linear-algebra_vectors.md

sidebar_position
4

import Figure from '@components/Figure'

import Formula from '@components/Formula'

import Highlight from '@components/Highlight'

import useBaseUrl from '@docusaurus/useBaseUrl';

Вектори

Узагальнимо вивчені зі шкільного курсу геометрії дані про вектори. Відомо, що якщо на площині задана прямокутна декартова система координат, то кожна точка $P$ площини однозначно характеризується двома числами $(x, y)$ – координатами точки $P$.

Аналогічно кожній точці $P$ тривимірного простору (рис. 2) у заданій системі координат відповідає впорядкована трійка чисел $(x, y, z)$, яка називається координатами точки $P$.

При розв’язанні різних задач доводиться розглядати спрямований відрізок, тобто безліч точок, що лежать між точками $A$ і $B$ прямою зі вказаним напрямком

Напрямок такого відрізка прийнято визначати порядком задання точок $A$ і $B$: позначають через $\overrightarrow{AB}$ спрямований відрізок з початком $A$ і кінцем $B$, спрямований від початку $A$ і кінцю $B$. При цьому зручно не розрізняти між собою два будь-які спрямовані відрізки, якщо вони лежать на паралельних прямих, спрямованих в один бік і мають однакові довжини, оскільки вони як з фізичної, так і з геометричної точки зору позначають одне й те саме.

Вектором називають спрямований відрізок $\overrightarrow{AB}$. Позначають вектор так само, як і спрямований відрізок $\overrightarrow{AB}$ або однією малою літерою $\vec{a}$. Нульовим вектором називають вектор, у якого початок і кінець збігаються, позначення $\vec{0}$ або просто $0$.

Відстань між початком та кінцем вектора називається його довжиною (а також модулем вектора) і позначається $\lvert\overrightarrow{AB}\rvert$ або $|\vec{a}|$. Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним вектором.

Вектори називають колінеарними, якщо вони розташовані на одній прямій або на паралельних прямих.

Вектори називають компланарними, якщо існує площина, якій вони паралельні.

Два вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{OC}$ будемо називати рівними, якщо вони колінеарні, однаково спрямовані та мають рівні модулі. Якщо спрямований відрізок $\overrightarrow{AB}$ перенести паралельно самому собі, то, очевидно, вийде спрямований відрізок, рівний вихідному (рис. 3). Усякий спрямований відрізок $\overrightarrow{AB}$ можна перенести паралельно самому собі так, щоб його початок збігався з початком координат. Зрозуміло, що вектору $\overrightarrow{AB}$ відповідає один і тільки один спрямований відрізок $\overrightarrow{OC}$ з початком у початку координат.

Координатами вектора $\overrightarrow{AB}$ називаються три числа $(x, y, z)$ – координати точки $C$. Вектор з координатами $(x, y, z)$ прийнято позначати $\overrightarrow{AB}=(x, y, z)$. При цьому числа $(x, y, z)$ називають проєкціями вектора на відповідній осі координат.

Очевидно, що якщо $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}=(x, y, z)$, то його модуль знаходиться за формулою

$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{OC}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Напрямок вектора визначається кутами, які він складає з позитивними напрямками відповідних осей: з віссю $Ox$ – $\angle\alpha$, з $Oy$ – $\angle\beta$ , з $Oz$ – $\angle\gamma$ . Косинуси цих кутів називають напрямними косинусами вектора.

Приклад 1

Заданий двовимірний вектор $\vec{a}=(x, y)$. Знайти кути, утворені цим вектором з позитивним напрямком відповідних осей координат і встановити залежність між напрямними косинусами цього вектора.

Розв’язання

Знаходимо модуль вектора $\overrightarrow{OC}=\vec{a}$

$|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$

З $\triangle CNO$ і $\triangle CMO$ (рис. 7) відповідно знаходимо

$\cos\alpha = \cfrac{x}{|\vec{a}|}$ $\cos\beta = \cfrac{y}{|\vec{a}|}$

Тоді

$\cos^2\alpha + \cos^2\beta = \left(\cfrac{x}{|\vec{a}|}\right)^2 + \left(\cfrac{y}{|\vec{a}|}\right)^2 = \cfrac{x^2 + y^2}{|\vec{a}|^2}$

і таким чином залежність між напрямними косинусами двовимірного вектора запишеться

$\cos^2\alpha + \cos^2\beta = 1$

У випадку тривимірного вектора ця залежність має вигляд

$\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$

Якщо точка $A$ має координати $(x_1, y_1, z_1)$, а точка $B$ координати $(x_2, y_2, z_2)$, то вектор $\overrightarrow{AB}$ має координати $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ (див. рис.8).

Сумою векторів $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CD}$ називається третій вектор $\overrightarrow{AD}$, який отримується за правилом трикутника: вектори, що додаються, переносяться паралельно самим собі так, щоб початок другого вектора збігся з кінцем першого; тоді спрямований відрізок, що з'єднує початок першого вектора з кінцем другого, і є $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$.

З визначення дії додавання випливає, що:

1. $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ (властивість переміщення);
2. $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$ (властивість сполучності).

Для кожного вектора $\vec{a}=\overrightarrow{OA}$ існує протилежний вектор $-\vec{a}=\overrightarrow{OA'}$, який має таку саму довжину, але протилежний напрямок. Очевидно, що $\vec{a} + (-\vec{a})=0$, де $0$ — нуль-вектор.

З визначення суми векторів випливає правило паралелограма для складання двох векторів – сума двох векторів $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ і $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$, зведених до спільного початку $0$, являє собою діагональ паралелограма $OACB$, побудованого на векторах, що додаються.

Аналогічно визначається сума кількох векторів $\vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3},...,\vec{a_n}$ . Будуються вектори $\vec{a_1}'=\vec{a_1},\vec{a_2}'=\vec{a_2},...,\vec{a_n}'=\vec{a_n}$ так, щоб початок вектора $\vec{a_2}'$ збігся з кінцем вектора $\vec{a_1}'$ і так далі, початок вектора $\vec{a_n}'$ збігався з кінцем вектора $\vec{a}_{n-1}'$. Тоді вектор $\vec{S}$, початок якого збігається з початком вектора $\vec{a_1}'$, а кінець з кінцем вектора $\vec{a_n}'$ будемо називати сумою векторів $\vec{a_1}',\vec{a_2}',\vec{a_3}',...,\vec{a_n}'$.

Віднімання векторів визначається як операція, зворотна до додавання. Різницею векторів $\vec{a}$ і $\vec{b}$ називається вектор $\vec{a} – \vec{b}$, який у сумі з вектором $\vec{b}$ дає вектор $\vec{a}$. У паралелограмі, побудованому на даних векторах $\vec{a}$ і $\vec{b}$ їх різницею є відповідно спрямована друга діагональ паралелограма.

Для будь-яких векторів $\vec{a}$ і $\vec{b}$ справедлива нерівність трикутника

$|\vec{a}+\vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$

Вона виходить із того, що сума двох сторін трикутника більше третьої сторони (рис. 14).

Добутком вектора $\vec{a}$ на число $k$ називається вектор $k\vec{a}$, модуль якого рівний добутку модуля вектора $\vec{a}$ на модуль числа $k$, а напрямок збігається з напрямком вектора $\vec{a}$, якщо $k>0$, і протилежно напрямку вектора $\vec{a}$, якщо $k<0$. При $k=0$ або $\vec{a}=0$ рахують $k\vec{a}=0$.

Якщо вектори $\vec{a}$ і $\vec{b}$ колінеарні і не рівні нулю, то $\vec{a}=k\vec{b}$, $\vec{b}=\cfrac{1}{k}\vec{a}$.

Ця операція має властивості:

1. $\lambda(\mu\vec{a}) = (\lambda\mu)\vec{a}$ (сполучність);
2. $(\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{a}$ (розподільність відносно чисел);
3. $\lambda(\vec{a} + \vec{b}) = \lambda\vec{a} + \lambda\vec{b}$ (розподільність відносно векторів).

Проєкцією точки $A$ на вісь $l$ називається основа $A'$ перпендикуляра $AA'$, опущеного з точки $A$ на цю вісь.

Під компонентою (складовою) вектора $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$ відносно осі $l$ (рис. 16) розуміється вектор $\vec{a'}=\overrightarrow{A'B'}$, початок якого є $A'$ проєкція на вісь $l$ початку вектора $\vec{a}$, а кінець якого $B'$ є проєкція на вісь $l$ кінця $B$ цього вектора.

Під проєкцією вектора $\vec{a}$ на вісь $l$ розуміється скаляр $a_1=\pm|\overrightarrow{A'B'}|$, рівний модулю його компоненти $\vec{a'}$ відносно осі $l$, взятої зі знаком плюс, якщо напрямок компоненти збігається з напрямком осі $l$, і зі знаком мінус, якщо напрямок компоненти протилежний напрямку осі $l$. Зауважимо, що якщо $\vec{e}$ – одиничний вектор осі $l$, то для компоненти $\vec{a'}$ справедлива рівність

$\vec{a'}=a_1\vec{e}$

Нехай вектор $\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)$ заданий своїми проєкціями на осі координат $O_x,O_y,O_z$.

Побудуємо паралелепіпед (рис. 17), діагоналлю якого є вектор $\vec{a}$, а ребрами слугують його компоненти $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, $\vec{a_3}$ відносно координатних осей. Маємо розкладання

$\vec{a}=\vec{a_1}+\vec{a_2}+\vec{a_3}$

Якщо ввести одиничні вектори $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ спрямовані по осях координат, то на основі $\vec{a'}=a_1\vec{e}$ будемо мати

$\vec{a_1}=a_x\vec{i}$, $\vec{a_2}=a_y\vec{j}$, $\vec{a_3}=a_z\vec{k}$.

Підставляючи ці вирази в рівність (1), отримуємо координатну форму вектора

$\vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}$

Якщо $\vec{b}=(b_x,b_y,b_z)$, то аналогічно

$\vec{b}=b_x\vec{i} + b_y\vec{j} + b_z\vec{k}$

Тепер розглянуті вище лінійні операції над векторами можна записати в координатній формі:

$\lambda\vec{a}=\lambda a_x\vec{i} + \lambda a_y\vec{j} + \lambda a_z\vec{k}$

або

$\lambda\vec{a}=(\lambda a_x, \lambda a_y, \lambda a_z)$

тобто при множенні вектора на скаляр координати вектора множаться на цей скаляр;

$\vec{a}\pm\vec{b}=(a_x \pm b_x)\vec{i} + (a_y \pm b_y)\vec{j} + (a_z \pm b_z)\vec{k}$

або

$\vec{a}\pm\vec{b}=(a_x \pm b_x, a_y \pm b_y, a_z \pm b_z)$

тобто при додаванні (або відніманні) векторів їх однойменні координати додаються (або віднімаються).