の微分方程式の一般解を求めよ：
+   $$
+   \frac{dy}{dx} + y = x \sinh(x)
+   $$
+
+3. 複素関数 $f(z) = \frac{1}{z^4 + 1}$ を考える。以下に答えよ：
+   1. $f(z)$ の極を全て求めよ。
+   2. $C$ を図示した半円とし、$R > 1$ の場合、複素積分 $\int_C f(z) \, dz$ を計算せよ。
+
+1. **积分の計算**  
+   次の積分を計算する：  
+   $$
+   I = \int_{0}^{\infty} x^5 \exp(-x^4) \, dx
+   $$  
+---
+# DeepSeekV3
+   **解答：**  
+   変数変換 $t = x^4$ とすると、$dt = 4x^3 dx$ より $x^3 dx = dt/4$。被積分関数は $x^5 \exp(-x^4) = x^2 \cdot x^3 \exp(-x^4)$ となるため、  
+   $$
+   I = \int_{0}^{\infty} t^{1/2} \exp(-t) \cdot \frac{dt}{4} = \frac{1}{4} \int_{0}^{\infty} t^{1/2} e^{-t} dt
+   $$  
+   これはガンマ関数 $\Gamma(3/2) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ を用いて、  
+   $$
+   I = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \frac{\sqrt{\pi}}{8}
+   $$  
+   **答え：**  
+   $$
+   I = \boxed{\dfrac{\sqrt{\pi}}{8}}
+   $$
+
+2. **微分方程式の一般解**  
+   次の微分方程式を解く：  
+   $$
+   \frac{dy}{dx} + y = x \sinh(x)
+   $$  
+   **解答：**  
+   積分因子 $\mu(x) = e^x$ を掛けると、  
+   $$
+   e^x \frac{dy}{dx} + e^x y = x e^x \sinh(x)
+   $$  
+   左辺は $\frac{d}{dx}(e^x y)$ となる。右辺を計算するため、$\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ を代入し、  
+   $$
+   \int x \sinh(x) e^x dx = \frac{1}{2} \int x(e^{2x} - 1) dx
+   $$  
+   部分積分を行い、解を求めると、  
+   $$
+   y = e^{-x} \left( \frac{1}{2} \left( \frac{x}{2} e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} - \frac{x^2}{2} \right) + C \right)
+   $$  
+   整理して、  
+   **答え：**  
+   $$
+   y = \boxed{\left( \dfrac{x}{4} - \dfrac{1}{8} \right) e^x + \left( C - \dfrac{x^2}{4} \right) e^{-x}}
+   $$
+
+3. **複素関数の極と積分**  
+   (i) **極の特定**  
+   関数 $f(z) = \frac{1}{z^4 + 1}$ の極は、$z^4 = -1$ の解である。  
+   解は $z = e^{i(\pi/4 + k\pi/2)}$ （$k = 0, 1, 2, 3$）、すなわち  
+   $$
+   z = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} \pm i \dfrac{\sqrt{2}}{2}
+   $$  
+   **答え：**  
+   極は  
+   $$
+   \boxed{z = e^{i\pi/4},\ e^{i3\pi/4},\ e^{i5\pi/4},\ e^{i7\pi/4}}
+   $$  
+
+   (ii) **複素積分の計算**  
+   上半平面の半円周 $C$ に沿う積分を留数定理で計算する。上半平面内の極は $e^{i\pi/4}$ と $e^{i3\pi/4}$ の2つ。各極の留数は  
+   $$
+   \text{Res}(f, e^{i\pi/4}) = \frac{1}{4e^{i3\pi/4}}, \quad \text{Res}(f, e^{i3\pi/4}) = \frac{1}{4e^{i\pi/4}}
+   $$  
+   留数の和は $-\frac{i}{2\sqrt{2}}$。積分値は  
+   $$
+   \int_C f(z) dz = 2\pi i \cdot \left( -\frac{i}{2\sqrt{2}} \right) = \frac{\pi}{\sqrt{2}}
+   $$  
+   **答え：**  
+   $$
+   \boxed{\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}}
+   $$
\ No newline at end of file
diff --git "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06-\346\225\260\345\255\246-\346\246\202\347\216\207\347\273\237\350\256\241.md" "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06-\346\225\260\345\255\246-\346\246\202\347\216\207\347\273\237\350\256\241.md"
new file mode 100644
index 000000000..245ea2f4e
--- /dev/null
+++ "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06-\346\225\260\345\255\246-\346\246\202\347\216\207\347\273\237\350\256\241.md"
@@ -0,0 +1,38 @@
+---
+datetime: 2025-01-10 21:09:58
+dlink:
+  - "[[R06ist]]"
+---
+## 確率・統計
+
+1. 箱の中に $N_1$ 個の白球と $N_2$ 個の黒球があり、総数は $N = N_1 + N_2$ である。箱からランダムに 2 個の球を取り出すとき、両方が白球である確率が $1/2$ であることが分かっている。
+   1. $N_2$ が奇数の場合、$N_1$ の最小値を求めよ。
+   2. $N_2$ が偶数の場合、$N_1$ の最小値を求めよ。
+   3. $N$ の最小値を 3 通り求めよ。
+
+## Probability and Statistics
+
+
+---
+# DeepSeekV3
+
+### 解答
+
+1. **$N_2$ が奇数の場合の $N_1$ の最小値**  
+   与えられた条件から、確率方程式を導出し、ペル方程式の解を利用して解析します。  
+   - ペル方程式 $x^2 - 8y^2 = 1$ の解のうち、$y$ が奇数の最小解は $(x, y) = (3, 1)$ です。  
+   - これに対応する $N_2 = 1$（奇数）のとき、$N_1 = \frac{2 \cdot 1 + 1 + 3}{2} = 3$ となります。  
+   - 実際の確率を計算すると $\frac{\binom{3}{2}}{\binom{4}{2}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ となり条件を満たします。
+
+   **答え**  
+   $\boxed{3}$
+
+2. **$N_2$ が偶数の場合の $N_1$ の最小値**  
+   同様にペル方程式の解を利用します。  
+   - $y$ が偶数の最小解は $(x, y) = (17, 6)$ です。  
+   - これに対応する $N_2 = 6$（偶数）のとき、$N_1 = \frac{2 \cdot 6 + 1 + 17}{2} = 15$ となります。  
+   - 実際の確率を計算すると $\frac{\binom{15}{2}}{\binom{21}{2}} = \frac{105}{210} = \frac{1}{2}$ となり条件を満たします。
+
+   **答え**  
+   $\boxed{15}$
+   
\ No newline at end of file
diff --git "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06-\346\225\260\345\255\246-\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260.md" "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06-\346\225\260\345\255\246-\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260.md"
new file mode 100644
index 000000000..c2384b9db
--- /dev/null
+++ "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06-\346\225\260\345\255\246-\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260.md"
@@ -0,0 +1,59 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[R06ist]]"
+---
+## 線形代数 (Linear Algebra)
+1. 実数行列 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ および実数ベクトル $b \in \mathbb{R}^m$ に対して、集合を以下のように定義する：
+   $$
+   S = \{x \in \mathbb{R}^n \mid Ax = b\}, \quad f(x) = Ax
+   $$
+   次の事実を証明なく用いてよい。
+   - ベクトル空間 $V$ の部分空間 $W \subseteq V$ である条件は次の通りである：
+     - $C1: 0 \in W$
+     - $C2: u, v \in W \implies u + v \in W$
+     - $C3: u \in W, c \in \mathbb{R} \implies cu \in W$
+   以下に答えよ：
+   1. $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 8 & 24 & 24 \\ 0 & 2 & 6 & 6 \end{bmatrix}$ の場合、写像 $f$ のカーネル $\mathrm{Ker}(f)$ の次元と基底を求めよ。
+   2. 一般的に $\mathrm{Ker}(f)$ が $\mathbb{R}^n$ の部分空間であることを示せ。
+   3. $S \subseteq \mathbb{R}^n$ が部分空間の場合、$b = 0$ を示せ。
+   4. $S \subseteq \mathbb{R}^n$ が部分空0不8間かつ $A$ が正方行列の場合、$A$ が可逆なら $S = \{0\}$ を示せ。
+
+---
+# DeepSeekV3
+
+1. **求Ker(f)的维度和基底**
+   给定矩阵 $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 8 & 24 & 24 \\ 0 & 2 & 6 & 6 \end{bmatrix}$，我们对其进行行化简：
+   $$
+   \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 8 & 24 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
+   $$
+   矩阵的秩为2，因此Ker(f)的维度为 $4 - 2 = 2$。
+   解方程 $Ax = 0$：
+   $$
+   \begin{cases}
+   2x_1 + 2x_3 = 0 \\
+   8x_2 + 24x_3 + 24x_4 = 0 \\
+   2x_2 + 6x_3 + 6x_4 = 0
+   \end{cases}
+   $$
+   化简得：
+   $$
+   x_1 = -x_3, \quad x_2 = -3x_3 - 3x_4
+   $$
+   设 $x_3 = s, x_4 = t$，则解向量为：
+   $$
+   x = s \begin{bmatrix} -1 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
+   $$
+   因此，Ker(f)的基底为 $\left\{ \begin{bmatrix} -1 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$，维度为2。
+2. **证明Ker(f)是 $\mathbb{R}^n$ 的部分空间**
+   根据部分空间的定义，需验证C1, C2, C3：
+   - C1: $0 \in \text{Ker}(f)$，因为 $A0 = 0$。
+   - C2: 若 $u, v \in \text{Ker}(f)$，则 $A(u + v) = Au + Av = 0 + 0 = 0$，故 $u + v \in \text{Ker}(f)$。
+   - C3: 若 $u \in \text{Ker}(f)$，则 $A(cu) = c(Au) = c0 = 0$，故 $cu \in \text{Ker}(f)$。
+   因此，Ker(f)是 $\mathbb{R}^n$ 的部分空间。
+3. **若 $S \subseteq \mathbb{R}^n$ 是部分空间，证明 $b = 0$**
+   由于 $S$ 是部分空间，必须包含0向量。即 $0 \in S$，所以 $A0 = b$，即 $b = 0$。
+4. **若 $S \subseteq \mathbb{R}^n$ 是部分空间且 $A$ 是正方形可逆矩阵，证明 $S = \{0\}$**
+   已知 $S$ 是部分空间，根据第3题，$b = 0$，所以 $S = \text{Ker}(f)$。
+   由于 $A$ 可逆，秩为 $n$，故Ker(f)只有零向量，即 $S = \{0\}$。
\ No newline at end of file
diff --git "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06ist.md" "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06ist.md"
index 41e3a821f..cf304fb7d 100644
--- "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06ist.md"
+++ "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\271\235\345\267\236\351\201\216\345\216\273\345\225\217/R06ist.md"
@@ -3,238 +3,39 @@ tags:
   - 例题
   - 過去問
 dlink:
-  - "[[九州大学]]"
   - "[[R06ist.pdf]]"
 datetime: 2024-12-13 10:10:36
 ---
 # 数学
 
-## 線形代数 (Linear Algebra)
-
-1. 実数行列 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ および実数ベクトル $b \in \mathbb{R}^m$ に対して、集合を以下のように定義する：
-   $$
-   S = \{x \in \mathbb{R}^n \mid Ax = b\}, \quad f(x) = Ax
-   $$
-   次の事実を証明なく用いてよい。
-   - ベクトル空間 $V$ の部分空間 $W \subseteq V$ である条件は次の通りである：
-     - $C1: 0 \in W$
-     - $C2: u, v \in W \implies u + v \in W$
-     - $C3: u \in W, c \in \mathbb{R} \implies cu \in W$
-
-   以下に答えよ：
-   1. $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 8 & 24 & 24 \\ 0 & 2 & 6 & 6 \end{bmatrix}$ の場合、写像 $f$ のカーネル $\mathrm{Ker}(f)$ の次元と基底を求めよ。
-   2. 一般的に $\mathrm{Ker}(f)$ が $\mathbb{R}^n$ の部分空間であることを示せ。
-   3. $S \subseteq \mathbb{R}^n$ が部分空間の場合、$b = 0$ を示せ。
-   4. $S \subseteq \mathbb{R}^n$ が部分空間かつ $A$ が正方行列の場合、$A$ が可逆なら $S = \{0\}$ を示せ。
+![[R06-数学-线性代数#線形代数 (Linear Algebra)]]
 
 ---
-## 解析学・微積分 (Analysis and Calculus)
-
-1. 次の積分を計算せよ：
-   $$
-   I = \int_{0}^{\infty} x^5 \exp(-x^4) \, dx
-   $$
-   ただし、以下を証明なく用いてよい：
-   $$
-   \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-x^2) \, dx = \sqrt{\pi}
-   $$
-
-2. 次の微分方程式の一般解を求めよ：
-   $$
-   \frac{dy}{dx} + y = x \sinh(x)
-   $$
-
-3. 複素関数 $f(z) = \frac{1}{z^4 + 1}$ を考える。以下に答えよ：
-   1. $f(z)$ の極を全て求めよ。
-   2. $C$ を図示した半円とし、$R > 1$ の場合、複素積分 $\int_C f(z) \, dz$ を計算せよ。
+![[R06-数学-微积分#解析学・微積分 (Analysis and Calculus)]]
 
 ---
-## ベクトル解析 (Vector Analysis)
-
-1. 次の線積分を求めよ：
-   - ベクトル場 $F = (2xy^3 - y)\mathbf{i} + (3x^2y^2 - x)\mathbf{j}$、経路 $C: y^3 + x^2 - 2xy = 1$、始点 $(-13, -4)$、終点 $(5, -4)$。
-   - ベクトル場 $F = (3e^{2x} + 4y)\mathbf{i} + (x + 7y e^y)\mathbf{j}$、経路 $C$：点 $P(0, 0)$, $Q(2, 2)$, $R(4, 6)$, $S(1, 3)$ を結ぶ四辺形。
+![[R06-数学-向量分析#ベクトル解析]]
 
 ---
-## 確率・統計 (Probability and Statistics)
-
-1. 箱の中に $N_1$ 個の白球と $N_2$ 個の黒球があり、総数は $N = N_1 + N_2$ である。箱からランダムに 2 個の球を取り出すとき、両方が白球である確率が $1/2$ であることが分かっている。
-   1. $N_2$ が奇数の場合、$N_1$ の最小値を求めよ。
-   2. $N_2$ が偶数の場合、$N_1$ の最小値を求めよ。
-   3. $N$ の最小値を 3 通り求めよ。
+![[R06-数学-概率统计#確率・統計]]
 
 ---
- # 情報理論 (Information Theory)
+# 情報理論 (Information Theory)
 
-## 【問1】  
-アルファベット $\{s_1, s_2, s_3, s_4, s_5, s_6\}$ 上の無記憶情報源 $S$ の符号化に関して，以下の問いに答えよ。ただし，符号語アルファベットを $\{0, 1\}$ とする。
-
-1. 無記憶情報源 $S$ に関して，各符号語長を $3, 3, 3, 2, 2, 2$ とする符号が瞬時に復号可能になり得るかどうかを述べよ。なり得る場合，瞬時に復号可能な符号の一例を示せ。  
-2. 無記憶情報源 $S$ に関して，各符号語長を $3, 3, 3, 3, 2, 2$ とする符号が瞬時に復号可能になり得るかどうかを述べよ。なり得る場合，瞬時に復号可能な符号の一例を示せ。  
-以後の問いにおいて， 無記憶情報源 S に関して，その確率分布が
-$$
-P(s_1) = 0.18, \, P(s_2) = 0.2, \, P(s_3) = 0.3, \, P(s_4) = 0.13, \, P(s_5) = 0.11, \, P(s_6) = 0.08
-$$
-であるとする．次の問いに 答えよ
-1. 無記憶情報源 $S$ に関して，その確率分布が以下のように与えられるとする：  
-   ハフマン符号化により符号化せよ。
-4. ハフマン符号化により得られた符号の平均符号長を求めよ。
+![[R06-B-問1#【問1】]]
 
 ---
-## 【問2】  
-アルファベット $X = \{1, 2, 3\}$ 上の確率分布 $p_1$ と $p_2$ を以下のように定める：  
-$$
-p_1(1) = 1, \, p_1(2) = 0, \, p_1(3) = 0, \quad p_2(1) = 0, \, p_2(2) = b, \, p_2(3) = 1 - b
-$$
-ただし，$b \in (0, 1)$ を定数とする。$p_1$ と $p_2$ の重み付き平均で表される確率分布 $q$ のうち，$X$ 上の一様分布 $u$ とのKullback-Leiblerダイバージェンス  
-$$
-D(u || q) = \sum_{x \in X} u(x) \log \frac{u(x)}{q(x)}
-$$
-が最小となるものを求めよ。
-
-
----
-# オートマトンと言語 (Automata and Formal Languages)
-
-## 問1
-以下の状態遷移図を持つ決定性有限オートマトンを $M = (K, \Sigma, \delta, q_0, F)$ とする。
-- $K = \{q_0, q_1, q_2, q_3, q_4\}$, 状態集合
-- $\Sigma = \{a, b\}$, 入力アルファベット
-- $\delta: K \times \Sigma \to K$ は状態遷移関数
-- $q_0$ は初期状態
-- $F = \{q_2\}$ は最終状態集合
-
-次の問いに答えよ。
-1. 入力文字列 $aaab$ に対するオートマトン $M$ の状態系列を記述せよ。
-2. $M$ が受理するすべての文字列の集合を形式的に記述せよ。
-3. $M$ を最小化した状態遷移図を描け。
-
-
-
-
-### 【問1】  
-アルファベット $\Sigma = \{a, d\}$ 上の言語 $L$ を以下のように定義する：  
-$$
-L = \{ w \in \Sigma^* \mid w \in \{xad, xadd, xdad\} \text{ for some } x \in \Sigma^* \}.
-$$  
-以下の図は $L$ を受理する非決定性有限オートマトン $M = (K, \Sigma, \delta, q_0, F)$ の状態遷移図である。ただし、  
-$K = \{q_0, q_1, \dots, q_8\}$,  
-$\Sigma = \{a, d\}$,  
-$\delta$, $q_0$, $F = \{q_2, q_5, q_8\}$ は、それぞれ $M$ の状態の集合、アルファベット、遷移関数、初期状態、受理状態の集合を表す。次の各問いに答えよ：
-```tikz
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{positioning}
+![[R06-B-問2#【問2】]]
 
-\begin{document}
-\begin{tikzpicture}[node distance=1cm and 1cm]
 
-% Nodes
-  \node (q0) [circle, draw] {$q_0$};
-  \node (q1) [circle, draw, above right=of q0] {$q_1$}; % q1在右上角
-  \node (q3) [circle, draw, right=of q0] {$q_3$};       % q3在正右方
-  \node (q6) [circle, draw, below right=of q0] {$q_6$}; % q6在右下角
-
-  \node (q2) [circle, draw, double, right=of q1] {$q_2$};
-  \node (q4) [circle, draw, right=of q3] {$q_4$};
-  \node (q5) [circle, draw, double, right=of q4] {$q_5$};
-  \node (q7) [circle, draw, right=of q6] {$q_7$};
-  \node (q8) [circle, draw, double, right=of q7] {$q_8$};
-
-  % Edges
-  \draw[->] (q0) to[loop above] node {a, d} ();
-  \draw[->] (q0) to node[midway, above left] {a} (q1);
-  \draw[->] (q0) to node[midway, above] {d} (q3);
-  \draw[->] (q0) to node[midway, below left] {a} (q6);
-  \draw[->] (q1) to node[midway, above] {d} (q2);
-  \draw[->] (q3) to node[midway, above] {d} (q4);
-  \draw[->] (q4) to node[midway, above] {d} (q5);
-  \draw[->] (q6) to node[midway, above] {a} (q7);
-  \draw[->] (q7) to node[midway, above] {d} (q8);
-
-\end{tikzpicture}
-\end{document}
-```
-1. $L$ を受理する状態数4の非決定性有限オートマトンの状態遷移図を示せ。  
-2. $L$ を表す正規表現を示せ。  
-3. $L$ を受理する状態数4の決定性有限オートマトンの状態遷移図を示せ。  
-4. $L$ を受理する決定性有限オートマトンの状態数は必ず4以上であることを証明せよ。
 
 ---
+# オートマトンと言語
 
-### 【問2】  
-アルファベット $\Sigma = \{→, ←, ↑, ↓\}$ 上の文字列 $a = a[1]a[2]\cdots a[n]$ （各 $i$ に対し $a[i] \in \Sigma$）に対し、2次元ベクトルの系列 $f(a) = (p[0], p[1], \dots, p[n])$ （各 $i$ に対し $p[i] = (x[i], y[i])$, $x[i], y[i]$ は整数）を次のように定義する：  
-$p[0] = (0, 0)$ とし、
-$$
-p[i] = 
-\begin{cases} 
-p[i-1] + (1, 0) & \text{if } a[i] = →, \\\\
-p[i-1] - (1, 0) & \text{if } a[i] = ←, \\\\
-p[i-1] + (0, 1) & \text{if } a[i] = ↑, \\\\
-p[i-1] - (0, 1) & \text{if } a[i] = ↓.
-\end{cases}
-$$
-すなわち，$f (a)$ は，原点からスタートして $a$ の矢印の向きに従って 2 次元格子点上を遷移 したときの軌跡を表す．また，各 $i = 1, 2, \dots, n$ に対し、$|x[i]| + |y[i]| > |x[i-1]| + |y[i-1]|$ のとき（$a[i]$ によって原点から遠ざかる方向に遷移したとき） $i$ を**前進ステップ**、そうでないとき（$a[i]$ によって原点に近づく方向に遷移したとき） $i$ を**後進ステップ**と呼ぶ。
-
-文字列 $a$ が**往復的**であることを、任意の後進ステップ $i$ に対し、  
-$$
-i_0 = \max\{j \mid j \leq i-1, p[j] = p[i-1], j \text{ は前進ステップ}\}
-$$
-が存在し、$p[i] = p[i_0 - 1]$ が成り立つことと定義する。
-
-言語 $L$ を以下のように定義する：  
-$$
-L = \bigcup_{n \geq 0} \{a \in \Sigma^n \mid a \text{ は往復的}, p = f(a), p[n] = (0, 0)\}.
-$$
-
-次の各問いに答えよ：  
-1. 以下の文字列 $a_1, a_2, a_3, a_4$ が $L$ の要素であるか否かをそれぞれ判定せよ。  
-   - $a_1 = ↑ ↑ ↓ → ↓ ↑ ← ↓$  
-   - $a_2 = → → ← ← ← ↑ ↓ →$  
-   - $a_3 = ↓ ← ↑ →$  
-   - $a_4 = ← ↑ ↑ ↓ ← → ↓ ← ↓ ↑$  
-2. 次の図は、アルファベットを $\{→, ←\}$ に限定した言語 $L \cap \{→, ←\}^*$ を最終状態によって受理するプッシュダウンオートマトン（PDA）の状態遷移図の一部である。空欄 ①, ②, ③ を埋めよ。（2か所の ③ には同じものが入る。）
-
-
-
-### 【問2】
-アルファベット $\Sigma = \{→, ←, ↑, ↓\}$ 上の文字列 $a = a[1]a[2]\cdots a[n]$（各 $i$ に対し $a[i] \in \Sigma$）に対し、2次元ベクトルの系列 $f(a) = (p[0], p[1], \dots, p[n])$（各 $i$ に対し $p[i] = (x[i], y[i])$, $x[i], y[i]$ は整数）を次のように定義する：
-
-1. $p[0] = (0, 0)$ とし、各 $i = 1, 2, \dots, n$ に対し、
-   $$
-   p[i] = 
-   \begin{cases} 
-   p[i-1] + (1, 0) & \text{if } a[i] = →, \\\\
-   p[i-1] - (1, 0) & \text{if } a[i] = ←, \\\\
-   p[i-1] + (0, 1) & \text{if } a[i] = ↑, \\\\
-   p[i-1] - (0, 1) & \text{if } a[i] = ↓.
-   \end{cases}
-   $$
-   すなわち、$f(a)$ は、原点からスタートして $a$ の矢印の向きに従って2次元格子点上を遷移したときの軌跡を表す。
-
-2. 各 $i = 1, 2, \dots, n$ に対し、  
-   $|x[i]| + |y[i]| > |x[i-1]| + |y[i-1]|$ のとき（$a[i]$ によって原点から遠ざかる方向に遷移したとき） $i$ を**前進ステップ**、そうでないとき（$a[i]$ によって原点に近づく方向に遷移したとき） $i$ を**後進ステップ**と呼ぶ。
-
-文字列 $a$ が**往復的**であることを、任意の後進ステップ $i$ に対し、
-$$
-i_0 = \max\{j \mid j \leq i-1, p[j] = p[i-1], j \text{ は前進ステップ}\}
-$$
-が存在し、$p[i] = p[i_0 - 1]$ が成り立つことと定義する。
-
-言語 $L$ を以下のように定義する：
-$$
-L = \bigcup_{n \geq 0} \{a \in \Sigma^n \mid a \text{ は往復的}, p = f(a), p[n] = (0, 0)\}.
-$$
-
-#### (2)
-以下の図は、アルファベットを $\{→, ←\}$ に限定した言語 $L \cap \{→, ←\}^*$ を最終状態によって受理するプッシュダウンオートマトン（PDA）の状態遷移図の一部である。空欄 ①，②，③ を埋めよ。（2か所の ③ には同じものが入る。）
-![[Pasted image 20250112171602.png]]
-#### (3)
-次の図は、言語 $L$ を最終状態で受理するPDAの状態遷移図の一部である。ただし、②と③は、(2)で求めたものと同じである。④と⑤を埋めよ。
-
-![[Pasted image 20250112171423.png]]
-
-ヒント：このPDAは、$x[i]$ と $y[i]$ の全ての符号の組に対応する9個の状態を持つ。このうち、$x[i] = y[i] = 0$ を表す状態 $S_0$（初期状態であり唯一の最終状態でもある）、$x[i] = 0, y[i] > 0$ を表す状態 $S_{0+}$、$x[i] > 0, y[i] = 0$ を表す状態 $S_{+0}$、$x[i] > 0, y[i] > 0$ を表す状態 $S_{++}$ の4つの状態間の状態遷移図のみ示してある。
+![[R06-C-問1#問1]]
 
 
+---
+![[R06-C-問2]]
 
 
diff --git "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\276\213\351\242\230-\345\210\206\351\203\250\347\247\257\345\210\206\346\263\225.md" "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\276\213\351\242\230-\345\210\206\351\203\250\347\247\257\345\210\206\346\263\225.md"
index b9accd81f..40f00b679 100644
--- "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\276\213\351\242\230-\345\210\206\351\203\250\347\247\257\345\210\206\346\263\225.md"
+++ "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\344\276\213\351\242\230-\345\210\206\351\203\250\347\247\257\345\210\206\346\263\225.md"
@@ -9,7 +9,7 @@ author: Cyletix
 
 1. 换元, 将 $\sin(x)$ 化入dx后, 分部积分
  $$=-e^{-x}\cdot \cos(x)-\int \cos(x)d(-e^{-x})$$
-2. 换元, 将 $\sin(x)$ 化入dx后, 再次使用分部积分
+2. 换元, 将 $\cos(x)$ 化入dx后, 再次使用分部积分
 $$
 =-e^{-x}\cdot \cos(x)-\Big[e^{-x}\cdot \sin(x)+\int e^{-x}\cdot \sin(x)dx\Big]
 $$
diff --git "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\351\275\220\346\254\241\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213\344\276\213\351\242\230.md" "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\351\275\220\346\254\241\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213\344\276\213\351\242\230.md"
index 54c32160d..fa9c901ea 100644
--- "a/Other/\344\276\213\351\242\230/\351\275\220\346\254\241\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213\344\276\213\351\242\230.md"
+++ "b/Other/\344\276\213\351\242\230/\351\275\220\346\254\241\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213\344\276\213\351\242\230.md"
@@ -1,7 +1,7 @@
 ---
 tags:
   - 数学
-dlink: []
+dlink:
 ---
 ### 齐次微分方程例题
 
diff --git "a/Other/\345\210\235\347\255\211\346\225\260\345\255\246/\345\207\275\346\225\260.md" "b/Other/\345\210\235\347\255\211\346\225\260\345\255\246/\345\207\275\346\225\260.md"
index 2db863dd7..aebb105f3 100644
--- "a/Other/\345\210\235\347\255\211\346\225\260\345\255\246/\345\207\275\346\225\260.md"
+++ "b/Other/\345\210\235\347\255\211\346\225\260\345\255\246/\345\207\275\346\225\260.md"
@@ -1,9 +1,12 @@
 ---
 tags:
   - 数学
-dlink: 
+dlink:
+  - "[[-初等数学-]]"
+  - "[[-高等数学-]]"
 author:
   - Cyletix
+  - DeepSeekR1
 ---
 >[!info] 定义
 >设数集$D \in R$,则称映射$f:D \to R$为定义在$D$上的函数, 记为$y=f(x),x \in D$
@@ -24,19 +27,81 @@ author:
 > $$p=\Bigg\{^{\frac{\gamma}{V-\beta}-\frac{\alpha}{V^{2}},(\beta<V<V_{0})}_{\dfrac{k}{V},(V\geq V_{0})}$$
 
 
-# 描述函数的特性
-1. [[有界性]]
-2. [[单调性]]
-3. [[对称性]]
-4. [[连续型]]
-5. [[周期性]]
-
-# 考试相关
-1. 函数定义域的求法
-	1. 分式的分母不能为0
-	2. 偶次方根的底数大于等于0
-	3. 对数的真数大于0
-	4. 反正弦函数和反余弦函数的特殊规定
-2. 判断两函数是否相等的方法
-	1. 定义域相同
-	2. 对应法则相同
\ No newline at end of file
+
+
+## 简介
+函数是数学分析的核心对象，描述两个数集间的确定性对应关系。作为[[映射]]在实数域上的特例，函数在[[微积分]]、[[微分方程]]等领域具有基础性地位。
+
+## 定义
+>[!info] 形式化定义
+>设非空数集 $D \subseteq \mathbb{R}$，若存在对应法则 $f$ 使得：
+> $$ \forall x \in D,\ \exists! y \in \mathbb{R}\ \text{满足}\ y = f(x) $$
+>则称 $f$ 为定义在 $D$ 上的**函数**，记作：
+> $$ f:D \to \mathbb{R},\quad x \mapsto y $$
+
+**三要素**：
+1. **定义域**（Domain）：自变量 $x$ 的取值范围 $D$
+2. **对应法则**（Mapping Rule）：确定 $y$ 值的计算规则 $f$
+3. **值域**（Range）：$R_f = \{f(x) \mid x \in D\}$
+
+>[!note] 与关系区别
+>函数要求**唯一性**：每个 $x$ 对应唯一 $y$  
+>而[[关系]]允许一对多，如圆方程 $x^2+y^2=R^2$ 是关系但不是函数
+
+## 函数表示
+
+### 解析表示法
+- **显函数**：$y = \sqrt{R^2 - x^2}$
+- **隐函数**：$F(x,y) = 0$
+- **参数方程**：$\begin{cases}x = \cos t \\ y = \sin t\end{cases}$
+
+### 特殊函数类型
+| 函数类型  | 表达式               | 图形特征  |
+| ----- | ----------------- | ----- |
+| 绝对值函数 | $y =x$            | V型折线  |
+| 符号函数  | $\mathrm{sgn}(x)$ | 三段阶梯  |
+| 取整函数  | $y = [x]$         | 阶梯状间断 |
+| 分段函数  | 见右例               | 多段式组合 |
+
+**分段函数示例**（范德瓦尔斯方程）：
+$$
+p(V) = \begin{cases}
+\dfrac{\gamma}{V-\beta} - \dfrac{\alpha}{V^2}, & \beta < V < V_0 \\
+\dfrac{k}{V}, & V \geq V_0
+\end{cases}
+$$
+
+## 基本特性
+1. **[[有界性]]**  
+   $\exists M >0,\ \forall x \in D,\ |f(x)| \leq M$
+2. **[[单调性]]**  
+   在区间 $I \subseteq D$ 上：
+   - 严格递增：$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
+   - 严格递减：$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$
+3. **[[对称性]]**  
+   - 偶函数：$f(-x) = f(x)$
+   - 奇函数：$f(-x) = -f(x)$
+4. **[[周期性]]**  
+   $\exists T >0,\ \forall x \in D,\ f(x+T) = f(x)$
+5. **[[连续性]]**  
+   $\forall x_0 \in D,\ \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
+
+## 函数构造
+
+### 定义域确定原则
+1. 分式函数：分母 $\neq 0$ ：$f(x)=\dfrac{1}{x^2-4} \Rightarrow D=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}$
+2. 偶次根式：被开方数 $\geq 0$ ：$f(x)=\sqrt{4-x^2} \Rightarrow D=[-2,2]$
+3. 对数函数：真数 $>0$ ：$f(x)=\ln(x+3) \Rightarrow D=(-3,+\infty)$
+4. 反三角函数：  
+   - $\arcsin x$：$x \in [-1,1]$
+   - $\arccos x$：$x \in [-1,1]$
+
+### 函数等价判定
+两函数 $f,g$ 相等的充要条件：
+1. **定义域相同**：$D_f = D_g$
+2. **对应法则一致**：$\forall x \in D_f,\ f(x) = g(x)$
+
+>[!warning] 常见错误
+>以下函数看似不同实则等价：
+>- $f(x) = \ln(x^2)$ 与 $g(x) = 2\ln|x|$（定义域均为 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$）
+>- $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}$ 与 $g(x)=x+1$（$D_f = \mathbb{R}\setminus\{1\}$，$D_g=\mathbb{R}$）
diff --git "a/Other/\345\210\235\347\255\211\346\225\260\345\255\246/\346\230\240\345\260\204.md" "b/Other/\345\210\235\347\255\211\346\225\260\345\255\246/\346\230\240\345\260\204.md"
index a0122cc2e..c5d8c414d 100644
--- "a/Other/\345\210\235\347\255\211\346\225\260\345\255\246/\346\230\240\345\260\204.md"
+++ "b/Other/\345\210\235\347\255\211\346\225\260\345\255\246/\346\230\240\345\260\204.md"
@@ -2,37 +2,90 @@
 tags:
   - 数学
 dlink:
-  - '[[---极限与连续---]]'
-author: Cyletix
+  - "[[---极限与连续---]]"
+author:
+  - Cyletix
+  - DeepSeekR1
 lastedit: SituChengxiang
 ---
+## 简介
+在集合论中，映射（或称[[函数]]）是描述两个集合间元素对应关系的核心概念。它是现代数学语言的基础构件，广泛应用于[[关系代数]]、[[拓扑学]]和[[范畴论]]等领域。
 
-# 定义
+## 定义
+>[!info] 形式化定义
+>给定非空集合$A,B$，称对应法则$f$为从$A$到$B$的映射，记作$f:A \to B$，当且仅当：
+>1. **全域性**：$\forall a \in A,\ \exists b \in B$ 使得$f(a)=b$
+>2. **唯一性**：若$a_1=a_2$，则$f(a_1)=f(a_2)$
 
-映射是一种数学关系，它将一个集合（称为定义域）中的每个元素唯一地对应到另一个集合（称为值域）中的元素。数学上通常用$f:A \to B$表示，其中$A$是定义域，$B$是值域。
-- 称 $b$ 为 $a$ 在 $f$ 下的**像**，$a$ 为 $b$ 在 $f$ 下的**原像**
-- 称集合 $f(A)=\{f(a)|a \in A\}$ 为 $A$ 在映射 $f$ 下的**象**（像/象均可）
-- 记作 $f:a\mapsto b$ 或者 $f(a)=b$
-# 分类
-1. **单射（Injective）**：如果不同的元素在$A$中被映射到$B$中的不同元素，则称$f$为单射。即，如果$a_1 \neq a_2$，则$f(a_1) \neq f(a_2)$。
-2. **满射（Surjective）**：如果$B$中的每个元素至少由$A$中的一个元素映射，则称$f$为满射。即，对于每个$b \in B$，至少存在一个$a \in A$使得$f(a) = b$。
-3. **双射（Bijective）**：如果映射既是单射又是满射，则称$f$为双射。即，对于每个$b \in B$，存在唯一一个$a \in A$使得$f(a) = b$。
+术语解释：
+- **定义域**（Domain）：集合$A$
+- **陪域**（Codomain）：集合$B$
+- **像**（Image）：元素$b=f(a)$称为$a$的像
+- **原像**（Preimage）：满足$f(a)=b$的$a$称为$b$的原像
+- **值域**（Range）：实际像的集合$\{f(a)\ |\ a \in A\} \subseteq B$
+             
+## 分类
 
+### 单射（Injective）
+>[!definition]+ 数学表述
+> $$ \forall a_1,a_2 \in A,\ a_1 \neq a_2 \Rightarrow f(a_1) \neq f(a_2) $$
 
-# 还有一点……
+**特征**：不同输入产生不同输出  
+**示例**：  
+- $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z},\ f(n)=2n$ 是单射
+- $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\ g(x)=x^2$ 不是单射（因$g(1)=g(-1)$）
 
-对于任何任意集合 $A$ ，显然都可以定义$1_A:I_A(a)=a,a\in A$，即把 $A$ 上的元素映射到其自身。此时的
-$1_A$ 称为 $A$ 上的**恒等映射**或**单位映射**。
+### 满射（Surjective）
+>[!definition]+ 数学表述
+> $$ \forall b \in B,\ \exists a \in A \text{ 使 } f(a)=b $$
 
-> [!NOTE] NOTE  
-> 并不是~~所有 A 到自身的映射都是恒等映射~~  
-> 比如对于任意整数 $n$ ，我们定义 $f(n)=n+1$，容易验证 $f$ 是 $Z$ 到 $Z$ 自身的映射，但不是~~恒等映射~~
+**特征**：陪域被完全覆盖  
+**示例**：
+- $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x)=x^3$ 是满射
+- $g:\mathbb{Z} \to \mathbb{N},\ g(n)=|n|$ 不是满射（无法得到负数）
 
-定理
--
-设 $f:A\rightarrow B$ 是映射， $X \subseteq A, Y \subseteq A$, 则有  
-$$
-f(X \cup Y)=f(X) \cup f(Y)\\
-f(X \cap Y)=f(X) \cap f(Y) 
-$$
-- 请自行给出证明
\ No newline at end of file
+### 双射（Bijective）
+**复合要求**：同时满足单射性和满射性  
+**重要性**：存在[[逆映射]]$f^{-1}:B \to A$  
+**应用**：在[[基数理论]]中证明集合等势
+
+### 恒等映射
+对任意集合$A$，定义：
+$$ \mathrm{id}_A: A \to A,\quad \mathrm{id}_A(a)=a $$
+**性质**：
+- 保持集合结构不变
+- 是双射中最简单的形式
+
+>[!warning] 常见误区
+>- 并非所有自映射都是恒等映射
+>- 反例：$f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z},\ f(n)=n+1$ 是双射但不是恒等映射
+
+## 基本定理
+
+### 像集运算定理
+设$f:A \to B$为映射，$X,Y \subseteq A$，则：
+1. **并集保持性**：
+   $$ f(X \cup Y) = f(X) \cup f(Y) $$
+2. **交集包含性**：
+   $$ f(X \cap Y) \subseteq f(X) \cap f(Y) $$
+   
+**证明**：
+1. **并集证明**：
+   - ($\subseteq$): 任取$b \in f(X \cup Y)$，存在$a \in X\cup Y$使$f(a)=b$。则$a$属于$X$或$Y$，故$b \in f(X)$或$f(Y)$
+   - ($\supseteq$): 显然$f(X) \cup f(Y) \subseteq f(X \cup Y)$
+
+2. **交集证明**：
+   - 任取$b \in f(X \cap Y)$，存在$a \in X\cap Y$使$f(a)=b$。此时$a$同时属于$X$和$Y$，故$b \in f(X)$且$b \in f(Y)$
+
+>[!note] 严格包含情形
+>当$f$不是单射时，可能存在：
+>$$ f(X \cap Y) \subsetneq f(X) \cap f(Y) $$
+>**反例**：设$f:\mathbb{Z} \to \{0\}$为常值映射，取$X=\{1\}, Y=\{2\}$，则左边$f(\emptyset)=\emptyset$，右边$\{0\} \cap \{0\} = \{0\}$
+
+## 应用
+### 1. 数据库理论
+在关系数据库中，映射体现为表之间的外键约束，保证数据完整性
+### 2. 密码学
+双射性质是对称加密算法的核心要求，确保加密可逆
+### 3. 函数式编程
+[[纯函数]]的本质就是满足映射定义：相同输入必然得到相同输出
diff --git "a/Other/\345\217\257\345\212\240\346\200\247.md" "b/Other/\345\217\257\345\212\240\346\200\247.md"
new file mode 100644
index 000000000..85c6b5df6
--- /dev/null
+++ "b/Other/\345\217\257\345\212\240\346\200\247.md"
@@ -0,0 +1,35 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[--泛函分析--]]"
+aliases:
+  - 加性
+  - Additivity
+author:
+  - Cyletix
+  - DeepSeekV3
+---
+# 可加性
+
+## 简介
+可加性是[[泛函分析]]和[[算子理论]]中的核心概念，描述算子是否保持加法结构，是研究[[线性算子]]和[[线性映射]]的基础。
+
+## 定义
+>[!info] 可加性
+>设映射 $T: S \to S$，若满足：
+>$$ T(a+b) = T(a) + T(b),\quad \forall a,b \in S $$
+>则称 $T$ 为**可加算子**。
+
+## 与线性的关系
+可加性是比线性更弱的条件。线性还需满足齐次性：
+$$ T(\alpha a) = \alpha T(a),\quad \forall \alpha \in \mathbb{R} $$
+
+## 示例
+1. **导数算子**：$D(f) = f'$ 是可加的，因为 $D(f+g) = D(f) + D(g)$。
+2. **积分算子**：$I(f) = \int f$ 是可加的，因为 $I(f+g) = I(f) + I(g)$。
+
+## 应用
+1. **泛函分析**：可加性是研究[[线性泛函]]的基础。
+2. **概率论**：期望算子 $E$ 是可加的，即 $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$。
+3. **量子力学**：[[哈密顿算子]]的可加性是叠加原理的数学基础。
diff --git "a/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/--\345\244\215\345\210\206\346\236\220--.md" "b/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/--\345\244\215\345\210\206\346\236\220--.md"
index c0c5c768d..9899029a3 100644
--- "a/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/--\345\244\215\345\210\206\346\236\220--.md"
+++ "b/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/--\345\244\215\345\210\206\346\236\220--.md"
@@ -15,11 +15,13 @@ aliases:
 > 
 
 # 目录
+- [[解析函数]]
 - [[全纯函数]]
 - [[亚纯函数]]
 - [[奇点]]
+- [[极点]]
 - [[极点计算示例]]
-- [[解析函数]]
+- [[留数]]
 - [[留数定理]]
 - [[柯西积分定理]]
 - [[柯西积分公式]]
@@ -27,7 +29,73 @@ aliases:
 
 # 目录-dataview
 ```dataview
-list
-from #数学 
-where contains(file.path, "复分析")
-```
\ No newline at end of file
+LIST
+WHERE file.folder=this.file.folder
+AND contains(dlink,link(this.file.name))
+```
+# 文档-未连回
+```dataview
+LIST
+WHERE file.folder=this.file.folder
+AND !contains(file.name,this.file.name)
+AND !contains(dlink,link(this.file.name))
+```
+
+
+
+# 目录-GPT4o
+
+#### 基本概念
+1. **复数的表示**  
+   - 复数的代数形式与几何表示  
+   - 极坐标形式与指数形式  
+   - 复数域的完备性  
+
+2. **复平面的坐标变换**  
+   - 仿射变换  
+   - 旋转与缩放  
+   - 共轭与反演  
+
+#### 复变函数
+1. **解析函数**  
+   - 定义与基本性质  
+   - 柯西-黎曼方程  
+   - 全纯函数与亚纯函数  
+
+2. **复数域的微分与积分**  
+   - 复数导数  
+   - 曲线积分  
+
+#### 核心定理与公式
+1. **柯西积分定理**  
+2. **柯西积分公式**  
+3. **留数定理**  
+
+#### 级数与展开
+1. **泰勒级数**  
+   - 定义与应用  
+2. **洛朗级数**  
+   - 定义与奇点分类  
+   - 收敛半径与发散环  
+
+#### 奇点理论
+1. **奇点的分类**  
+   - 可去奇点  
+   - 极点  
+   - 本性奇点  
+
+2. **极点的计算方法**  
+   - 一阶与高阶极点  
+   - 计算示例  
+
+3. **解析延拓**  
+   - 定义与方法  
+   - 单值化过程  
+
+#### 应用方法与高级主题
+1. **傅里叶变换与复变分析**  
+2. **复对数函数与复幂函数**  
+3. **反圆锥曲线函数与对数函数的统一表示**  
+4. **变换方法**  
+   - 拉普拉斯变换  
+   - 共形映射  
diff --git "a/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\345\202\205\351\207\214\345\217\266\345\217\230\346\215\242.md" "b/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\345\202\205\351\207\214\345\217\266\345\217\230\346\215\242.md"
index d52ea057f..922b2d8a5 100644
--- "a/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\345\202\205\351\207\214\345\217\266\345\217\230\346\215\242.md"
+++ "b/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\345\202\205\351\207\214\345\217\266\345\217\230\346\215\242.md"
@@ -1,10 +1,11 @@
 ---
-tags: 
+tags:
   - 数学
 dlink:
-  - "[[-高等数学-]]"
   - "[[--微积分--]]"
-author: Cyletix
+  - "[[--复分析--]]"
+author:
+  - Cyletix
 ---
 # 一维正变换
 $$F(\omega)=\int _{-\infty}^{\infty} f(t)\cdot e^{ -i\omega t } dt $$
diff --git "a/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\345\244\215\345\257\271\346\225\260\345\207\275\346\225\260.md" "b/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\345\244\215\345\257\271\346\225\260\345\207\275\346\225\260.md"
index 409ef309a..11034a35a 100644
--- "a/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\345\244\215\345\257\271\346\225\260\345\207\275\346\225\260.md"
+++ "b/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\345\244\215\345\257\271\346\225\260\345\207\275\346\225\260.md"
@@ -2,7 +2,7 @@
 tags:
   - 数学
 dlink:
-  - "[[-高等数学-]]"
+  - "[[--复分析--]]"
 urlink: https://math.fandom.com/zh/wiki/%E5%A4%8D%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0?variant=zh
 ---
 ## 定义
diff --git "a/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\345\244\215\346\225\260\345\237\237\347\232\204\345\256\214\345\244\207\346\200\247.md" "b/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\345\244\215\346\225\260\345\237\237\347\232\204\345\256\214\345\244\207\346\200\247.md"
index 5605935f2..b9785c0fa 100644
--- "a/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\345\244\215\346\225\260\345\237\237\347\232\204\345\256\214\345\244\207\346\200\247.md"
+++ "b/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\345\244\215\346\225\260\345\237\237\347\232\204\345\256\214\345\244\207\346\200\247.md"
@@ -2,7 +2,7 @@
 tags:
   - 数学
 dlink:
-  - "[[-高等数学-]]"
+  - "[[--复分析--]]"
 ---
 复数的完备性体现在以下几个方面：
 
diff --git "a/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\345\244\215\346\225\260\350\241\250\347\244\272\344\270\272\346\236\201\345\235\220\346\240\207\345\275\242\345\274\217.md" "b/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\345\244\215\346\225\260\350\241\250\347\244\272\344\270\272\346\236\201\345\235\220\346\240\207\345\275\242\345\274\217.md"
index a0f1cbf73..556b434d5 100644
--- "a/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\345\244\215\346\225\260\350\241\250\347\244\272\344\270\272\346\236\201\345\235\220\346\240\207\345\275\242\345\274\217.md"
+++ "b/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\345\244\215\346\225\260\350\241\250\347\244\272\344\270\272\346\236\201\345\235\220\346\240\207\345\275\242\345\274\217.md"
@@ -1,7 +1,8 @@
 ---
 tags:
   - 数学
-dlink: []
+dlink:
+  - "[[--复分析--]]"
 ---
 要将任意复数 $z = x + iy$ 转换为极坐标形式 $z = r(\cos \theta + i\sin \theta)$ 或 $z = re^{i\theta}$, 需要进行以下步骤: 
 ### 1. 计算模 $r$
diff --git "a/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\345\245\207\347\202\271.md" "b/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\345\245\207\347\202\271.md"
new file mode 100644
index 000000000..739c12702
--- /dev/null
+++ "b/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\345\245\207\347\202\271.md"
@@ -0,0 +1,38 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[--复分析--]]"
+---
+### 奇点 (Singularity)
+
+在复分析中，奇点是指函数在其上不解析的点。更具体地说，如果一个函数 *f(z)* 在点 *z₀* 的任何邻域内都不是解析的，则称 *z₀* 是 *f(z)* 的一个奇点。
+
+**分类：**
+
+奇点可以分为以下几类：
+
+1.  **孤立奇点 (Isolated Singularity):** 如果存在一个以 *z₀* 为中心的去心邻域，使得 *f(z)* 在该邻域内解析，则称 *z₀* 是 *f(z)* 的一个孤立奇点。孤立奇点又可以分为以下三种：
+
+    *   **可去奇点 (Removable Singularity):** 如果 $\lim_{z \to z_0} f(z)$ 存在且有限，则 *z₀* 是可去奇点。可以通过重新定义 *f(z₀)* 的值来消除这个奇点，使函数在 *z₀* 处也解析。
+    *   **极点 (Pole):** 如上文所述。
+    *   **本性奇点 (Essential Singularity):** 如果 $\lim_{z \to z_0} f(z)$ 不存在，且也不是无穷大，则 *z₀* 是本性奇点。函数在本性奇点附近的性质非常复杂。例如，根据卡西乌斯-魏尔施特拉斯定理，函数在本性奇点的任何邻域内都无限接近任何复数。
+
+2.  **非孤立奇点 (Non-isolated Singularity):** 如果 *z₀* 的任何邻域内都包含 *f(z)* 的其他奇点，则称 *z₀* 是 *f(z)* 的一个非孤立奇点。例如，函数 *f(z) = 1/sin(1/z)* 在 *z = 0* 处有一个非孤立奇点，因为 *sin(1/z) = 0* 有无穷多个解趋近于 0。
+
+**例子：**
+
+*   *f(z) = sin(z)/z* 在 *z = 0* 处有一个可去奇点。
+*   *f(z) = 1/z* 在 *z = 0* 处有一个简单极点。
+*   *f(z) = e^(1/z)* 在 *z = 0* 处有一个本性奇点。
+
+希望以上简介能够帮助你理解极点和奇点的概念。总结来说，极点是奇点的一种特殊类型，它具有更强的结构，可以通过洛朗级数展开和留数定理进行分析。
+
+
+## 计算
+处理奇点的核心手段是使用复指数的周期性：
+$$e^{2k\pi i}=1$$
+使用这个公式可以在计算奇点的等式中凭空增加一个复指数项，然后对此项开根号，再根据周期性中主值的约束，$0\leq z\leq 2\pi$ 解出有限个z
+
+[[极点的计算方法]]
+[[极点计算示例]]
\ No newline at end of file
diff --git "a/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\346\236\201\347\202\271.md" "b/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\346\236\201\347\202\271.md"
new file mode 100644
index 000000000..74c195ba8
--- /dev/null
+++ "b/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\346\236\201\347\202\271.md"
@@ -0,0 +1,31 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[--复分析--]]"
+aliases:
+  - Pole
+---
+在复分析中，极点是一种特殊的奇点，它比一般的奇点有更强的结构。
+
+## 定义
+>[!info] 定义
+> 
+> 设函数 $f(z)$ 在点 $z₀$ 的某个去心邻域内解析（即在 $z₀$ 的某个邻域内除了 $z₀$ 以外都解析）。如果存在正整数 $m$，使得：
+> $$\lim_{z \to z_0} (z - z_0)^m f(z) = L \neq 0$$
+> 其中 L 是一个有限的复数，则称 z₀ 是 f(z) 的一个 m 阶极点 或 m 级极点。当 m = 1 时，称为 简单极点。
+
+> [!info] 等价定义
+> 
+> 如果函数 $f(z)$ 在点 $z₀$ 的某个去心邻域内有洛朗级数展开：
+> 
+> $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n$$
+> 
+> 若存在正整数 $m$，使得 $a₋ₘ ≠ 0$，且对于所有 $n > m$，都有 $a₋ₙ = 0$，则称 $z₀$ 是 $f(z)$ 的一个 $m$ 阶极点。
+
+>[!example]
+函数 $f(z) = 1/z²$ 在 $z = 0$ 处有一个二阶极点。
+## 性质
+- 极点是孤立奇点的一种
+- 在极点附近，函数的值趋于无穷大
+- 可以计算极点的[[留数]]
diff --git "a/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\346\236\201\347\202\271\350\256\241\347\256\227\347\244\272\344\276\213.md" "b/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\346\236\201\347\202\271\350\256\241\347\256\227\347\244\272\344\276\213.md"
index 48e8eda07..42035d253 100644
--- "a/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\346\236\201\347\202\271\350\256\241\347\256\227\347\244\272\344\276\213.md"
+++ "b/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\346\236\201\347\202\271\350\256\241\347\256\227\347\244\272\344\276\213.md"
@@ -2,7 +2,7 @@
 tags:
   - 数学
 dlink:
-  - "[[-高等数学-]]"
+  - "[[--复分析--]]"
 ---
 在处理极点为 $iz^3 - 1 = 0$ 的情形时，我们需要首先找出 $z$ 的具体值，这些值即为极点所在的位置。
 
diff --git "a/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\347\225\231\346\225\260.md" "b/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\347\225\231\346\225\260.md"
new file mode 100644
index 000000000..3a8391569
--- /dev/null
+++ "b/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\347\225\231\346\225\260.md"
@@ -0,0 +1,16 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+  - 公式
+dlink:
+  - "[[--复分析--]]"
+---
+留数是函数在其奇点处的行为的量化表示
+
+>[!info] 定义
+> 极点处的留数可以通过以下公式计算：
+> $$Res(f, z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z - z_0)^m f(z)]$$
+ 
+对于简单极点 ($m = 1$)，公式简化为：
+$$Res(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)$$
+如果 $f(z) = g(z)/h(z)$，其中 $g(z)$ 和 $h(z)$ 在 $z₀$ 解析，且 $g(z₀) ≠ 0$，$h(z₀) = 0$，$h'(z₀) ≠ 0$，则 $z₀$ 是 $f(z)$ 的简单极点，且留数为 $g(z₀)/h'(z₀)$。
diff --git "a/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\347\225\231\346\225\260\345\256\232\347\220\206.md" "b/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\347\225\231\346\225\260\345\256\232\347\220\206.md"
index 6f61b5d74..32005e903 100644
--- "a/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\347\225\231\346\225\260\345\256\232\347\220\206.md"
+++ "b/Other/\345\244\215\345\210\206\346\236\220/\347\225\231\346\225\260\345\256\232\347\220\206.md"
@@ -15,14 +15,7 @@ aliases:
 $$
 \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \text{Res}(f, z_k)
 $$
-其中 $\text{Res}(f, z_k)$ 是函数 $f(z)$ 在点 $z_k$ 处的留数。
-## 留数的计算
-留数是函数在其奇点处的行为的量化表示。计算留数的方法依赖于奇点的类型：
-- **简单极点**：如果 $z_0$ 是 $f(z)$ 的一个简单极点，那么在 $z_0$ 处的留数可以通过下列极限来计算：
-$$
-\text{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0)f(z)
-$$
-- **高阶极点**：对于高阶极点，留数的计算更为复杂，通常需要通过洛朗级数或其他方法来确定。
+其中 $\text{Res}(f, z_k)$ 是函数 $f(z)$ 在点 $z_k$ 处的[[留数]]。
 ## 应用
 留数定理的一个常见应用是计算复平面上的积分，特别是当积分路径围绕一个或多个奇点时。此外，留数定理也可以应用于计算实数积分，特别是那些难以用传统方法求解的积分。
 ## 示例
diff --git "a/Other/\346\212\275\350\261\241\344\273\243\346\225\260/\345\212\240\346\263\225\345\260\201\351\227\255\346\200\247.md" "b/Other/\346\212\275\350\261\241\344\273\243\346\225\260/\345\212\240\346\263\225\345\260\201\351\227\255\346\200\247.md"
index ef4f5937c..43d1610a2 100644
--- "a/Other/\346\212\275\350\261\241\344\273\243\346\225\260/\345\212\240\346\263\225\345\260\201\351\227\255\346\200\247.md"
+++ "b/Other/\346\212\275\350\261\241\344\273\243\346\225\260/\345\212\240\346\263\225\345\260\201\351\227\255\346\200\247.md"
@@ -4,44 +4,25 @@ tags:
 dlink:
   - "[[线性]]"
 aliases:
-  - 加性
-  - Additivity
-  - 可加性
   - 加法同态性
 author:
   - Cyletix
-urlink:
 ---
-对于一个运算 $T$，如果对所有 $x$ 和 $y$ 都有：
-$$T(x+y)=T(x)+T(y)$$
-则运算 $T$ 具有可加性。这强调能够满足映射关系。 ^1
+## 简介
+加法封闭性是[[抽象代数]]中的基础概念，描述集合在加法运算下的内在稳定性，是研究[[群]]、[[环]]、[[域]]等代数结构的核心条件。
 
-如果从集合和映射的角度考虑，则更加强调"封闭"这一特性，即加法结果的映射也在映射集合中。
+## 定义
+>[!info] 加法封闭性
+>设非空集合 $S$ 配备加法运算 $+$，若满足：
+>$$ \forall a,b \in S,\ a+b \in S $$
+>则称 $S$ 对加法**封闭**，或称 $S$ 具有加法封闭性。
 
-# 示例
-## 定积分的积分区间
-设 $a \leq b \leq c$, 那么
-$$
-\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx
-$$
+## 示例
+1. **整数集** $\mathbb{Z}$ 对加法封闭。
+2. **偶数集** $\{2k \mid k \in \mathbb{Z}\}$ 对加法封闭。
+3. **奇数集** $\{2k+1 \mid k \in \mathbb{Z}\}$ 对加法**不封闭**（两个奇数相加为偶数）。
 
-## 集函数的可加性
-定义域为集类 $S$, 值域为 $[0, \infty]$ 上的广义实值集函数 $f$, 若: 
-1. 对于任意 $A, B \in S$, 有
-$$
-f(A \cup B) = f(A) + f(B)
-$$
-则称 $f$ 为可加的. 
-2. 对于任意 $A_i \in S$, $i=1\cdots n$, 有
-$$
-f\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) = \sum_{i=1}^{n}f(A_{i})
-$$
-则称 $f$ 为有限可加的. 
-3. 对于任意 $A_i \in S$, $i=1\cdots \infty$, 有
-$$
-f\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\right) = \sum_{i=1}^{\infty}f(A_{i})
-$$
-则称 $f$ 为可列可加的. 
-
-# 应用
-可加性常用于描述具体的函数或变换，如积分、期望值等
\ No newline at end of file
+## 应用
+1. **群论**：加法封闭性是[[阿贝尔群]]的必要条件。
+2. **环论**：加法封闭性是[[环]]定义的基础。
+3. **线性代数**：向量空间对加法封闭是[[线性空间]]的核心性质。
diff --git "a/Other/\350\257\264\346\230\216/Markdown\346\225\260\345\255\246\345\205\254\345\274\217.md" "b/Other/\350\257\264\346\230\216/Markdown\346\225\260\345\255\246\345\205\254\345\274\217.md"
index ed4bb82d1..9d761b057 100644
--- "a/Other/\350\257\264\346\230\216/Markdown\346\225\260\345\255\246\345\205\254\345\274\217.md"
+++ "b/Other/\350\257\264\346\230\216/Markdown\346\225\260\345\255\246\345\205\254\345\274\217.md"
@@ -504,58 +504,58 @@ $$
 | ⟷ | \longleftrightarrow |
 | ⟺ | \Longleftrightarrow |
 ### 更多的箭头符号
-| 符号 | MarkDown |
-| ---- | ---- |
-| ↠ | \twoheadrightarrow |
-| ↣ | \rightarrowtail |
-| ↬ | \looparrowright |
-| ↷ | \curvearrowright |
-| ↻ | \circlearrowright |
-| ↱ | \Rsh |
-| ⊸ | \multimap |
-| ↭ | \leftrightsquigarrow |
-| ⇝ | \rightsquigarrow |
-| ⇝ | \leadsto |
-| ↗ | \nearrow |
-| ↘ | \searrow |
-| ↙ | \swarrow |
-| ↖ | \nwarrow |
-| ↚ | \nleftarrow |
-| ↛ | \nrightarrow |
-| ⇍ | \nLeftarrow |
-| ⇏ | \nRightarrow |
-| ↮ | \nleftrightarrow |
-| ⇎ | \nLeftrightarrow |
-| ⇢ | \dashrightarrow |
-| ⇠ | \dashleftarrow |
-| ⇇ | \leftleftarrows |
-| ⇆ | \leftrightarrows |
-| ⇚ | \Lleftarrow |
-| ↞ | \twoheadleftarrow |
-| ↢ | \leftarrowtail |
-| ↫ | \looparrowleft |
-| ↶ | \curvearrowleft |
-| ↺ | \circlearrowleft |
-| ↰ | \Lsh |
-| ↦ | \mapsto |
-| ↩ | \hookleftarrow |
-| ↪ | \hookrightarrow |
-| ↾ | \upharpoonright |
-| ↿ | \upharpoonleft |
-| ⇂ | \downharpoonright |
-| ⇃ | \downharpoonleft |
-| ↼ | \leftharpoonup |
-| ⇀ | \rightharpoonup |
-| ↽ | \leftharpoondown |
-| ⇁ | \rightharpoondown |
-| ⇈ | \upuparrows |
-| ⇊ | \downdownarrows |
-| ⇉ | \rightrightarrows |
-| ⇄ | \rightleftarrows |
-| ⇉ | \rightrightarrows |
-| ⇄ | \rightleftarrows |
-| ⇌ | \rightleftharpoons |
-| ⇋ | \leftrightharpoons |
+| 符号  | MarkDown             |
+| --- | -------------------- |
+| ↠   | \twoheadrightarrow   |
+| ↣   | \rightarrowtail      |
+| ↬   | \looparrowright      |
+| ↷   | \curvearrowright     |
+| ↻   | \circlearrowright    |
+| ↱   | \Rsh                 |
+| ⊸   | \multimap            |
+| ↭   | \leftrightsquigarrow |
+| ⇝   | \rightsquigarrow     |
+| ⇝   | \leadsto             |
+| ↗   | \nearrow             |
+| ↘   | \searrow             |
+| ↙   | \swarrow             |
+| ↖   | \nwarrow             |
+| ↚   | \nleftarrow          |
+| ↛   | \nrightarrow         |
+| ⇍   | \nLeftarrow          |
+| ⇏   | \nRightarrow         |
+| ↮   | \nleftrightarrow     |
+| ⇎   | \nLeftrightarrow     |
+| ⇢   | \dashrightarrow      |
+| ⇠   | \dashleftarrow       |
+| ⇇   | \leftleftarrows      |
+| ⇆   | \leftrightarrows     |
+| ⇚   | \Lleftarrow          |
+| ↞   | \twoheadleftarrow    |
+| ↢   | \leftarrowtail       |
+| ↫   | \looparrowleft       |
+| ↶   | \curvearrowleft      |
+| ↺   | \circlearrowleft     |
+| ↰   | \Lsh                 |
+| ↦   | \mapsto              |
+| ↩   | \hookleftarrow       |
+| ↪   | \hookrightarrow      |
+| ↾   | \upharpoonright      |
+| ↿   | \upharpoonleft       |
+| ⇂   | \downharpoonright    |
+| ⇃   | \downharpoonleft     |
+| ↼   | \leftharpoonup       |
+| ⇀   | \rightharpoonup      |
+| ↽   | \leftharpoondown     |
+| ⇁   | \rightharpoondown    |
+| ⇈   | \upuparrows          |
+| ⇊   | \downdownarrows      |
+| ⇉   | \rightrightarrows    |
+| ⇄   | \rightleftarrows     |
+| ⇉   | \rightrightarrows    |
+| ⇄   | \rightleftarrows     |
+| ⇌   | \rightleftharpoons   |
+| ⇋   | \leftrightharpoons   |
 
 
 
diff --git "a/_assert_/Template/template-\345\244\215\345\210\206\346\236\220.md" "b/_assert_/Template/template-\345\244\215\345\210\206\346\236\220.md"
new file mode 100644
index 000000000..afcff6ff2
--- /dev/null
+++ "b/_assert_/Template/template-\345\244\215\345\210\206\346\236\220.md"
@@ -0,0 +1,11 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[--复分析--]]"
+---
+>[!info] 定义
+
+
+>[!example]+
+
diff --git a/_assert_/todo/20240630164587.md b/_assert_/todo/20240630164587.md
index 05103ffcf..a6ecf70bf 100644
--- a/_assert_/todo/20240630164587.md
+++ b/_assert_/todo/20240630164587.md
@@ -3,6 +3,6 @@ tags:
   - todo
 ---
 - [x] [[椭圆二重积分]]
-- [ ] [[二次型的正交变换]]
+- [x] [[二次型的正交变换]]
 - [x] [[---重积分---]]
 - [x] [[复线积分1]]
\ No newline at end of file
diff --git a/_assert_/todo/202411260158.md b/_assert_/todo/202411260158.md
index ec6f9e2ff..c2b439946 100644
--- a/_assert_/todo/202411260158.md
+++ b/_assert_/todo/202411260158.md
@@ -2,4 +2,4 @@
 tags:
   - todo
 ---
-- [ ] 线性代数 特征值复根的情况
\ No newline at end of file
+- [x] 线性代数 特征值复根的情况
\ No newline at end of file
diff --git "a/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\345\257\274\346\225\260/\351\253\230\351\230\266\345\257\274\346\225\260.md" "b/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\345\257\274\346\225\260/\351\253\230\351\230\266\345\257\274\346\225\260.md"
index b43e1ebf7..f7de733a3 100644
--- "a/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\345\257\274\346\225\260/\351\253\230\351\230\266\345\257\274\346\225\260.md"
+++ "b/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\345\257\274\346\225\260/\351\253\230\351\230\266\345\257\274\346\225\260.md"
@@ -19,7 +19,7 @@ $$\left[x^a \right]^{(n)}=\frac{a!}{(a-n)!}\cdot x^{a-n}$$
 
 # 性质
 ## 加法封闭性
-![[加法封闭性#^1]]
+![[加法封闭性#算子的可加性]]
 $$(u\pm v)^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$$
 
 ## 莱布尼兹公式
diff --git "a/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\346\233\262\347\272\277\346\233\262\351\235\242\347\247\257\345\210\206/\345\220\221\351\207\217\345\234\272\347\232\204\346\233\262\351\235\242\347\247\257\345\210\206.md" "b/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\346\233\262\347\272\277\346\233\262\351\235\242\347\247\257\345\210\206/\345\220\221\351\207\217\345\234\272\347\232\204\346\233\262\351\235\242\347\247\257\345\210\206.md"
index cc7ba7e0f..3d115a3ad 100644
--- "a/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\346\233\262\347\272\277\346\233\262\351\235\242\347\247\257\345\210\206/\345\220\221\351\207\217\345\234\272\347\232\204\346\233\262\351\235\242\347\247\257\345\210\206.md"
+++ "b/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\346\233\262\347\272\277\346\233\262\351\235\242\347\247\257\345\210\206/\345\220\221\351\207\217\345\234\272\347\232\204\346\233\262\351\235\242\347\247\257\345\210\206.md"
@@ -5,6 +5,10 @@ dlink:
   - "[[---曲线曲面积分---]]"
 aliases:
   - 第二类曲面积分
+chapter: 11
+finished: 
+author:
+  - Cyletix
 ---
 # 一般形式
 三维空间中，沿给定曲面对向量场进行积分，评估向量场的法向分量穿过曲面的流量。解决流量分布不均匀的流体在有向曲面上流过的体积. 这是最一般的表达形式，适用于任何形状的曲面和任意向量场
@@ -13,6 +17,7 @@ $$\oint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} $$
 - $d\mathbf{S}$ 是微元的法向量，一般会规定微元的正方向。
 
 通过向量场$\mathbf{F}(u,v)$ 在微元${} \mathbf{dS}$ 处的法向量点乘结果进行积分. 为此需要先计算微元$\mathbf{dS}$ 处的法向量. 
+
 $$
 d\mathbf{S} = \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right) du dv
 $$
@@ -79,4 +84,357 @@ $$
 
 右手边的叉积是由参数化所决定的法向量。
 
-该公式定义为向量场 $\mathbf{v}$ 在 $S$ 上的面积分。
\ No newline at end of file
+该公式定义为向量场 $\mathbf{v}$ 在 $S$ 上的面积分。
+
+
+
+
+---
+# o1
+
+## 定义
+
+令 $\mathbf{F}(x,y,z)$ 是三维空间中的一个向量场，$S$ 是一个有方向（带单位法向量$\mathbf{n}$）的光滑曲面。向量场 $\mathbf{F}$ 在曲面 $S$ 上的**曲面积分**（或**通量**）定义为
+$$
+\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} 
+\;=\;
+\iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, dS,
+$$
+其中
+- $\mathbf{n}$ 为曲面的**单位法向量**（方向由题目或场景指定）， 
+- $dS$ 为曲面的**面积微元**。
+
+**直观解释**：这是计算 $\mathbf{F}$ 在法向方向（即“穿透”曲面的方向）的分量在整条曲面上累积的结果，可以理解为流体流过曲面的“流量”。
+
+---
+## 计算
+
+曲面积分的核心是计算曲面的法向量与面积微元 $d\mathbf{S}$。最普适的计算方式是基于曲面参数化的偏导数叉积：
+$$
+d\mathbf{S} = \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right) du\,dv,
+$$
+其中：
+- $\mathbf{r}(u,v)$ 是曲面的参数化表示；
+- $(u,v)$ 是参数变量，$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}$ 和 $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}$ 是切向量。
+
+以下展示直角坐标系、柱坐标系和球坐标系中该公式的应用，解释如何从参数化计算微元 $d\mathbf{S}$ 及其中因子的来源。
+
+
+
+### 1. 参数化形式
+最常用的通用公式是通过曲面的参数化表示：
+
+1. **曲面参数化**  
+   将曲面 $S$ 用参数映射 $(u,v) \mapsto \mathbf{r}(u,v)$ 表示为：
+   $$
+   \mathbf{r}(u,v) = \bigl(x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v)\bigr),
+   $$
+   其中 $u, v$ 是参数，曲面上的点 $(x,y,z)$ 都由 $(u,v)$ 确定。
+
+2. **面积微元法向量**  
+   曲面的面积微元 $d\mathbf{S}$ 由参数化的两个偏导的外积给出：
+   $$
+   d\mathbf{S} = \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right) du\,dv,
+   $$
+   其中 $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}$ 和 $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}$ 是曲面参数化的切向量。
+
+3. **面积分公式**  
+   代入向量场 $\mathbf{F}$，曲面积分变为：
+   $$
+   \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} 
+   \;=\; \iint_{D} \mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(u,v)\bigr)\cdot 
+   \biggl(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\biggr) 
+   \,du\,dv,
+   $$
+   其中 $D$ 是参数域 $(u,v)$-平面上对应的投影区域。
+
+> **优点**：此形式适用于任意光滑曲面，只需能合理参数化曲面即可。  
+
+---
+### 2. 直角坐标分量形式
+当曲面 $S$ 平行于某个坐标面时（例如，平面或其分块部分），可以直接利用分量形式简化计算：
+
+$$
+\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} 
+= \iint_S \bigl(P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy\bigr),
+$$
+其中 $\mathbf{F} = (P, Q, R)$ 是向量场的分量。
+
+> **注意事项**：
+- 若曲面法向量朝向的方向不同（例如“外侧”或“内侧”），需根据几何调整分量的正负号。
+- 此形式仅适用于曲面是平面（或由平面分块组成）的情形；对于复杂曲面（如球面、柱面），通常需回到参数化形式。
+
+>[!tip]
+> 同济版教材中的$$\iint P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy$$ 指的正是这种在直角坐标系下、根据各分量对不同坐标面贡献来表达流量的做法。本质上与参数化公式完全一致，只是写法不同。
+
+---
+### 步骤
+无论使用参数化形式还是直角坐标形式，常见的计算步骤如下：
+
+1. **确定曲面和方向**  
+   - 明确曲面的方程或参数化方式（如 $z = f(x,y)$、$x^2 + z^2 = 1$ 等）。  
+   - 确定曲面法向量的方向（“外侧”或“上侧”），确保方向的一致性。
+
+2. **参数化曲面**  
+   - 根据几何特点选取参数变量 $(u,v)$，将曲面用参数化表示为 $\mathbf{r}(u,v)$。  
+   - 例如：圆柱面可用 $(\theta, y)$，球面用 $(\theta, \phi)$，平面直接用 $(x, y)$。
+
+3. **计算法向量和面积微元**  
+   - 求 $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}$ 和 $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}$。  
+   - 通过叉积得到法向量（含面积因子）：  
+     $$
+     d\mathbf{S} = \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right) du\,dv.
+     $$
+
+4. **代入积分公式并计算**  
+   - 将向量场 $\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(u,v)\bigr)$ 带入，计算点积：  
+     $$
+     \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}.
+     $$
+   - 在给定的参数域 $D$ 上做双重积分。
+
+> **提示**：  
+- 若法向方向有要求（如“外侧”），需确保叉积的方向与要求一致（必要时取反）。  
+- 若无法直接参数化曲面，分块处理使用分量形式可能更便捷。
+
+
+
+
+---
+
+
+
+---
+
+### 1. 直角坐标系
+#### 情形
+直角坐标系中的曲面通常可以表达为显式函数，如 $z = f(x, y)$。参数化可选用 $(u, v) = (x, y)$，则有：
+$$
+\mathbf{r}(x, y) = (x, y, f(x, y)).
+$$
+
+#### 计算
+1. 求偏导数：
+   $$
+   \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x} = (1, 0, f_x), \quad 
+   \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} = (0, 1, f_y),
+   $$
+   其中 $f_x = \frac{\partial f}{\partial x}$, $f_y = \frac{\partial f}{\partial y}$。
+
+2. 叉积计算：
+   $$
+   \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} 
+   = \begin{vmatrix}
+   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
+   1 & 0 & f_x \\
+   0 & 1 & f_y
+   \end{vmatrix}
+   = (-f_x, -f_y, 1).
+   $$
+
+3. 得到面积微元：
+   $$
+   d\mathbf{S} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} \, dx\,dy 
+   = (-f_x\,\mathbf{i} - f_y\,\mathbf{j} + \mathbf{k}) \, dx\,dy.
+   $$
+
+4. 法向量为 $(-f_x, -f_y, 1)$，面积因子为 $dx\,dy$。
+
+#### 结论
+对于 $z = f(x,y)$ 的曲面：
+$$
+d\mathbf{S} = (-f_x\,\mathbf{i} - f_y\,\mathbf{j} + \mathbf{k}) \, dx\,dy.
+$$
+
+---
+
+### 2. 柱坐标系
+#### 情形
+柱坐标系下，位置用 $(r, \theta, z)$ 表示，曲面的参数化可以选为：
+$$
+\mathbf{r}(\theta, z) = (r\cos\theta, r\sin\theta, z),
+$$
+其中 $(u, v) = (\theta, z)$。
+
+#### 计算
+1. 求偏导数：
+   $$
+   \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = (-r\sin\theta, r\cos\theta, 0), \quad
+   \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} = (0, 0, 1).
+   $$
+
+2. 叉积计算：
+   $$
+   \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} 
+   = \begin{vmatrix}
+   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
+   -r\sin\theta & r\cos\theta & 0 \\
+   0 & 0 & 1
+   \end{vmatrix}
+   = (r\cos\theta, r\sin\theta, 0).
+   $$
+
+3. 得到面积微元：
+   $$
+   d\mathbf{S} = (r\cos\theta \, \mathbf{i} + r\sin\theta \, \mathbf{j}) \, r\, d\theta\,dz.
+   $$
+
+4. 法向量为 $(r\cos\theta, r\sin\theta, 0)$，面积因子为 $r\,d\theta\,dz$。
+
+#### 结论
+柱坐标系中，圆柱侧面的微元为：
+$$
+d\mathbf{S} = (r\cos\theta\,\mathbf{i} + r\sin\theta\,\mathbf{j}) \, r\,d\theta\,dz.
+$$
+
+---
+
+### 3. 球坐标系
+#### 情形
+球坐标系下，位置用 $(r, \theta, \phi)$ 表示，球面参数化可选为：
+$$
+\mathbf{r}(\theta, \phi) = (r\sin\phi\cos\theta, r\sin\phi\sin\theta, r\cos\phi),
+$$
+其中 $(u, v) = (\theta, \phi)$。
+
+#### 计算
+1. 求偏导数：
+   $$
+   \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = (-r\sin\phi\sin\theta, r\sin\phi\cos\theta, 0), 
+   $$
+   $$
+   \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi} = (r\cos\phi\cos\theta, r\cos\phi\sin\theta, -r\sin\phi).
+   $$
+
+2. 叉积计算：
+   $$
+   \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi} 
+   = \begin{vmatrix}
+   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
+   -r\sin\phi\sin\theta & r\sin\phi\cos\theta & 0 \\
+   r\cos\phi\cos\theta & r\cos\phi\sin\theta & -r\sin\phi
+   \end{vmatrix}.
+   $$
+
+   展开行列式：
+   $$
+   \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi}
+   = (r^2\sin^2\phi\cos\theta, r^2\sin^2\phi\sin\theta, r^2\sin\phi\cos\phi).
+   $$
+
+3. 得到面积微元：
+   $$
+   d\mathbf{S} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi} \, d\theta\,d\phi
+   = (r^2\sin^2\phi\cos\theta \, \mathbf{i} + r^2\sin^2\phi\sin\theta \, \mathbf{j} + r^2\sin\phi\cos\phi \, \mathbf{k}) \, d\theta\,d\phi.
+   $$
+
+4. 面积因子为：
+   $$
+   r^2 \sin\phi\, d\theta\,d\phi.
+   $$
+
+#### 结论
+球坐标系中，球面的微元为：
+$$
+d\mathbf{S} = r^2\sin\phi \, \mathbf{n}\, d\theta\,d\phi,
+$$
+其中 $\mathbf{n}$ 是法向量，方向由球面的曲率决定。
+
+
+
+---
+## 示例
+
+令 $S$ 为圆柱 $x^2 + z^2 = 1$ 的侧面，$0 \le y \le 4$。向量场 $\mathbf{F} = x\,\mathbf{i} + 2y\,\mathbf{j} + 10z\,\mathbf{k}$。求
+
+$$
+\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S},
+$$
+其中法向量规定为“**向外**”，即横向指向圆柱外侧。
+1. **参数化**  
+   用 $\theta$ 表示绕圆柱的角度、$y$ 表示高度：
+   $$
+   \mathbf{r}(\theta, y) = (\cos\theta,\,y,\,\sin\theta),
+   \quad 0 \le \theta \le 2\pi,\quad 0 \le y \le 4.
+   $$
+2. **求叉积**  
+   $$
+   \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} 
+   = (-\sin\theta,\,0,\,\cos\theta), 
+   \quad 
+   \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} 
+   = (0,\,1,\,0).
+   $$
+   $$
+   \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} 
+   = \begin{vmatrix}
+   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\
+   -\sin\theta & 0 & \cos\theta\\
+   0 & 1 & 0
+   \end{vmatrix}
+   = (-\cos\theta)\,\mathbf{i} \;-\; \sin\theta\,\mathbf{k}.
+   $$
+   这就是 $d\mathbf{S}$ 的方向部分（未乘 $d\theta\,dy$）。若此方向**正好**是圆柱外侧，可直接用；若相反，则需取负号。
+
+   在圆柱上，向外的法向量往往是 $(\cos\theta,\,0,\,\sin\theta)$。  
+   这里我们得到 $(-\cos\theta,\,0,\,-\sin\theta)$，它与外侧方向**相差负号**。  
+   因此**若要求指向外侧**，可以令
+   $$
+   d\mathbf{S} 
+   = \bigl(\cos\theta\,\mathbf{i} + \sin\theta\,\mathbf{k}\bigr)\,d\theta\,dy
+   $$
+   （即把上面结果乘以 $-1$）。  
+   **或者**你也可以保持现有结果，再在积分里多加个负号。关键是方向必须和外侧吻合。
+
+3. **向量场在参数下的表达**  
+   $$
+   \mathbf{F}(\mathbf{r}(\theta,y)) 
+   = (\cos\theta)\,\mathbf{i} + 2y\,\mathbf{j} + 10(\sin\theta)\,\mathbf{k}.
+   $$
+
+4. **点乘并积分**  
+   $$
+   \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}
+   = \bigl(\cos\theta\,\mathbf{i} + 2y\,\mathbf{j} + 10\sin\theta\,\mathbf{k}\bigr)
+     \cdot 
+     \bigl(\cos\theta\,\mathbf{i} + \sin\theta\,\mathbf{k}\bigr)\,d\theta\,dy.
+   $$
+   $$
+   = \bigl(\cos^2\theta + 10\,\sin^2\theta \bigr)\,d\theta\,dy
+   \quad (\text{此处 }2y\cdot0=0).
+   $$
+   **积分域**：$\theta \in[0,2\pi],\,y \in[0,4]$。  
+   因此
+   $$
+   \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}
+   = \int_{0}^{4}\int_{0}^{2\pi} \bigl(\cos^2\theta + 10\,\sin^2\theta\bigr)\,d\theta\,dy.
+   $$
+   - $\int_0^{2\pi} \cos^2\theta\,d\theta = \pi$.  
+   - $\int_0^{2\pi} \sin^2\theta\,d\theta = \pi$.  
+   所以  
+   $$
+   \int_{0}^{2\pi} \bigl(\cos^2\theta + 10\,\sin^2\theta\bigr)\,d\theta
+   = \pi + 10\,\pi = 11\pi.
+   $$
+   再乘以 $\int_0^4 dy = 4$，  
+   $$
+   \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}
+   = 4 \cdot 11\pi = 44\pi.
+   $$
+
+---
+## 应用
+- **散度定理（Gauss / Ostrogradsky）**  
+  将封闭曲面上的通量（面积分）转化为该曲面所包围体积上的**体积分**  
+  $$
+  \iint_{S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} 
+  \;=\; 
+  \iiint_{V} \nabla \cdot \mathbf{F}\, dV.
+  $$
+  在**求封闭曲面的通量**时非常实用。
+
+- **曲线-曲面对偶**（Stokes定理等）  
+  在更高阶讨论时，也会出现类似的线积分与面积分之间的对偶关系，但那主要用于旋度/环流等，超出本笔记范围。
+
+- **各向量微分方程**（流体力学、电磁学）  
+  在数学物理中，很多方程包含$\nabla\cdot\mathbf{F}$ 或 $\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}$ 等项，曲面积分公式是深入理解这些方程的重要工具。
diff --git "a/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\346\236\201\351\231\220/\346\227\240\347\251\267.md" "b/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\346\236\201\351\231\220/\346\227\240\347\251\267.md"
index 2ec23dddd..2112de777 100644
--- "a/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\346\236\201\351\231\220/\346\227\240\347\251\267.md"
+++ "b/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\346\236\201\351\231\220/\346\227\240\347\251\267.md"
@@ -4,20 +4,89 @@ tags:
 dlink:
   - "[[---极限与连续---]]"
 author: Cyletix
+---
+本文分为三部分
+- [[#无穷小]]
+- [[#无穷大]]
+- [[#主部]]
+
 ---
 # 无穷小
-定义: 略
-定理: $f(x)$具有极限$A$的充要条件是 $f(x)=A+\alpha$, 其中 $\alpha$ 为无穷小
+
+## 简介
+无穷小是极限理论的核心概念，在微积分、渐近分析中用于描述趋近于零的变化量。
+
+## 定义
+>[!info]+ 形式化定义
+>在自变量的某个变化过程（如 $x \to x_0$ 或 $x \to \infty$）中：
+>- 若 $\lim \alpha(x) = 0$，则称 $\alpha(x)$ 为该过程中的**无穷小量**
+>- 特别地，零函数是永恒的无穷小
+
+**示例**：
+- $x$ 当 $x \to 0$ 时
+- $\sin x$ 当 $x \to 0$ 时
+- $e^{-x}$ 当 $x \to +\infty$ 时
+
+## 基本定理
+>[!theorem]+ 函数极限的分解定理
+>函数 $f(x)$ 在变化过程中有极限 $A$ $\iff$ $f(x) = A + \alpha(x)$，其中 $\alpha(x)$ 是同一过程中的无穷小
+
+**证明**：
+($\Rightarrow$) 由极限定义，$\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0$ 使得 $|f(x)-A|<\varepsilon$，令 $\alpha(x)=f(x)-A$ 即得  
+($\Leftarrow$) 显然 $|f(x)-A|=|\alpha(x)| \to 0$
 
 ---
+
 # 无穷大
-定义: 略
 
-定理: 在自变量的同一变化过程中, 如果f(x)为无穷大, 那么 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷小
+## 简介
+描述函数在局部或全局范围内无界增长的趋势，与无穷小构成对偶关系。
+
+## 定义
+>[!info]+ 形式化定义
+>在自变量的某个变化过程中：
+>- 若 $\forall M>0,\exists \delta>0$ 使得 $0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)|>M$，则称 $f(x)$ 为 $x \to x_0$ 时的**无穷大量**
+>- 记作 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \infty$
+
+**示例**：
+- $\dfrac{1}{x}$ 当 $x \to 0$ 时
+- $\ln x$ 当 $x \to 0^+$ 时
+- $e^x$ 当 $x \to +\infty$ 时
+
+## 对偶定理
+>[!theorem]+ 倒数关系
+>在自变量的同一变化过程中：
+> $$ \lim f(x) = \infty \iff \lim \dfrac{1}{f(x)} = 0 $$
+>即无穷大与无穷小互为倒数关系
+
+**应用**：
+- 处理 $\infty \cdot 0$ 型未定式时可转化为 $\dfrac{0}{1/\infty}$
 
 ---
+
 # 主部
-设 $\alpha$ 及 $\beta$ 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，如果 $\beta=a+o(a)$,则称 $\alpha$ 是 $\beta$ 的主部
 
+## 简介
+在渐近分析中，主部用于刻画无穷小/无穷大的主要贡献成分。
+
+## 定义
+>[!info]+ 主部定义
+>设 $\alpha,\beta$ 是同一过程中的无穷小：
+>- 若 $\beta = k\alpha + o(\alpha)$，其中 $k \neq 0$ 为常数
+>- 则称 $k\alpha$ 是 $\beta$ 的**主部**，$\alpha$ 称为**基准无穷小**
+
+**示例**：
+- 当 $x \to 0$ 时，$\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$，主部为 $x$
+- 当 $x \to +\infty$ 时，$x^2 + 3x \sim x^2$，主部为 $x^2$
+
+## 比较原理
+通过[[无穷小的比较]]确定主部：
+1. **高阶无穷小**：$\beta = o(\alpha)$
+2. **同阶无穷小**：$\lim \dfrac{\beta}{\alpha} = k \neq 0$
+3. **等价无穷小**：$\beta \sim \alpha$（即 $k=1$）
+
+>[!tip] 主部提取步骤
+>1. 确定基准无穷小 $\alpha$
+>2. 展开 $\beta$ 为 $\alpha$ 的多项式
+>3. 保留最低阶非零项作为主部
 
-[[无穷小的比较]]
\ No newline at end of file
diff --git "a/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\346\236\201\351\231\220/\346\230\240\345\260\204\344\270\216\345\207\275\346\225\260.md" "b/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\346\236\201\351\231\220/\346\230\240\345\260\204\344\270\216\345\207\275\346\225\260.md"
index dc2f289e2..4c7de9bff 100644
--- "a/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\346\236\201\351\231\220/\346\230\240\345\260\204\344\270\216\345\207\275\346\225\260.md"
+++ "b/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\346\236\201\351\231\220/\346\230\240\345\260\204\344\270\216\345\207\275\346\225\260.md"
@@ -5,6 +5,6 @@ dlink:
   - "[[---极限与连续---]]"
 author: Cyletix
 ---
-![[映射]]
+![[映射#定义]]
 
-![[函数]]
\ No newline at end of file
+![[函数#定义]]
\ No newline at end of file
diff --git "a/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\346\236\201\351\231\220/\346\236\201\351\231\220.md" "b/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\346\236\201\351\231\220/\346\236\201\351\231\220.md"
index ec2cbb041..29a0a6dcb 100644
--- "a/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\346\236\201\351\231\220/\346\236\201\351\231\220.md"
+++ "b/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\346\236\201\351\231\220/\346\236\201\351\231\220.md"
@@ -5,59 +5,85 @@ dlink:
   - "[[---极限与连续---]]"
 author:
   - Cyletix
+  - DeepSeekR1
 aliases:
   - 極限
   - きょくげん
 ---
-# 1. 数列的极限
+本章分为三部分：
+- [[#数列的极限]]
+- [[#函数的极限]]
+- [[#极限运算的本质]]
 
-## 数列极限定义
-数列极限通过[[一致收敛性]]来定义
->[!info]+
-> 设 $x_n$ 为一数列，如果存在常数a 对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当 $n>N$ 时不等式 $|x_n-a|<ε$ 都成立，那么就称常数a是数列 $x_n$ 的极限，数列 $x_n$ 收敛于a
-> 如果不存在这样的常数a,则数列没有极限
-## 收敛数列性质
-对于收敛于a的数列 $x_n$ 有以下性质
-1. 极限唯一
-2. 一定有界
-3. 保号性：若a>0或a<0, 则存在正整数N, 当n>N时, 都有 $x_n>0$ 或 $x_n<0$
-4. $x_n$ 的任意子数列也收敛于a
+---
+# 数列的极限
+## 简介
+数列极限是分析学的基础概念，通过ε-N语言严格定义收敛性，为后续研究[[级数收敛]]、[[函数连续性]]奠定基础。
+## 定义
+>[!info]+ ε-N定义 
+>设数列 $\{x_n\}$，若存在常数 $a$ 满足：
+> $$ \forall \varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N}^+,\ \text{当}\ n>N\ \text{时}\ |x_n-a|<\varepsilon $$
+>则称数列**收敛于 $a$**，记作 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$；否则称数列**发散**。
+
+**几何解释**：在 $a$ 的任意ε邻域外只有有限项
+
+## 性质
+### 1. 唯一性定理
+若数列收敛，则其极限唯一
+
+### 2. 有界性定理
+收敛数列必有界（但反之不成立，如 $\{(-1)^n\}$）
 
+### 3. 保号性
+若 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a>0$，则 $\exists N,\ \forall n>N,\ x_n>\dfrac{a}{2}$
+
+### 4. 子列收敛性
+收敛数列的任意子列也收敛于同一极限
+
+>[!example]- 经典示例
+>证明 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0$：
+>取 $N=\lfloor \dfrac{1}{\varepsilon} \rfloor+1$，当 $n>N$ 时：
+> $$ \left|\dfrac{1}{n}-0\right|=\dfrac{1}{n}<\dfrac{1}{N}<\varepsilon $$
 
 ---
-# 2. 函数的极限
-用于描述函数在某个点附近的行为。
-## 函数极限定义
->[!info]+ 
-> 函数 $f(x)$ 在 $x \to a$ 时的极限可以表示为：
-> $$
-> \lim _{x \to a} f(x)
-> $$
-> 这表示当 $x$ 无限接近 $a$ 时，$f(x)$ 的值无限接近 $A$
-
-## 函数极限定义(同济版)
-
-### 1. 自变量趋于有限值时 函数的极限
-设函数f(x)在点 $x_0$ 某一去心[邻域](###3.邻域)内有定义,如果存在常数A, 对于有任意给定的正数 $\epsilon$ 总存在正整数δ, 使得当x满足 $0<|x-x_0|<\delta$ 时对应的f(x)都满足| $f(x)-A|<\epsilon$ ,那么常数A就叫做f(x)当 $x \to x_0$ 时的极限, 记作
-$$
-\lim _{x \to a} f(x)=A
-$$
-### 2. 自变量趋于无穷时 函数的极限
-设函数f(x) 当|x|大于某一正数时有定义. 如果存在常数A, 对于任意给定的正数 $\epsilon$
-, 总存在正数X, 使得当$|x|>X$时, $|f(x)-A|<\epsilon$
-### 3. 邻域
-设 $x_0∈R$ , $\delta>0$ 开区间 $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ 称为 $x_0$ 的δ邻域, 记作 $U(x_0,\delta)$ ,
-去心邻域记作 $U^°(x_0,\delta)$
 
+# 函数的极限
+
+## 简介
+描述函数在局部邻域或无穷远处的趋势特性，是建立[[导数]]和[[积分]]的核心工具。
+
+## 定义
+
+### 1. 自变量趋于有限值
+设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的**去心邻域**$U^\circ(x_0,\delta)$ 有定义：
+$$ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A \iff \forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon $$
 
+### 2. 自变量趋于无穷
+设 $f(x)$ 在 $|x|>M$ 时有定义：
+$$ \lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A \iff \forall \varepsilon>0,\ \exists X>0,\ |x|>X \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon $$
+
+### 3. 邻域定义
+- **δ邻域**：$U(x_0,\delta)=(x_0-\delta,x_0+\delta)$
+- **去心邻域**：$U^\circ(x_0,\delta)=U(x_0,\delta)\setminus\{x_0\}$
 
 ## 函数极限性质
-如果 $\lim _{x \to a} f(x)=A$ 存在, 则
-1. 极限唯一
-2. 一定有界
-3. 函数极限的局部保号性
-4. f(x)上的数列收敛且极限也为A
+若 $\lim\limits_{x\to a}f(x)=A$ 存在，则：
+1. **唯一性**：极限值唯一
+2. **局部有界性**：存在邻域 $U^\circ(a,\delta)$ 使 $f(x)$ 有界
+3. **局部保号性**：
+   - 若 $A>0$，则 $\exists\delta>0,\ x\in U^\circ(a,\delta) \Rightarrow f(x)>\dfrac{A}{2}$
+   - 若 $A<0$，则 $\exists\delta>0,\ x\in U^\circ(a,\delta) \Rightarrow f(x)<\dfrac{A}{2}$
+4. **Heine定理**：对任意数列 $x_n\to a$ 且 $x_n\neq a$，有 $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A$
 
+>[!example]- 计算示例
+>证明 $\lim\limits_{x\to2}(3x+1)=7$：
+>给定 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\dfrac{\varepsilon}{3}$，当 $0<|x-2|<\delta$ 时：
+> $$ |(3x+1)-7|=3|x-2|<3\delta=\varepsilon $$
 
 
 ---
+# 极限运算的本质
+极限运算的本质是一个线性**泛函**，它将函数 $f(x)$ 映射到一个实数极限值 $A$（当然也可以很轻易地扩展到复数）：
+$$
+\lim_{x \to a} f(x) = A
+$$
diff --git "a/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\346\236\201\351\231\220/\346\236\201\351\231\220\350\277\220\347\256\227\346\263\225\345\210\231.md" "b/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\346\236\201\351\231\220/\346\236\201\351\231\220\350\277\220\347\256\227\346\263\225\345\210\231.md"
index 4a0346653..d0d904fa4 100644
--- "a/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\346\236\201\351\231\220/\346\236\201\351\231\220\350\277\220\347\256\227\346\263\225\345\210\231.md"
+++ "b/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\346\236\201\351\231\220/\346\236\201\351\231\220\350\277\220\347\256\227\346\263\225\345\210\231.md"
@@ -3,61 +3,107 @@ tags:
   - 数学
 dlink:
   - "[[---极限与连续---]]"
-author: Cyletix
+author:
+  - Cyletix
+  - DeepSeekR1
+finished: true
 ---
-极限运算属于线性函数运算
-极限的运算满足[[加法封闭性]]和可乘性
+## 简介
+极限运算属于线性泛函，所以极限的运算满足[[可加性]]和[[齐次]]性，因此可以推导出无穷小之间的运算关系。
+
+## 线性泛函
+在这之前提到过：
+![[极限#极限运算的本质#]]
+因此，极限运算的性质应该从**泛函**的角度来分析。
+
+### 极限运算的线性性
+极限运算满足以下两条性质：
+1. [[可加性]]：
+   $$
+   \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)
+   $$
+2. [[齐次]]：
+   $$
+   \lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot \lim_{x \to a} f(x)
+   $$
+
+这两条性质合起来称为[[线性]]性，即极限运算是一个**线性泛函**。
+### 极限运算的数学表述
+>[!info] 极限的线性性
+>设 $\lim_{x \to a} f(x) = A$，$\lim_{x \to a} g(x) = B$，且 $c$ 为常数，则：
+>1. **可加性**：
+>   $$
+>   \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = A + B
+>   $$
+>2. **齐次性**：
+>   $$
+>   \lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot A
+>   $$
 
-1. 可加性：对于任意实数 $x$ 和 $y$，如果函数 $f(x)$ 和 $f(y)$ 的极限都存在，那么 $f(x) + f(y)$ 的极限也存在，并且有 $$\lim_{x \to a} [f(x) + f(y)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{y \to a} f(y)$$
-2. 可乘性：对于任意实数 $c$ 和 $x$，如果函数 $f(x)$ 的极限存在，那么 $c \cdot f(x)$ 的极限也存在，并且有 $$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot f(y)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{y \to a} f(y)$$
 
+---
+## 线性运算
+设$\lim f(x)=A$, $\lim g(x)=B$存在，则：
 
-# 极限与极限的运算(不考)
-
-极限运算属于拓扑代数结构。满足交换律和结合律
-
-1. 交换律：如果函数 $f(x)$ 在某个点 $x_0$ 的附近有定义，那么极限运算满足交换律，即$$\lim_{x \to x_0} \lim_{y \to x_0} f(x, y) = \lim_{y \to x_0} \lim_{x \to x_0} f(x, y)$$
-2. 结合律：对于多个函数的极限运算，满足结合律，即 $$\lim_{x \to x_0} \left(\lim_{y \to x_0} f(x, y)\right) = \lim_{y \to x_0} \left(\lim_{x \to x_0} f(x, y)\right)$$
+1. **线性组合**  
+   $$\lim [\alpha f+\beta g] = \alpha A + \beta B \quad (\alpha,\beta\in\mathbb{R})$$  
+2. **乘法法则**  
+   $$\lim [f(x)\cdot g(x)] = A \cdot B$$
 
+3. **除法法则**（当$B \neq 0$时）  
+   $$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$$
 
+>[!example]- 计算示例  
+>$\lim_{x\to2}(3x^2-5) = 3(\lim x)^2 -5 = 3\cdot4-5=7$
 
 ---
-# 同济版
-1. 两个无穷小的和是无穷小
-	推论：有限个无穷小之和也是无穷小
-
-2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
-	推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小
-	推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小
+## 非线性运算
+### 幂指函数
+当$A>0$时：
+$$\lim [f(x)]^{g(x)} = A^B$$
 
+### 根式运算
+$$\lim \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{A} \quad (n\in\mathbb{N}^+)$$
 
 ---
-# 究极废话版
-
-## 1. **常数乘法法则**：
-$$\lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot \lim_{x \to a} f(x)$$
 
-## 2. **和差法则**：
-$$\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$$
-$$\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x)$$
+## 复合运算
+### 复合函数极限
+若$f$在$u=A$连续：
+$$\lim f(g(x)) = f(\lim g(x))$$
 
-## 3. **乘法法则**：
-$$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$$
+>[!tip] 不连续情形处理  
+>当$f$在$u=A$不连续时，需用变量代换法：
+>令$u=g(x)$，转化为$\lim_{u\to A}f(u)$
 
-## 4. **除法法则**：
-$$\displaystyle\lim_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)}{\displaystyle\lim_{x \to a} g(x)}$$ 其中
-$$\lim_{x \to a} g(x) \neq 0$$
-
-## 5. **乘幂法则**：
-$$\lim_{x \to a} [f(x)^n] = [\lim_{x \to a} f(x)]^n$$其中 $n$ 是常数。
-
-## 6. **根式法则**：
-- $\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)}$，其中 $n$ 是正整数。
+---
+## 无穷小运算
+设$\alpha(x),\beta(x)$为同一过程的无穷小：
 
-## 7. **复合函数极限法则**：
-- $\lim_{x \to a} f[g(x)] = \lim_{x \to a} f(u) \quad \text{(当} \lim_{x \to a} g(x) = u \text{存在时)}$。
+| 运算类型         | 结果性质               | 示例                      |
+|------------------|------------------------|---------------------------|
+| $\alpha \pm \beta$ | 保持无穷小             | $x^2 \pm x^3$当$x\to0$    |
+| $\alpha\cdot\text{有界量}$ | 无穷小               | $x\cdot\sin(1/x)$当$x\to0$|
+| $\alpha=o(\beta)$ | $\alpha+\beta \sim \beta$ | $x^3+x \sim x$当$x\to0$ |
 
+>[!note] 典型等价关系  
+>当$x\to0$时：
+>$$\sin x \sim x,\quad \tan x \sim x,\quad e^x-1 \sim x$$
 
-## 8. **极限的乘积与商的性质**：
-若 $$\lim_{x \to a} f(x) = A,\lim_{x \to a} g(x) = B$$ 则：
-$$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$$$$\lim_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{A}{B}$$其中 $B \neq 0$。
+---
+## 注意事项
+
+### 1. 存在性前提
+所有法则仅在**各分量极限存在**时适用：
+$$\nexists \lim_{x\to0} \frac{\sin(1/x)}{1/x} \quad (\text{振荡无极限})$$
+
+### 2. 极限交换条件
+**累次极限不可随意交换**：
+$$
+\lim_{x\to0}\lim_{y\to0}\frac{x^2}{x^2+y^2} = 1 \neq \lim_{y\to0}\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x^2+y^2} = 0
+$$
+
+### 3. 零分母处理
+当$\lim g(x)=0$时：
+- 若$\lim f(x)\neq0$，$\lim f/g$为无穷大
+- 若$\lim f(x)=0$，需用[[洛必达法则]]或[[泰勒展开]]
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--- /dev/null
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@@ -0,0 +1,6 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[-高等数学-]]"
+---
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--- /dev/null
+++ "b/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\347\247\257\345\210\206/\345\270\270\350\247\201\347\247\257\345\210\206\345\275\242\345\274\217\345\244\204\347\220\206.md"
@@ -0,0 +1,111 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+  - 公式
+dlink:
+  - "[[---积分---]]"
+---
+定积分计算中常见的积分形式以及处理方式总结：
+
+### 1. **三角函数的平方**
+$$
+\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}, \quad \sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}
+$$
+这些公式经常需要用来简化三角函数平方的积分。
+
+示例：  
+$$
+\int \cos^2\theta \, d\theta = \int \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \, d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4} + C
+$$
+
+---
+
+### 2. **三角函数的乘积**
+$$
+\cos A \cos B = \frac{\cos(A+B) + \cos(A-B)}{2}, \quad \sin A \sin B = \frac{\cos(A-B) - \cos(A+B)}{2}
+$$
+$$
+\sin A \cos B = \frac{\sin(A+B) + \sin(A-B)}{2}
+$$
+这些公式可以将乘积转化为和差形式，便于积分。
+
+示例：  
+$$
+\int \sin\theta \cos\theta \, d\theta = \int \frac{\sin(2\theta)}{2} \, d\theta = -\frac{\cos(2\theta)}{4} + C
+$$
+
+---
+
+### 3. **二次根式**
+形如 $\sqrt{a^2 - x^2}$、$\sqrt{x^2 - a^2}$、$\sqrt{a^2 + x^2}$ 的积分，常用三角代换：
+
+- 对于 $\sqrt{a^2 - x^2}$，令 $x = a \sin\theta$。
+- 对于 $\sqrt{x^2 - a^2}$，令 $x = a \sec\theta$。
+- 对于 $\sqrt{a^2 + x^2}$，令 $x = a \tan\theta$。
+
+示例：  
+$$
+\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin\frac{x}{a} + C
+$$
+
+---
+
+### 4. **分母为平方和的形式**
+形如 $\frac{1}{a^2 + x^2}$、$\frac{x}{a^2 + x^2}$ 等，使用标准积分公式：
+
+$$
+\int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C
+$$
+$$
+\int \frac{x}{a^2 + x^2} \, dx = \frac{1}{2}\ln(a^2 + x^2) + C
+$$
+
+---
+
+### 5. **分母为线性因子的幂**
+形如 $\frac{1}{(x+a)^n}$：
+
+- 当 $n = 1$ 时，$\int \frac{1}{x+a} \, dx = \ln|x+a| + C$
+- 当 $n > 1$ 时，$\int \frac{1}{(x+a)^n} \, dx = -\frac{1}{(n-1)(x+a)^{n-1}} + C$
+
+---
+
+### 6. **指数与三角函数的乘积**
+形如 $e^{ax} \cos(bx)$、$e^{ax} \sin(bx)$ 的积分，使用分部积分或公式：
+
+$$
+\int e^{ax} \cos(bx) \, dx = \frac{e^{ax}(a\cos(bx) + b\sin(bx))}{a^2 + b^2} + C
+$$
+$$
+\int e^{ax} \sin(bx) \, dx = \frac{e^{ax}(b\cos(bx) - a\sin(bx))}{a^2 + b^2} + C
+$$
+
+---
+
+### 7. **幂函数与对数函数的乘积**
+形如 $x^n \ln(x)$：
+
+$$
+\int x^n \ln(x) \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \ln(x) - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C \quad (n \neq -1)
+$$
+
+---
+
+### 8. **有理分式**
+对于分母为高次多项式的有理分式，常用 **部分分式分解** 简化成已知形式。
+
+示例：  
+$$
+\int \frac{x^2}{x^3 + x} \, dx = \int \frac{x}{x^2+1} \, dx + \int \frac{1}{x} \, dx
+$$
+
+---
+
+### 9. **特殊函数的积分**
+$$
+\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - x + C
+$$
+$$
+\int \arctan(x) \, dx = x \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
+$$
+
diff --git "a/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\347\247\257\345\210\206/\351\253\230\346\226\257\347\247\257\345\210\206.md" "b/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\347\247\257\345\210\206/\351\253\230\346\226\257\347\247\257\345\210\206.md"
index 76cbc19c6..365fa36e6 100644
--- "a/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\347\247\257\345\210\206/\351\253\230\346\226\257\347\247\257\345\210\206.md"
+++ "b/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\347\247\257\345\210\206/\351\253\230\346\226\257\347\247\257\345\210\206.md"
@@ -1,6 +1,7 @@
 ---
 tags:
   - 数学
+  - 公式
 dlink:
   - "[[反常积分]]"
   - "[[正态分布]]"
diff --git "a/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\347\272\247\346\225\260/\345\207\275\346\225\260\351\241\271\347\272\247\346\225\260.md" "b/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\347\272\247\346\225\260/\345\207\275\346\225\260\351\241\271\347\272\247\346\225\260.md"
index 0fa4120b9..9e0cce092 100644
--- "a/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\347\272\247\346\225\260/\345\207\275\346\225\260\351\241\271\347\272\247\346\225\260.md"
+++ "b/\345\276\256\347\247\257\345\210\206/\347\272\247\346\225\260/\345\207\275\346\225\260\351\241\271\347\272\247\346\225\260.md"
@@ -10,7 +10,8 @@ author:
 函数项级数是由函数组成的级数，将一列函数 $f_0(x), f_1(x), \ldots$ 相加，得到的表达式称为函数项级数。其一般形式为：
 $$
 S_N(x) = \sum_{n=0}^\infty f_n(x)
-$$如果将这个过程反过来, 则可以利用简单的多项式形式逼近复杂函数，且在收敛区间内具有良好的解析性。通过将函数化为函数项级数，可以方便地处理函数的加法、乘法、微分和积分
+$$
+如果将这个过程反过来, 则可以利用简单的多项式形式逼近复杂函数，且在收敛区间内具有良好的解析性。通过将函数化为函数项级数，可以方便地处理函数的加法、乘法、微分和积分
 
 ## 性质
 - **收敛性**：函数项级数在某点 $x$ 上收敛的条件是部分和：
diff --git "a/\346\246\202\347\216\207\350\256\272/\345\217\202\346\225\260\344\274\260\350\256\241/\344\274\274\347\204\266\345\207\275\346\225\260.md" "b/\346\246\202\347\216\207\350\256\272/\345\217\202\346\225\260\344\274\260\350\256\241/\344\274\274\347\204\266\345\207\275\346\225\260.md"
index 64d3ce4cd..e6016b3dc 100644
--- "a/\346\246\202\347\216\207\350\256\272/\345\217\202\346\225\260\344\274\260\350\256\241/\344\274\274\347\204\266\345\207\275\346\225\260.md"
+++ "b/\346\246\202\347\216\207\350\256\272/\345\217\202\346\225\260\344\274\260\350\256\241/\344\274\274\347\204\266\345\207\275\346\225\260.md"
@@ -76,7 +76,7 @@ $$
 
 ---
 ## 示例
-
+[[82-sc-r3#追試験#問題3#問3]]
 给定一个模型 $y(a1, a2) = a1x1 + a2x2 + e$，其中 $e$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$，我们要根据三次观测值来估计 $x1$ 和 $x2$ 的尤度。
 
 假设我们有三次观测值 $y_1, y_2, y_3$。这些观测值可以表示为：
diff --git "a/\346\246\202\347\216\207\350\256\272/\351\232\217\346\234\272\345\217\230\351\207\217\345\207\275\346\225\260/\347\237\251\347\224\237\346\210\220\345\207\275\346\225\260.md" "b/\346\246\202\347\216\207\350\256\272/\351\232\217\346\234\272\345\217\230\351\207\217\345\207\275\346\225\260/\347\237\251\347\224\237\346\210\220\345\207\275\346\225\260.md"
index d73d40550..e0f68f149 100644
--- "a/\346\246\202\347\216\207\350\256\272/\351\232\217\346\234\272\345\217\230\351\207\217\345\207\275\346\225\260/\347\237\251\347\224\237\346\210\220\345\207\275\346\225\260.md"
+++ "b/\346\246\202\347\216\207\350\256\272/\351\232\217\346\234\272\345\217\230\351\207\217\345\207\275\346\225\260/\347\237\251\347\224\237\346\210\220\345\207\275\346\225\260.md"
@@ -10,18 +10,21 @@ aliases:
   - せきりつぼかんすう
 author:
   - Cyletix
-finished: false
+finished: true
 ---
 顾名思义, 就是可以用来生成原点矩和中心距的函数
 
+## 定义
+### 离散
 >[!info] 定义
-> ## 離散的な場合
 > $$M_{x}​(t)=E[e^{ tX }]=∑e^{ tx }P(X=x)$$
-> ## 連続的な場合
-> $$M_{X}​(t)=E[e^{ tX }]=\int e^{ tx }f(x)dx$$
 
-注意，以上是个定积分，范围是x的定义域，结果不含x
+### 连续
+>[!info] 定义
+> $$M_{X}​(t)=E[e^{ tX }]=\int_{x} e^{ tx }f(x)dx$$
+> - 这是个定积分，上下限是x的定义域；
+> - 矩生成函数的计算结果是$t$的函数，与$x$无关
 
-# 性质
+## 性质
 $M_X(t)$的n次导数在$t=0$时有: 
 $$[M_X(t)]^{(n)}_{t=0}=E[X^n]$$
diff --git "a/\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260/\347\233\270\344\274\274\345\217\230\346\215\242/\344\272\214\346\254\241\345\236\213.md" "b/\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260/\347\233\270\344\274\274\345\217\230\346\215\242/\344\272\214\346\254\241\345\236\213.md"
index 22f6f9e63..fc01c125e 100644
--- "a/\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260/\347\233\270\344\274\274\345\217\230\346\215\242/\344\272\214\346\254\241\345\236\213.md"
+++ "b/\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260/\347\233\270\344\274\274\345\217\230\346\215\242/\344\272\214\346\254\241\345\236\213.md"
@@ -5,7 +5,8 @@ dlink:
   - "[[---相似变换---]]"
 author:
   - Cyletix
-finished: false
+  - DeepSeekR1
+finished: true
 ---
 ## 背景
 在解析几何中,为了便于研究二次曲线
@@ -16,68 +17,44 @@ $$
 $$
 \begin{cases} 
 x=x'\cos\theta-y'\sin\theta\\
-y=x'\sin\theta-y'\cos\theta
+y=x'\sin\theta+y'\cos\theta
 \end{cases}\\
 $$
-把方程化为[[标准型]]
+把方程化为[[标准型]](标准二次型)
 $$
 mx'^2+ny'^2=1
 $$
-从现代数学的观点看, 化为标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式, 使得它只有平方项. 将这类问题一般化, 即为二次型. 
+这一过程本质是通过**基变换**将二次型的对称矩阵对角化，标准型系数对应矩阵的特征值。将这类问题一般化, 即为二次型. 
 
 ## 定义
-
 >[!info] 定义
-> 二次型是指一个二次齐次函数, 形如
-> $$
-> Q(\vec{x}) = \vec{x}^T A \vec{x} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=i}^n a_{ij} x_i x_j
-> $$
-> 其中${} \vec{x}$是一个$n$维列向量，$A$是一个对称的$n \times n$矩阵，$x^T$表示$x$的转置。
-
-二次型通常表示为变量的二次多项式，可以用矩阵表示。
-找到$\vec{x}$的过程即为[[对角化]] 
-
-# 性质
-
-1. **对称性**：矩阵$A$必须是对称矩阵，即$A = A^T$。
-2. **正定性**：如果对任意非零向量$x$，$Q(x) > 0$，则称二次型$Q(x)$是正定的。这等价于矩阵$A$是正定矩阵。
-3. **半正定性**：如果对任意非零向量$x$，$Q(x) \geq 0$，则称二次型$Q(x)$是半正定的。这等价于矩阵$A$是半正定矩阵。
-4. **负定性**：如果对任意非零向量$x$，$Q(x) < 0$，则称二次型$Q(x)$是负定的。这等价于矩阵$A$是负定矩阵。
-5. **半负定性**：如果对任意非零向量$x$，$Q(x) \leq 0$，则称二次型$Q(x)$是半负定的。这等价于矩阵$A$是半负定矩阵。
-
-# 计算
-任何一种二次的二元代数式都能化成二次型的形式。给定一个二次的二元代数式，如$3x^2+2xy+3y^2$，可以将其表示成二次型$x^T A x$的形式，其中$x$是变量向量，$A$是对应的系数矩阵。
-
-考虑一般形式的二次二元代数式：
-$$ax^2 + 2bxy + cy^2$$
+>二次型是二次齐次函数，形如：
+>$$Q(\vec{x}) = \vec{x}^T A \vec{x} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j$$
+>其中：
+>- $\vec{x}$ 是$n$维列向量
+>- $A$ 是**唯一确定**的$n \times n$对称矩阵（$a_{ij}=a_{ji}$）
+>- 交叉项$x_i x_j$的系数对应$2a_{ij}$（当$i \neq j$时）
 
-可以将其表示为如下的矩阵形式：
-$$x^T A x$$
-
-其中$x = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$，$A$是对称矩阵：
-$$A = \begin{bmatrix}
+---
+## 计算
+**构造二次型矩阵的通用方法**：
+1. 平方项系数直接作为对角元素
+2. 交叉项系数**平分**到对称位置  
+例如：  
+$$ax^2 + 2bxy + cy^2 \Rightarrow A = \begin{bmatrix}
 a & b \\
 b & c
 \end{bmatrix}$$
-
-对于$3x^2 + 2xy + 3y^2$，对应的系数矩阵$A$为：
-
-$$A = \begin{bmatrix}
-3 & 1 \\
-1 & 3
+$$3x_1^2 + 4x_1x_2 - x_2^2 \Rightarrow A = \begin{bmatrix}
+3 & 2 \\
+2 & -1
 \end{bmatrix}$$
-验证：
-$$x^T A x = \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 3x^2 + 2xy + 3y^2$$
-因此，$3x^2 + 2xy + 3y^2$确实可以表示为$x^T A x$的形式，其中$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$。
 
-# 示例
-考虑一个二次型
-$$
-Q(x) = 3x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2
-$$
-我们可以将其写成矩阵形式：
+---
+## 示例
+完整示例：
 $$
-Q(x) = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix}
+Q(x) = 3x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
 3 & 1 \\
 1 & 1
@@ -87,14 +64,20 @@ x_1 \\
 x_2
 \end{bmatrix}
 $$
-(未完成)
-
-
+通过正交变换可对角化为：
+$$
+Q(y) = 2y_1^2 + (3+\sqrt{2})y_2^2
+$$
 
+---
+## 补充
+1. **合同对角化**：存在可逆矩阵$P$使$P^TAP$为对角阵
+2. **惯性定理**：标准型中正/负系数的个数（正负惯性指数）在实数域下保持不变
+3. **几何意义**：二次型对应二次曲面的主轴方向由特征向量确定
 
-# 应用
+---
+## 应用
 
 1. **优化理论**：在二次规划问题中，目标函数通常是一个二次型。
 2. **统计学**：在多元统计分析中，二次型用于构建某些统计量，如马氏距离。
-3. **机械工程**：在结构分析和动力学中，二次型用于描述能量和稳定性。
-
+3. **机械工程**：在结构分析和动力学中，二次型用于描述能量和稳定性。
\ No newline at end of file
diff --git "a/\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260/\347\233\270\344\274\274\345\217\230\346\215\242/\347\211\271\345\276\201\345\200\274.md" "b/\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260/\347\233\270\344\274\274\345\217\230\346\215\242/\347\211\271\345\276\201\345\200\274.md"
index a58184fdc..4b6d15a06 100644
--- "a/\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260/\347\233\270\344\274\274\345\217\230\346\215\242/\347\211\271\345\276\201\345\200\274.md"
+++ "b/\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260/\347\233\270\344\274\274\345\217\230\346\215\242/\347\211\271\345\276\201\345\200\274.md"
@@ -84,4 +84,21 @@ $$
 这里只有一个自由变量，因此几何重数也是 $1$。
 ### 结论
 在这个例子中，特征值 $3$ 的代数重数为 $2$，但几何重数为 $1$，表明 $A$ 对于 $\lambda = 3$ 不完全可对角化（几何重数小于代数重数）。特征值 $2$ 的代数重数和几何重数都是 $1$，表示它完全可对角化。
-这个区分对理解矩阵的结构和求解与矩阵相关的问题（如解线性方程组或寻找矩阵的稳定性）非常重要。
\ No newline at end of file
+这个区分对理解矩阵的结构和求解与矩阵相关的问题（如解线性方程组或寻找矩阵的稳定性）非常重要。
+
+## 复特征根
+当矩阵的特征值为复数时，它表示矩阵对应的线性变换不仅包含缩放，还包含旋转。
+
+复特征根出现在矩阵的特征多项式有共轭复数根时。设矩阵 $A$ 的特征值为复数 $\lambda = \alpha + i\beta$ 和其共轭 $\bar{\lambda} = \alpha - i\beta$，对应的特征向量为复向量 $v$ 和 $\bar{v}$。
+
+当 $A$ 为实矩阵时，可通过复特征向量的实部和虚部构造一组实解。假设 $v = u + iw$，则 $A$ 的解为：
+
+$$
+x(t) = e^{\alpha t} [\cos(\beta t) u - \sin(\beta t) w]
+$$
+和
+$$
+x(t) = e^{\alpha t} [\sin(\beta t) u + \cos(\beta t) w]
+$$
+
+这些解表现为指数衰减或增长的旋转形式，广泛用于描述振荡或波动现象。
\ No newline at end of file
diff --git "a/\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260/\347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264/\347\272\277\346\200\247.md" "b/\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260/\347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264/\347\272\277\346\200\247.md"
index 510466bda..240af33c2 100644
--- "a/\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260/\347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264/\347\272\277\346\200\247.md"
+++ "b/\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260/\347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264/\347\272\277\346\200\247.md"
@@ -8,16 +8,16 @@ author:
 aliases:
   - Linear
   - 线性性质
+  - 线性性
 ---
 线性描述的是一种简单直接的变换的性质: 
 $$
 T[ax + by] = a T(x) + b T(y)
 $$
-
 ^e864aa
 
 以上性质可以分解为两个更基本的性质: 
-- 加法封闭性
-![[加法封闭性#^1]]
+- 可加性
+![[可加性#定义]]
  - 齐次性
 ![[齐次#^1]]
\ No newline at end of file