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Ensembles et fonctions.md

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Ensembles et fonctions

Ensembles

Opérateurs

On considère un univers $$U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$$. Étant donnés les ensembles suivants

$$A = {1, 2, 3, 4},; B = {4, 5, 6, 7},; C = {1, 3, 5, 7},; D = {2, 3, 4, 5, 6},$$

calculer

  1. $$\overline{A}, A \cup C, \overline{A \cup C}, A \cap C, \overline{A \cap C}$$,
  2. $$(A \cap B) \cup (C \cap D), (A \cup C) \cap (B \cup D)$$,
  3. $$A \backslash D, D \backslash A$$.

Diagrammes de Venn

On suppose que $$A \cup B = B \cap C$$ et que $$C\subset E$$. Dessiner les diagrammes de Venn de $$A$$, $$B$$, $$C$$ et $$E$$.

Comparer les diagrammes de Venn

  1. de $$\overline{A\cup B}$$ et $$\overline{A}\cap\overline{B}$$;
  2. de $$\overline{A\cap B}$$ et $$\overline{A}\cup\overline{B}$$.

Ensembles et calcul des propositions

Soient $$A$$, $$B$$, $$C$$ trois ensembles dans un univers $$U$$. Démontrer les propriétés suivantes.

  1. La distributivité: $$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$$.

  2. Les lois de de Morgan: $$\overline{A\cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$$ et $$\overline{A\cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$$.

  3. $$A \backslash B = A \cap \overline{B}$$.

  4. $$A \cup B = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$$.

  5. $$A \cap B = A \cap C$$ si et seulement si $$A \cap \overline{B} = A \cap \overline{C}$$.

Fonctions

Rappel: Si $$f:A\to B$$ est une fonction, et si $$C\subset B$$ est un sous-ensemble de $$B$$, on note $$f^{-1}(C)$$ l'image inverse de $$C$$ par $$f$$, c'est à dire l'ensemble des $$x\in A$$ tels que $$f(x)\in C$$.

Soit $$f : E\to F$$ une fonction totale (une application). Soient $$A$$ et $$B$$ des sous-ensembles de $$E$$ et soient $$C$$ et $$D$$ des sous-ensembles de $$F$$. A-t-on nécessairement:

  1. $$f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$$,
  2. $$f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$$,
  3. $$f^{-1}(C \cap D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)$$,
  4. $$f^{-1}(C \cup D) = f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)$$,
  5. $$f^{-1}(f(A)) = A$$,
  6. $$f(f^{-1}(C)) = C$$.

Justifier chaque cas par une preuve ou par un contre-exemple.

Injectivité et surjectivité

Rappel: si $$n$$ est un nombre réel, la notation $$\lfloor n\rfloor$$ désigne la partie entière inférieure de $$n$$, c'est à dire le plus grand entier plus petit ou égal à $$n$$. La notation $$\lceil n\rceil$$ désigne la partie entière supérieure de $$n$$, c'est à dire le plus petit entier plus grand ou égal à $$n$$.

Déterminer si les fonctions suivantes sont injectives, surjectives ou aucune des deux.

  1. $$f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$ définie par $$f(n) = \lfloor\frac{n}{2}\rfloor$$.

  2. $$f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$ définie par $$f(n) = 2n$$.

  3. $$f : \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$$ définie par $$f(n) = (-1)^n\lceil\frac{n}{2}\rceil$$.

  4. $$f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$ définie par $$f(x) = x + 1$$.

  5. $$f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$$ définie par $$f(x) = x + 1$$.

Interpréter les phrases suivantes en terme d’injectivité et de surjectivité.

  1. Il existe des nombres entiers relatifs (i.e., dans $$\mathbb{Z}$$) différents qui ont le même carré.
  2. Tout nombre réel positif a une racine carrée.
  3. Le nombre 3 n’est le sinus d’aucun nombre.
  4. Un nombre complexe est caractérisé par ses parties réelle et imaginaire.

Rappel: Si $$f:A\to B$$ et $$g:B\to C$$ sont deux fonctions, on note $$g\circ f$$ la composée de $$g$$ et de $$f$$, i.e. la fonction $$g\circ f:A\to C$$ définie par $$g\circ f(x) = g(f(x))$$.

Soient $$f : A \to B$$ et $$g : B \to C$$ deux fonctions et $$h = g \circ f$$. Montrer les propositions suivantes.

  1. Si $$h$$ est surjective alors $$g$$ est surjective.
  2. Si $$h$$ est injective alors $$f$$ est injective.
  3. Si $$h$$ est injective et $$f$$ est surjective alors $$g$$ est injective.
  4. Si $$h$$ est surjective et $$g$$ est injective alors $$f$$ est surjective.

Les implications réciproques sont-elles vraies ?

Ensembles et induction

Soient $$A$$ et $$B$$ des ensembles finis, et soit $$f : A \to B$$ une fonction. Prouver que

  1. Si $$f$$ est injective, alors $$|A| \le |B|$$;  
  2. Si $$f$$ est surjective, alors $$|A| \ge |B|$$.  

Soit $$f : E \to E$$ une fonction. On définit par récurrence les applications $$f^n$$ par $$f^1 = f$$ et $$f^n = f \circ f^{n-1}$$.

  1. On suppose que $$f$$ est injective. Montrer que pour tout entier $$n$$, $$f^n$$ est injective.
  2. On suppose que $$f$$ est surjective. Montrer que pour tout entier $$n$$, $$f^n$$ est surjective.