396. 旋转函数.md

396. 旋转函数

给定一个长度为 n 的整数数组 A 。

假设 Bk 是数组 A 顺时针旋转 k 个位置后的数组，我们定义 A 的“旋转函数” F 为：

F(k) = 0 * Bk[0] + 1 * Bk[1] + ... + (n-1) * Bk[n-1]。

计算F(0), F(1), ..., F(n-1)中的最大值。

注意: 可以认为 n 的值小于 105。

示例:

A = [4, 3, 2, 6]

F(0) = (0 * 4) + (1 * 3) + (2 * 2) + (3 * 6) = 0 + 3 + 4 + 18 = 25
F(1) = (0 * 6) + (1 * 4) + (2 * 3) + (3 * 2) = 0 + 4 + 6 + 6 = 16
F(2) = (0 * 2) + (1 * 6) + (2 * 4) + (3 * 3) = 0 + 6 + 8 + 9 = 23
F(3) = (0 * 3) + (1 * 2) + (2 * 6) + (3 * 4) = 0 + 2 + 12 + 12 = 26

所以 F(0), F(1), F(2), F(3) 中的最大值是 F(3) = 26 。

思路

可以发现F(n)和F(n-1)之间存在规律:每多旋转一次，相当于0到n-2的数组乘的数都加了1，只有最后一个n-1的数组由（n-1）变成了0，相当于少了n-1个
用算式表达就是:

F(1)=           A[0]*0 +A[1]*1 +A[2]*2 + ... A[n-2]*(n-2) + A[n-1]*(n-1)

F(2)= A[n-1]*0+ A[0]*1 +A[1]*2 +A[2]*3 + ... A[n-2]*(n-1)

F(2)-F(1)= -A[n-1]*(n-1) + A[0] + A[1] + ... A[n-2]

         = -A[n-1]*n +sum
可以看到每次F(n)和F(n-1)之间的差距就是-A[n-1]*n +sum(sum是数组A的所有元素之和),因此只要求出F(0),然后每次加上这个差值就可以得到下一个值了

代码

/**
 * @param {number[]} A
 * @return {number}
 */
var maxRotateFunction = function(A) {
  const len = A.length;
  let cur = 0, sum = 0;
  // 第一次遍历，得到sum 和 F(0)
  for(let i = 0; i < len; i ++) {
    cur += A[i] * i;
    sum += A[i];
  }
  let res = cur;

  // 遍历每次的翻转情况，从末尾开始
  for(let i = len - 1; i > 0; i --) {
    // 增加总和
    cur += sum;
    // 减去n份末尾值
    cur -= A[i] * len;
    // 比较最大值
    res = Math.max(cur, res);
  }
  return res;
};

复杂度分析

时间复杂度 $O(N)$

空间复杂度 $O(1)$