51. N 皇后.md

51. N 皇后

n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。

示例 1：

输入：n = 4
输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。

示例 2：

输入：n = 1
输出：[["Q"]]

提示：

• 1 <= n <= 9
• 皇后彼此不能相互攻击，也就是说：任何两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。

思路

DFS+回溯：用3个set来存储 列，左斜，右斜 上已存在的皇后，然后剪枝

代码

/**
 * @param {number} n
 * @return {string[][]}
 */
var solveNQueens = function(n) {
  // 已经放置皇后的位置集合， 列， 右斜， 左斜
  const col_set = new Set(), xy_dif_set = new Set(), xy_sum_set = new Set();
  const result = []

  function dfs(path, row) {
    if (row >= n) {
      result.push(path.slice())
      return;
    }
    for(let col = 0; col < n; col ++) {
      let curPath = path.slice()
      // 右斜， 左斜
      let xy_dif = col - row, xy_sum = col + row;
      //如果在当前列，右斜或者左斜上已经放了，则跳过
      if (col_set.has(col) || xy_dif_set.has(xy_dif) || xy_sum_set.has(xy_sum)) continue;
      // 将当前放置的值存入
      addSets(col, xy_dif, xy_sum);
      // 构建当前行的放置地图
      let tmp = Array(n).fill('.')
      tmp[col] = 'Q'
      curPath.push(tmp.join(''))
      dfs(curPath, row + 1);
      curPath.unshift()
      // 返回上一步
      removeSets(col, xy_dif, xy_sum)
    }
  }

  function addSets(col, xy_dif, xy_sum) {
    col_set.add(col);
    xy_dif_set.add(xy_dif);
    xy_sum_set.add(xy_sum);
  }

  function removeSets(col, xy_dif, xy_sum) {
    col_set.delete(col);
    xy_dif_set.delete(xy_dif);
    xy_sum_set.delete(xy_sum);
  }

  dfs([], 0)

  return result;
};

复杂度分析

时间复杂度 $O(2^N)$

空间复杂度 $O(2^N)$