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% \clearpage
\section{Betrieb von Leitungen}
\subsection{Kenngrößen}
\begin{itemize}
\item[] \textbf{Leitung mit Verlusten}
\begin{align*}
\ul{\gamma} &= \sqrt{(R'_b +jX'_b)\cdot(G'_b+jB'_b)} = \alpha + j \beta \left[\frac{1}{km} \right]\\
\ul{Z}_w &= \sqrt{\dfrac{R'_b + jX'_b}{G'_b + jB'_b}}= |Z_w| \cdot e^{j\delta}
\end{align*}
\indent Falls Formel von $\ul{Z}_w$ nicht über TR berechenbar $\rightarrow$\\
Betrag: erst $\ul{Z}_w^2$, dann $\sqrt{|Z_w^2|}$ ermitteln \\
Phase: $0.5 \cdot \arg(\ul{Z}_w^2)$
$\Rightarrow$ Gilt analog auch für $\ul{\gamma}$.\\
\indent $\gamma:$ Ausbreitungskonstante $[\frac{rad}{km} = \frac{1}{km}]$\\
\indent $\alpha:$ Dämpfungskonstante\\
\indent $\beta:$ Phasenkonstante $[\frac{rad}{km} = \frac{180\degree}{\pi} \cdot \frac{1}{km} = \frac{\degree}{km}]$\\
\indent $Z_w:$ Wellenwiderstand\\
\indent $\delta:$ Phase des Wellenwiderstandes\\
\item[] \textbf{Leitung ohne Verluste}\\
$R'_b = G'_b = 0\rightarrow \alpha, \delta = 0$
\begin{align*}
\ul{\gamma} &= j \beta = j \sqrt{X'_b \cdot B'_b} = j \omega \cdot \sqrt{L'_b \cdot C'_b}\left[\frac{\degree}{km} \right]\\
|\beta| &= \sqrt{X'_b \cdot B'_b} \cdot \frac{180\degree}{\pi} = \omega \cdot \sqrt{L'_b \cdot C'_b} \\
|Z_w| &= \sqrt{ \dfrac{X'_b}{B'_b} } = \sqrt{ \dfrac{L'_b}{C'_b} }
\end{align*}
Richtwerte:
$Z_w \approx 400\: \ohm \qquad \beta = 0,06\frac{\degree}{km}$\\
\item[] \textbf{natürliche Leistung, Blindleistungsverluste}
- gilt bei Leitung ohne Verlusten, DS-System\\
- natürlicher Betrieb bei $Q_L = Q_C$
\begin{align*}
I_{nat} &= \frac{U_{LE}}{\sqrt{X_L/B_L}} = \frac{U_{LE}}{Z_w} \neq f(l)\\
P_{nat} &= 3 \cdot U_{LE} \cdot I_{nat} = \frac{U^2_{LL}}{Z_w} = \frac{3 \cdot U_{LE}}{Z_w}\\
Q_L &= 3 \cdot X_L \cdot I_L^2 \qquad Q_C = 3 \cdot B_L \cdot U^2_{LE}\\
\frac{Q_V}{Q_C} &= \left(\frac{S_u}{P_{nat}} \right)^2-1\\
Q_v &= Q_1 - Q_2 = Q_L - Q_C = Q_C \cdot (\frac{Q_L}{Q_C}-1)\\
S_v &= S_1 - S_2 = P_v + j Q_v\\
S_u &= 3 \cdot U_{LE} \cdot I_L = \sqrt{3} \cdot U_{LL} \cdot I_L
\end{align*}
\indent $Q_v:$ Blindleistungsverluste\\
\indent $S_u:$ Übertragungsscheinleistung
\subsection{Ersatzschaltbilder (ESB)}
\textbf{Kenngrößen}\\
\begin{tabular}[h]{c|c|c}
& Längszweig & Querzweig $\parallel$ \\
\hline
Wirk & $R_L = R'_b \cdot l$ & $G_L= G'_b \cdot l$\\
Blind & $X_L = X'_b \cdot l$ & $B_L = B'_b \cdot l$\\
% Blind & $X_L = X'_b \cdot l$ & $B_L = B_'b \cdot l$\\
\end{tabular}\\
$R_L$: Resistanz \qquad $X_L$: Reaktanz\\
$B_L$: Suszeptanz \qquad $G_L$: Konduktanz\\
$R_L, X_L$ in Reihen-, $B_L, G_L$ in Parallelschaltung\\
Index $1/\ul{2}$: Größe am Anfang/\ul{Ende} der Leitung ($U_{LE}$!!)\\
Index $L$: Größen bezogen auf Leitung\\
$dU$: Spannung am Längszweig\\
\newpage
\item[] \textbf{MS-/NS-Leitungen mit Verlusten}\\
$I_G, I_C<< I_L \Rightarrow G'_b = B'_b = 0$
\begin{align*}
\ul{I_1} &= \ul{I}_L = \ul{I}_2 \qquad
\ul{U}_1 = d \ul{U} + \ul{U}_2\\
d \ul{U} &= (R_L + jX_L) \cdot \ul{I}_L = (R'_b +jX'_b) \cdot l \cdot \ul{I}_L\\
\ul{Z}_L &= R_L +jX_L \qquad \varphi_Z =\arctan \frac{X_L}{R_L} = \arctan \frac{X'_b}{R'_b}
\end{align*}
\item[] \textbf{\ul{Kurze} HS-/HöS-DS-Freileitungen}
$U_{LL}$ > 100 kV für $l\leq$ 220 km\\
\ul{ohne Verluste:} ($R'_b = G'_b = 0$)
\begin{align*}
B'_1 &= B'_2 = \frac{B'_b}{2} \qquad
\ul{I}_{C1/2} = j \: B_{1/2} \cdot \ul{U}_{1/2}\\
\ul{I}_1 &= \ul{I}_{C1} + \ul{I}_L \qquad \ul{I}_L = \ul{I}_{C2} + \ul{I}_2
% \ul{U}_1 = d\ul{U} + \ul{U}_2 = (R_L + jX_L) \cdot \ul{I}_L + \ul{U}_2\\
\end{align*}
\textit{bei Leerlauf:} $\ul{I}_2 = 0 \rightarrow \ul{I}_{C2} = \ul{I}_L$
\begin{align*}
\ul{U}_1 &= (1 - \frac{X_L\cdot B_L}{2}) \cdot \ul{U}_2\\
\ul{I}_1 &= \ul{I}_2 + j \: 0.5 \cdot B_L \cdot ( \ul{U}_1 + \ul{U}_2)\\
Q_1 &= 3\cdot U_1 \cdot I_1
\end{align*}
$\ul{I}_1$: Ladestrom \qquad
$Q_1:$ Ladeleistung\\
\textit{bei Betrieb mit natürlicher Leistung}: $R_2 = Z_w = \ul{Z}_2$
\begin{align*}
S_1 = S_2 &= P_1 = P_2 = P_{nat} \quad
|\ul{U}_1| = |\ul{U}_2| \quad |I_1| = |I_2|\\
\ul{U}_1 &= \ul{U}_2 \cdot(1-\frac{1}{2} \cdot B_L \cdot X_L + j\: \frac{X_L}{Z_w})\\
\ul{I}_1 &= \frac{\ul{U}_2}{Z_w}+j\: \frac{B_L}{2}\cdot (\ul{U}_1 + \ul{U}_2)\\
\ul{I}_L &= \frac{\ul{U}_2}{Z_w}+j\: \frac{B_L}{2}\cdot \ul{U}_2\\
\end{align*}
\item[] \textbf{\ul{Lange} HS-/HöS-DS-Freileitungen}
$U_{LL}$ > 100 kV für $l>$ 220 km\\
\ul{ohne Verluste} ($R'_b = G'_b = 0$)
\begin{align*}
\ul{U}_1 &= \ul{U}_2 \cdot \cos(\beta l) + j \cdot \ul{I}_2 \cdot Z_w \cdot \sin (\beta l)\\
\ul{I}_1 &= \ul{I}_2 \cdot \cos(\beta l) + j \cdot \frac{\ul{U}_2}{Z_w} \cdot \sin (\beta l)
\end{align*}
\textit{bei Leerlauf:} $\ul{I}_2 = 0$, $\ul{Z}_2 \rightarrow \infty$\\
\textit{bei Betrieb mit natürlicher Leistung:} $\varphi = \beta l$ $[\frac{\degree}{km} \cdot km = \degree]$
\begin{align*}
\ul{U}_1 &= |\ul{U}_2| \cdot e^{j\varphi} \qquad
\ul{I}_1 = |\ul{I}_2| \cdot e^{j\varphi}\\
\ul{S}_1 &= \ul{S}_2 = \frac{3 \cdot U_{2,LE}^2}{Z_w} = P_{nat}
\end{align*}
\ul{mit Verlusten}
\begin{align*}
\ul{U}_1 &= \ul{U}_2 \cdot \cosh(\ul{\gamma} l) + \ul{I}_2 \cdot \ul{Z}_w \cdot \sinh(\ul{\gamma} l)\\
\ul{I}_1 &= \ul{I}_2 \cdot \cosh(\ul{\gamma} l) + \frac{\ul{U}_2}{\ul{Z}_w}\cdot \sinh(\ul{\gamma} l)
\end{align*}
Nicht direkt mit komplexen Modus des TR einsetzbar!\\
\ul{Lösung:} $\alpha \cdot l $ und $ \beta \cdot l [\degree]$ einzeln berechnen, dann:
\begin{align*}
\cosh(\ul{\gamma}l) &= \frac{1}{2} \left[e^{\alpha l} \cdot e^{j\beta l} + e^{-\alpha l} \cdot e^{-j\beta l} \right]\\
\sinh (\ul{\gamma}l)&= \frac{1}{2} \left[e^{\alpha l} \cdot e^{j\beta l} - e^{-\alpha l} \cdot e^{-j\beta l} \right]
% \ul{U}_1 = \ul{U}_2 \cdot \frac{1}{2} \left[e^{\alpha l} \cdot e^{j\beta l} + e^{-\alpha l} \cdot e^{-j\beta l} \right]\\
% + \ul{I}_2 \cdot \ul{Z}_w \cdot \frac{1}{2} \left[e^{\alpha l} \cdot e^{j\beta l} - e^{-\alpha l} \cdot e^{-j\beta l} \right]\\
% \ul{I}_1 = \ul{I}_2 \cdot \frac{1}{2} \left[e^{\alpha l} \cdot e^{j\beta l} + e^{-\alpha l} \cdot e^{-j\beta l} \right]\\
% + \ul{I}_2 \cdot \ul{Z}_w \cdot \frac{1}{2} \left[e^{\alpha l} \cdot e^{j\beta l} - e^{-\alpha l} \cdot e^{-j\beta l} \right]\\
\end{align*}
$e^{\pm \alpha l }:$ Betrag \qquad $e^{\pm j\beta l}:$ Winkel ($\angle$ im TR)\\
\textbf{Wichtig}: Winkel von $\beta$ umrechnen für $\beta \cdot l$ !\\
\begin{equation*}
[\beta] = \frac{rad}{km} \Rightarrow \frac{180\degree}{\pi} \cdot \frac{1}{km} = \frac{\circ}{km}\\
\end{equation*}\\
\item[] \textbf{HS-/HöS-DS-Kabel}
$l>95km$: langes Kabel\\
$Q_V = Q_L - Q_C$ wie Freileitungen (FL), aber $Q_K > Q_{FL}$
\begin{align*}
S_{th}&= 3\cdot U_{LE}\cdot I_{Dauer}\\
P_{max}&= \sqrt{S^2_{th}-Q^2_V} = \sqrt{S^2_{th} - Q'^2_V \cdot l^2}\\
Q_V &= Q'_V \cdot l \qquad l_{max}= \frac{S_{th}}{Q'_v}
\end{align*}
$S_{th}$: thermisch, max. Scheinleistung\\
$P_{max}$: max. übertragbare Wirkleistung\\
$l_{max}$: max. Kabellänge, wenn $P_{max} = 0$
\end{itemize}