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2. Multi-armed Bandits

k-armed Bandit Problem,K臂老虎机

问题描述:重复面临有k种选择的情况,每一次选择之后,都会收到一个reward。这个reward服从一个跟你的选择相关的分布。你的目标是,在选择t次后,找到最大的期望reward

为什么叫K臂老虎机:有K个单臂老虎机,每个时间节点,你可以选择K个中任意一个老虎机选择按下它的臂,然后获得一个奖励。目标自然是多次选择之后的累计奖励最大。

形式化定义:假设时刻$t$的动作是$A_t$,reward是$R_t$,定义价值函数:$q_*(a) = E[R_t|A_t=a]$。

特点:每个时刻下,$q_*(a)$是固定的,stationary。

  • 如果我们知道每个动作a对应的价值q,那么这个问题对我们来说就已经解决了,即,我们选择q最大的那个a。
  • 然而,我们并不知道实际上的q是什么,只能估计$Q_t(a)\approx q_*(a)$。
  • 在每个时间节点上,如果总是选择对应的估计Q最大的a,这被称为greedy
  • $\epsilon$-greedy:$1-\epsilon$的概率选择Q最大的a,$\epsilon$的概率选择其他a。
  • 估计$Q_t(a) = \frac{在时刻t之前,所有采用动作a获得的奖励之和}{在时刻t之前,采用动作a的次数}= \frac{\sum^{t-1}{i=1}R_i\cdot\mathbf{1}{A_i=a}}{\sum^{t-1}{i=1}\mathbf{1}{A_i=a}}$,被称为sample-average

10-armed Testbed

  • 设置一个10臂老虎机作模拟。
  • 真实的价值函数$q_*(a)$服从标准高斯分布(均值是0,方差是1)。
  • t时刻的奖励$R_t$服从高斯分布,均值是$q_*(A_t)$,方差是1。
  • 可以规定每次实验做1000次选择,称为一个run。
  • 一共跑了2000个独立的run。
  • 实验结果($\epsilon$-greedy的优越性):

average_reward

增量式的估计

  • 上面的sample-average即:$Q_n = \frac{R_1+R_2+...+R_{n-1}}{n-1}$
  • 改写成增量式的形式:$Q_{n+1} = Q_n + \frac{1}{n}[R_n-Q_n]$
  • 即:新估计 = 老估计 + 步长 × [奖励 - 老估计]

bandit_algo

Optimistic Initial Values

  • 设置初始的$Q_1(a)$为一些较大的值。
  • 这样会鼓励explore。
  • 对于nonstationary的问题不适用。

optimistic

Upper-Confidence-Bound Action Selection(UCB)

  • $A_t = \underset{a}{argmax}[Q_t(a)+c\sqrt{\frac{log;t}{N_t(a)}}]$
  • 其中,$N_t(a)$代表动作a在t之前出现的次数,根号项衡量动作a的不确定性,如果某个动作已经使用了很多次,则倾向使用使用次数少的,这样达到explore的效果。

ucb

Gradient Bandit Algorithms

  • 使用一个数值表示对某个动作的偏好:$H_t(a)$
  • $Pr{A_t=a}=\frac{e^{H_t(a)}}{\sum_{b=1}^k{e^{H_t(b)}}}=\pi_t(a)$
  • 更新规则:
    • $H_{t+1}(A_t) = H_t(A_t) + \alpha(R_t-\overline R_t)(1-\pi _t(A_t))$

gradient_bandit

各种方法对比

bandit_methods

代码分析

完整源码

核心代码:

# get an action for this bandit
def act(self):
    if np.random.rand() < self.epsilon:
        return np.random.choice(self.indices)

    if self.UCB_param is not None:
        UCB_estimation = self.q_estimation + \
                    self.UCB_param * np.sqrt(np.log(self.time + 1) / (self.action_count + 1e-5))
        q_best = np.max(UCB_estimation)
        return np.random.choice([action for action, q in enumerate(UCB_estimation) if q == q_best])

    if self.gradient:
        exp_est = np.exp(self.q_estimation)
        self.action_prob = exp_est / np.sum(exp_est)
        return np.random.choice(self.indices, p=self.action_prob)

    q_best = np.max(self.q_estimation)
    return np.random.choice([action for action, q in enumerate(self.q_estimation) if q == q_best])

# take an action, update estimation for this action
def step(self, action):
    # generate the reward under N(real reward, 1)
    reward = np.random.randn() + self.q_true[action]
    self.time += 1
    self.average_reward = (self.time - 1.0) / self.time * self.average_reward + reward / self.time
    self.action_count[action] += 1

    if self.sample_averages:
        # update estimation using sample averages
        self.q_estimation[action] += 1.0 / self.action_count[action] * (reward - self.q_estimation[action])
    elif self.gradient:
        one_hot = np.zeros(self.k)
        one_hot[action] = 1
        if self.gradient_baseline:
            baseline = self.average_reward
        else:
            baseline = 0
        self.q_estimation = self.q_estimation + self.step_size * (reward - baseline) * (one_hot - self.action_prob)
    else:
        # update estimation with constant step size
        self.q_estimation[action] += self.step_size * (reward - self.q_estimation[action])
    return reward