Tag 7¶
16¶
Erinnerung: $\text{Basis}^\text{Exponent}$
+a)¶
$a^3*a^4$
+Gleiche Basis, die Potenzen werden addiert.
+$=a^{3+4}=a^7$
+b)¶
$a^5 +a^2$ lässt sich nicht weiter vereinfachen. (Höchstens ein $a^2$ ausklammern, aber das vereinfacht den Term nicht.)
+c)¶
$(a^3)^4$
+Bei Auswertung von links nach rechts (durch Klammern erzwungen) zweier Exponenten können diese multipliziert werden. Nicht Verwechseln mit $a^{3^4}$. Potenzen werden allgemein von rechts nach links ausgewertet, also zuerst $3^4$. $a^{3^4} = a^{(3^4)} = a^{81}$
+$ = a^3*4 = a^{12}$
+d)¶
$(b^7+b^7)=2b^7$
+e)¶
$(4a)^3$
+Ist die Basis ein Produkt kann der exponent auf jeden Factor einzelnt angewendet werden.
+$ = 4^3a^3 = 64a^3$
+f)¶
$(3+a)^2 = 9 + 6a + a^2 = a^2 + 6a + 9$
+g)¶
Erinnerung $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$
+$\frac{a^2*b^{-1}}{a^3*b^2} = \frac{a^2*b^{-1}}{1} * \frac{1}{a^3*b^2} = a^2*b^{-1}*a^{-3}*b^{-2} = a^{-1}*b^{-3} = \frac{1}{ab^3}$
+h)¶
Erinnerung $\sqrt[n]{x} = x^\frac{1}{n}$
+$\sqrt{a}a = a^{\frac{1}{2}}*a^1= a^{\frac{3}{2}} = \sqrt{a^3} = \sqrt{a}^3$
+i)¶
$(\frac{1}{a^2})^2 = \frac{1^2}{(a^2)^2} = \frac{1}{a^{2*2}} = \frac{1}{a^4} = a^{-4}$
+j)¶
$\frac{1}{\sqrt[3]{a}} = \frac{1}{a^\frac{1}{3}} = a^{-\frac{1}{3}}$
+k)¶
$\frac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[4]{a}*\sqrt[3]{a}*\sqrt[12]{a}}$
+Nur der Nenner:
+$\sqrt[4]{a}*\sqrt[3]{a}*\sqrt[12]{a} = a^{\frac{1}{4}}*a^{\frac{1}{3}}*a^{\frac{1}{12}} = a^{\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{12}}$
+Nur der Exponent:
+$\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{12} = \frac{3}{12}+\frac{4}{12}+\frac{1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$
+Nun der Zähler:
+$\sqrt[3]{a^2} = (a^2)^\frac{1}{3} = a^{2*\frac{1}{3}} = a^\frac{2}{3}$
+Nenner und Zähler sind gleich. Daher sit die Lösung $1$.
+l)¶
$\sqrt{(\frac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[6]{a^2}})^6}$ +$= \sqrt{\frac{\sqrt[3]{a^2}^6}{\sqrt[6]{a^2}^6}}$ +$= \sqrt{\frac{(a^2)^2}{a^2}}$ +$= \sqrt{\frac{(a^2)*(a^2)}{a^2}}$ +$= \sqrt{a^2}$ +$= a$ +Der letzte Schritt gilt so, auch ohne Betragsstriche, weil die Aufgabenstellung $a > 0$ voraussetzt.
+b)¶
$\frac{(8x^3y^{-3})^{-2}}{(12x^{-2}y^{-4})^{-3}}$
+$=\frac{8^{-2}x^{-6}y^{6}}{12^{-3}x^6y^{12}}$
+$=\frac{8^{-2}x^{-6}y^{6}}{12^{-2}12^{-1}x^6y^6y^6}$
+$=\frac{2^{-2}y^{6}}{3^{-2}12^{-1}x^{6+6}y^6y^6}$
+$=\frac{12*3^2}{2^2x^12y^6}$
+$=\frac{3*3^2}{x^{12}y^6}$
+$=\frac{27}{x^{12}y^6}$
+c)¶
$(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})*(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})$
+$= \sqrt[3]{a^2}*\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{ab}*\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b^2}*\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a^2}*\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{ab}*\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}*\sqrt[3]{b}$
+$= a-\sqrt[3]{a^2b}+\sqrt[3]{ab^2} + \sqrt[3]{a^2b}-\sqrt[3]{ab^2}+b$
+$a + b$
+d)¶
$(\sqrt{a+b}-\sqrt{b})*(\sqrt{a+b}+\sqrt{b})$
+Dritte Binomische Formel
+$= (\sqrt{a+b})^2-(\sqrt{b})^2$
+$= a+b - b$
+$= a$
+e)¶
$(1 + \sqrt{x} + \sqrt{x^2} + \sqrt{x^3})*(1-\sqrt{x})$
+$= 1 + \sqrt{x} + \sqrt{x^2} + \sqrt{x^3}$
+$-(1 + \sqrt{x} + \sqrt{x^2} + \sqrt{x^3})*\sqrt{x}$
+$= 1 + \sqrt{x} + \sqrt{x^2} + \sqrt{x^3}$
+$-\sqrt{x} - \sqrt{x^2} - \sqrt{x^3} - \sqrt{x^4}$
+$= 1 - \sqrt{x^4}$
+$= 1 - x^2$
+18¶
a)¶
$\frac{\text{verfügbare Masse}}{\text{Masse einer Sonne}} = \frac{10^{80}}{10^{57}}= 10^{80-57}=10^{23} = \text{einhunderttrilliarden}$
+b)¶
$\frac{800 MW}{8 * 100 W + 1,3 kW + 400 W}$
+$= \frac{800 *10^6W}{8 * 10^2 W + 1,3 *10^3 W + 4 * 10^2 W}$
+$= \frac{800 *10^6W}{8 * 10^2 W + 13 *10^2 W + 4 * 10^2 W}$
+$= \frac{800 *10^6W}{(8 + 13 + 4) * 10^2 W}$
+$= \frac{800 *10^6W}{25 * 10^2 W}$
+$= \frac{32 *10^6W}{10^2 W}$
+$= 32 *10^4$
+$= 320000$
+c)¶
Experiment 1
+$\frac{14 mm}{2 ns} = \frac{14 * 10^{-3} m}{2 * 10^{-9} s} = 7 * 10^6\frac{m}{s}$
+$ = 7 * 10^6\frac{m}{s} * \frac{1km}{1000m}*\frac{60 s}{1 min}*\frac{60 min}{1 h}$
+$ = 7 * 10^6\frac{m}{s} * \frac{1km}{1000m}*\frac{60 s}{1}*\frac{60}{1 h}$
+$ = 7 * 10^6\frac{m}{s} * \frac{1}{1000}*\frac{3600}{1}\frac{km*s}{m*h}$
+$ = 7 * 10^6\frac{m}{s} * \frac{3600}{1000}\frac{km*s}{m*h}$
+$ = 7 * 10^6\frac{m}{s} * 3,6\frac{km*s}{m*h}$
+$ = 7 * 10^5 * 36\frac{km}{h}$
+$ = 252 * 10^5 \frac{km}{h}$
+Experiment 2
+$\frac{6 mm}{3 ps} = \frac{6 * 10^{-3} m}{3 * 10^{-12} s} = 2 * 10^9 \frac{m}{s}$
+$= 2 * 10^9 \frac{m}{s} * 3,6\frac{km*s}{m*h}$
+$= 2 * 10^8 * 36\frac{km}{h}$
+$= 72 * 10^8 \frac{km}{h}$
+Bei Experiment 1 ist die Geschwindigkeit geringer
+19¶
a)¶
$\sqrt[3]{4}*\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{2^2*2} = \sqrt[3]{2^3} =2$
+b)¶
$\sqrt[6]{81} * \sqrt[6]{9} = \sqrt[6]{3^4*3^2} = 3$
+c)¶
$\sqrt[13]{1,3^9} * \sqrt[13]{1,3^4} = \sqrt[13]{1,3^{13}} = 1,3$
+d)¶
$\sqrt[3]{\sqrt[2]{9^3}}$
+$ = ((9^3)^\frac{1}{2})^\frac{1}{3}$
+$ = (9^3)^{\frac{1}{2}*\frac{1}{3}}$
+$ = (9^3)^{\frac{1}{3}*\frac{1}{2}}$
+$ = ((9^3)^\frac{1}{3})^\frac{1}{2}$
+$ = 9^\frac{1}{2}$
+$ = 3$
+20¶
a)¶
$\sqrt[3]{\sqrt[4]{x}} = (x^\frac{1}{4})^\frac{1}{3} = x^{\frac{1}{4}*\frac{1}{3}} = x^\frac{1}{12} = \sqrt[12]{x}$
+b)¶
$\sqrt[3]{5}*\sqrt[3]{\frac{x}{5}}$
+Gleiche Potenzen (Wurzel ist auch eine Potenz), die Basen werden multipliziert.
+$= \sqrt[3]{5*\frac{x}{5}}$
+$= \sqrt[3]{x}$
+c)¶
$\sqrt[7]{\frac{\sqrt[3]{x^{21}a+x^{21}b}}{\sqrt[3]{a+b}}}$
+$ = \sqrt[7]{\frac{\sqrt[3]{x^{21}*(a+b)}}{\sqrt[3]{a+b}}}$
+Regel Exponent auf ein Produkt verteilen
+$ = \sqrt[7]{\frac{\sqrt[3]{x^{21}}*\sqrt[3]{a+b}}{\sqrt[3]{a+b}}}$
+kürzen
+$ = \sqrt[7]{\sqrt[3]{x^{21}}}$
+$= x$
+21¶
Es wird so erweitert, dass im Nenner die dritte Binomische Formel angewedet werden kann.
+a)¶
$\frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$
+$= \frac{(a\sqrt{b}-b\sqrt{a})*(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b)*(\sqrt{a}+\sqrt{b})}}$
+$= \frac{a\sqrt{b}*\sqrt{a}-b\sqrt{a}*\sqrt{a}+ a\sqrt{b}*\sqrt{b}-b\sqrt{a}*\sqrt{b}}{a - b}$
+$= \frac{a\sqrt{ab} - ab + ab - b\sqrt{ab}}{a - b}$
+$= \frac{a\sqrt{ab} - b\sqrt{ab}}{a - b}$
+$= \frac{(a - b)\sqrt{ab}}{a - b}$
+$= \sqrt{ab}$
+b)¶
$\frac{2b}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}$
+$= \frac{2b*(\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b})}{(a+b)-(a-b)}$
+$= \frac{2b*(\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b})}{a+b-a+b}$
+$= \frac{2b*(\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b})}{2b}$
+$= \sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}$
+c)¶
$\frac{b}{a-\sqrt{a^2-b}}$
+$=\frac{b*(a+\sqrt{a^2-b})}{a^2-(a^2-b)}$
+$=\frac{b*(a+\sqrt{a^2-b})}{a^2-a^2+b}$
+$=\frac{b*(a+\sqrt{a^2-b})}{b}$
+$= a+\sqrt{a^2-b}$
+d)¶
$(x+y)^{n-m}*(x+y)^{n-m}=((x+y)^{n-m})^2=(x+y)^{2*(n-m)}=(x+y)^{2n-2m}$
+e)¶
$((-a)^{2n-1})^{-n-1}$
+$= (-a)^{(2n-1)*(-n-1)}$
+$= (-a)^{-2n^2+n -2n+1}$
+$= (-a)^{-2n^2-n+1}$
+f)¶
$(a^{3p})^{4p}$
+$= a^{3p*4p}$
+$= a^{12p^2}$
+g)¶
$((x-y)^{n+1})^{n+1}$
+$= (x-y)^{(n+1)*(n+1)}$
+$= (x-y)^{(n+1)^2}$
+$= (x-y)^{n^2+2n+1}$
+h)¶
$(3x+y)^2(3x-y)^2$
+$= ((3x+y)(3x-y))^2$
+$= (9x^2-y^2)^2$
+$= (9x^2)^2 - 2 * 9x^2 * y^2 + (y^2)^2$
+$= 81x^4 - 18x^2y^2 + y^4$
+i)¶
$\frac{5a^9b^3}{7c^4}*\frac{10c^3}{28a^5b^7}$
+$= \frac{5a^4}{7c}*\frac{5}{14b^4}$
+$= \frac{25a^4}{98b^4c}$
+j)¶
$\frac{(7a-7b)^5}{(a-b)}$
+$= \frac{(7(a-b))^5}{(a-b)}$
+$= \frac{7^5(a-b)^5}{(a-b)}$
+$= \frac{7^5(a-b)^4*(a-b)}{(a-b)}$
+$= 7^5(a-b)^4$
+2¶
a)¶
$(\frac{\sqrt{5}}{3})^3$
+$=\frac{\sqrt{5^3}}{3^3}$
+$=\frac{\sqrt{5^2*5}}{27}$
+$=\frac{\sqrt{5^2}\sqrt{5}}{27}$
+$=\frac{5\sqrt{5}}{27}$
+b)¶
$(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}})^4$
+$= \frac{(\sqrt{3})^4}{(\sqrt{5})^4}$
+$= \frac{3^2}{5^2}$
+$= \frac{9}{25}$
+c)¶
$(\frac{x\sqrt{2}}{y\sqrt{5}})^{-4}$
+$= (\frac{y\sqrt{5}}{x\sqrt{2}})^4$
+$= \frac{y^45^2}{x^42^2}$
+$= \frac{25y^4}{4x^4}$
+3¶
a)¶
$\frac{3}{\sqrt{a}}$
+$= \frac{3\sqrt{a}}{a}$
+b)¶
$\frac{a}{\sqrt[5]{a}}$
+$= \frac{a\sqrt[5]{a^4}}{a}$
+$= \sqrt[5]{a^4}$
+c)¶
$\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$
+$= \frac{1*(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$
+$= \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a - b}$
+d)¶
$\frac{1}{1+\sqrt{a}}$
+$= \frac{1*(1-\sqrt{a})}{(1+\sqrt{a})(1-\sqrt{a})}$
+$= \frac{1-\sqrt{a}}{1-a}$
+e)¶
$\frac{5+\sqrt{x}}{5-\sqrt{x}}$
+$= \frac{(5+\sqrt{x})^2}{(5-\sqrt{x})*(5+\sqrt{x})}$
+$= \frac{25 + 10\sqrt{x} + x}{25-x}$
+f)¶
$\frac{3 + 2\sqrt{x}}{3 - 2\sqrt{x}}$
+$= \frac{(3 + 2\sqrt{x})^2}{(3 - 2\sqrt{x})(3 + 2\sqrt{x})}$
+$= \frac{9 + 12\sqrt{x} + 4x}{9 - 4x}$
+