From eda0bf85d26e16800cfef45f1f947962afca746f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Gerardo Jose Suarez Date: Wed, 16 Jun 2021 22:07:07 +0200 Subject: [PATCH] Update documentation --- _sources/capitulo1.md | 4 --- capitulo1.html | 57 ++++++++++++------------------------------- searchindex.js | 2 +- 3 files changed, 17 insertions(+), 46 deletions(-) diff --git a/_sources/capitulo1.md b/_sources/capitulo1.md index d7af13f..f76377c 100755 --- a/_sources/capitulo1.md +++ b/_sources/capitulo1.md @@ -99,11 +99,7 @@ Un tensor es una serie de números denotados con $N$ índices, donde $N$ es lo q La manera en la que se suele tratar con los tensores en física y matemática, es mediante lo que se conoce como notación indicial y el convenio de suma de Einstein, las cuales introduciremos en la próxima sección -<<<<<<< HEAD ### Representacion gráfica de redes tensoriales -======= -## Representación gráfica de redes tensoriales ->>>>>>> ab3240fc3d5a0e570b63d074e8d67108b12d434e Utilizamos una notación de diagramas para los tensores, donde cada tensor es dibujado como una figura sólida con un número de conexiones correspondientes a su orden. A continuación mostramos unos ejemplos: diff --git a/capitulo1.html b/capitulo1.html index 8c4e812..f94944f 100755 --- a/capitulo1.html +++ b/capitulo1.html @@ -231,19 +231,14 @@

Introduccion a las Redes tensoriales

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  • - - 1.3. Representación gráfica de redes tensoriales - -
  • - 1.4. Redes tensoriales para sistemas cuánticos de muchos cuerpos + 1.3. Redes tensoriales para sistemas cuánticos de muchos cuerpos @@ -267,9 +262,9 @@

    1. Capítulo 1

    1.1. Introducción

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    Las redes tensoriales son un concepto relativamente joven que tiene su origen en la notación gráfica de Penrose, la cual comenzó a aplicarse en problemas prácticos en 1971 [Pen71]. Sin embargo, permaneció fuera de los temas populares en ciencia hasta que Deutsch uso la notación diagramática proveniente de ella, para formular lo que llamó redes computacionales cuánticas que se conocen hoy en día como circuitos cuánticos [Deu89]. ¡Así es! Los circuitos que generas en Qiskit son un caso especial de redes tensoriales. Un dato curioso es que mientras que el modelo que se popularizó es el de Deustsch, Feynman había formulado otro modelo diagramático relacionado con este un poco antes [Fey86]. Sin embargo, incluso después de ello no se habló mucho de redes tensoriales.

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    Las redes tensoriales son un concepto relativamente joven que tiene su origen en la notación gráfica de Penrose, la cual comenzó a aplicarse en problemas prácticos en 1971 [Pen71]. Sin embargo, permaneció fuera de los temas populares en ciencia hasta que Deutsch uso la notación diagramática proveniente de ella, para formular lo que llamó redes computacionales cuánticas que se conocen hoy en día como circuitos cuánticos [Deu89]. ¡Así es! Los circuitos que generas en Qiskit son un caso especial de redes tensoriales. Un dato curioso es que mientras que el modelo que se popularizó es el de Deustsch, Feynman había formulado otro modelo diagramático relacionado con este un poco antes [Fey86]. Sin embargo, incluso después de ello no se habló mucho de redes tensoriales.

    El interés resurge gracias al uso de la teoría de redes tensoriales para cálculos numéricos con el nacimiento de algoritmos como MPS, TT, TTN, MERA y PEPS. Varios de ellos tienen su origen en materia condensada y se pensaron para resolver problemas en mecánica cuántica, un poco inspirados en el grupo de renormalización de la matriz densidad. Sin embargo, estas técnicas numéricas también han encontrado aplicaciones en machine learning, debido a que, al igual que en materia condensada, los problemas numéricos son de alta dimensión, incluso llevando a empresas como Google a invertir en la investigación de estos temas y el desarrollo de librerías para el cálculo numérico de estas técnicas como TensorNetwork.

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    Una red tensorial es un arreglo contable de tensores conectados por contracciones (suma de índices) entre ellos, y no solo han ayudado en la comprensión teórica de las funciones de onda cuántica, sino que también forman la base de muchos potentes enfoques de simulación numérica. Entonces… ¿de qué trata este libro? El escrito a continuación trata de lo que se suelen llamar “métodos de redes tensoriales” que es el conjunto de herramientas asociadas al cálculo y simplificación de redes tensoriales. Estos métodos además de ser usados en las areas ya mencionadas de física de la materia condensada [Eis13] y machine learning [NPOV15], también están presentes en información cuántica [PC20], open quantum systems [dPSchroderC+18], gravedad cuántica [COZ18] y muchas otras áreas de la ciencia.

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    Una red tensorial es un arreglo contable de tensores conectados por contracciones (suma de índices) entre ellos, y no solo han ayudado en la comprensión teórica de las funciones de onda cuántica, sino que también forman la base de muchos potentes enfoques de simulación numérica. Entonces… ¿de qué trata este libro? El escrito a continuación trata de lo que se suelen llamar “métodos de redes tensoriales” que es el conjunto de herramientas asociadas al cálculo y simplificación de redes tensoriales. Estos métodos además de ser usados en las areas ya mencionadas de física de la materia condensada [Eis13] y machine learning [NPOV15], también están presentes en información cuántica [PC20], open quantum systems [dPSchroderC+18], gravedad cuántica [COZ18] y muchas otras áreas de la ciencia.

    En este capítulo, introduciremos algunos de los conceptos básicos que son necesarios para entender lo que es una red tensorial, y como las técnicas de esta teoría pueden ser usadas en cálculos numéricos. Comenzaremos por lo primero que debemos entender, que es un tensor.

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    1.2. ¿Que es un Tensor?

    1.2.1. Representacion gráfica de redes tensoriales

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    1.3. Representación gráfica de redes tensoriales

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    ab3240fc3d5a0e570b63d074e8d67108b12d434e

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    Utilizamos una notación de diagramas para los tensores, donde cada tensor es dibujado como una figura sólida con un número de conexiones correspondientes a su orden. A continuación mostramos unos ejemplos:

    El Vector \(A_{i}\) se representa como:

    Un vector en su representación gráfica @@ -383,10 +357,11 @@

    1.3. Representación gráfica de redes t

    La teoría de redes tensoriales se enfoca en entender como esta representación funciona y en que situaciones es más óptima utilizarla. En cambio, los algoritmos de redes tensoriales se enfocan en métodos para obtener , manipular y extraer información de estas representaciones.

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    1.4. Redes tensoriales para sistemas cuánticos de muchos cuerpos

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    1.3. Redes tensoriales para sistemas cuánticos de muchos cuerpos

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    1.4.1. Redes Tensoriales MPS

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    1.3.1. Redes Tensoriales MPS

    También conocidas como Tensor Train (TT), las redes tensoriales Matrix Product State son una manera de representar un tensor de rango-\(N\) como una cadena de tensores de rango-\(3\). Esta representación es el objetivo de muchos algoritmos debido a que provee una buena aproximación de las redes tensoriales y es más eficiente computacionalmente.

    Ejecución de MPS como un recorte del Tensor objetivo en tensores más pequeños

    Viendo está imagen puede ser difícil imaginarnos de donde viene dicha eficiencia, pero vayamos más a fondo. Recordemos que el estado cuántico \(|\psi\rangle=\sum_{ij\dots k}\psi_{ij\dots k}|u_{ij\dots k}\rangle\) requiere de \(2^n\) coeficientes independientes para ser descrito completamente, es decir, crece exponencialmente con el tamaño de n. Con MPS queremos poder describir al estado cómo:

    @@ -396,29 +371,29 @@

    1.4.1. Redes Tensoriales MPS\(T\) para obtener las matrices que cumplen \(T=U\Sigma V\), donde \(U\) y \(V\) son unitarios y \(\Sigma\) es real, diagonal y no-negativa.

    Si volvemos al ejemplo de la imagen, podemos notar que los tensores de los extremos solo tienen dos conexiones, por lo que el producto va a dar como resultado un escalar entonces la traza no es necesaria. Y su ecuación tendria la forma: $\(|\psi\rangle = \sum_{ijkl}A_{i}^{[1]}A_{j}^{[2]}A_{k}^{[3]}A_{l}^{[4]}|u_{ij\dots k}\rangle\)$

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    COZ18
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    COZ18

    Goffredo Chirco, Daniele Oriti, and Mingyi Zhang. Group field theory and tensor networks: towards a ryu–takayanagi formula in full quantum gravity. Classical and Quantum Gravity, 35(11):115011, may 2018. URL: https://doi.org/10.1088/1361-6382/aabf55, doi:10.1088/1361-6382/aabf55.

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    dPSchroderC+18
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    dPSchroderC+18

    Javier del Pino, Florian A. Y. N. Schröder, Alex W. Chin, Johannes Feist, and Francisco J. Garcia-Vidal. Tensor network simulation of non-markovian dynamics in organic polaritons. Phys. Rev. Lett., 121:227401, Nov 2018. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.121.227401, doi:10.1103/PhysRevLett.121.227401.

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    Deu89
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    Deu89

    David Elieser Deutsch. Quantum computational networks. Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences, 425(1868):73–90, September 1989. URL: https://doi.org/10.1098/rspa.1989.0099, doi:10.1098/rspa.1989.0099.

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    Eis13
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    Eis13

    J. Eisert. Entanglement and tensor network states. Modeling and Simulation 3, 520 (2013), 2013. arXiv:arXiv:1308.3318.

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    Fey86
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    Fey86

    Richard Feynman. Quantum mechanical computers. Foundations of Physics, 16(6):507–531, June 1986. URL: https://doi.org/10.1007/bf01886518, doi:10.1007/bf01886518.

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    NPOV15
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    NPOV15

    Alexander Novikov, Dmitrii Podoprikhin, Anton Osokin, and Dmitry P Vetrov. Tensorizing neural networks. In C. Cortes, N. Lawrence, D. Lee, M. Sugiyama, and R. Garnett, editors, Advances in Neural Information Processing Systems, volume 28. Curran Associates, Inc., 2015. URL: https://proceedings.neurips.cc/paper/2015/file/6855456e2fe46a9d49d3d3af4f57443d-Paper.pdf.

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    Pen71
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    Pen71

    Roger Penrose. Applications of negative dimensional tensors. Academic Press, 1971.

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    PC20
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    PC20

    Lorenzo Piroli and J. Ignacio Cirac. Quantum cellular automata, tensor networks, and area laws. Phys. Rev. Lett., 125:190402, Nov 2020. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.125.190402, doi:10.1103/PhysRevLett.125.190402.

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