尤度関数
\begin{align*}
p(\{\bphi_n,\t_n\}|\{π_k\})
= & ∏n=1^N ∏k=1^K [p(C_k) p(\bphi_n|C_k)]t_{nk}
= & ∏n=1^N ∏k=1^K [π_k p(\bphi_n|C_k)]t_{nk} \
ln p(\{\bphi_n,\t_n\}|\{π_k\})
= & ∑n=1^N ∑k=1^K tnk [ln π_k + ln p(\bphi_n|C_k)] \
\end{align*}
\(∑_k π_k = 1\)という制約のもとで対数尤度関数を最大化する\(π_k\)を求めるため、 ラグランジュの未定係数法を用いる。 \begin{align*} L(\{π_k\},λ) = & ln p(\{\bphi_n,\t_n\}|\{π_k\})
- λ \l( ∑_k π_k - 1 \r)
\end{align*}
\begin{align*}
& \p{}{π_k} L(\{π_k\},λ)
= & ∑n=1^N ∑j=1^K tnj \p{}{π_k} ln π_j
- \p{}{π_k} λ \l( ∑_k π_k - 1 \r)
= & ∑n=1^N ∑j=1^K tnj Ijk \f{1}{π_j} + λ
= & \f{1}{π_k} ∑n=1^N tnk + λ \
= & \f{1}{π_k} N_k + λ \
\end{align*}
\begin{align*}
0 = & \f{1}{π_k} N_k + λ
- λ π_k = & N_k
\end{align*}
\begin{align*}
- λ ∑_k π_k = & ∑_k N_k
- λ = & N
\end{align*}
\begin{align*}
π_k = & \f{N_k}{N}
\end{align*}