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微分方程：猜根是怎样炼成的 |
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高中, 数学, 物理, 微分方程, 计算, lovexyn0827 |
在高中物理中，我们经常会对一些运动规律确定，但却难以定量分析的过程进行分析，这有时会显得相当困难，甚至可能容易得到错误的结果。这时，我们可以引入一个新的工具：微分方程。 |
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在高中物理中，我们经常会对一些运动规律确定，但却难以定量分析的过程进行分析，这有时会显得相当困难，甚至可能容易得到错误的结果。这时，我们可以引入一个新的工具：微分方程。
在数学层面，微分方程描述了一个函数与其各阶导数（积分）的关系；反映到物理层面，微分方程也准确地体现了复杂的物理变化当中各个物理量间的定量关系。借助它，我们可以得出物理过程中我们所需的物理量随时间的变化关系，使其一目了然。
本文是专门面向高中生的一个微分方程入门教程，以自己在高中时“猜根”的经历为线索，以简单的微分方程和实际的物理问题为载体，讲解了高中阶段用到的微分方程的各个方面。作为高中生，应着重学习一阶、二阶线性微分方程的求解方法与相应的求根公式和求解思想，以及微分方程组的基本解法。
从高二上学期到高考前夕，我曾独立地摸索出来了一套求解一些在高中物理中常见的简单微分方程（组）的方法，虽适用范围相对有限，但还是足以应付高中阶段出现的大部分微分方程。与此同时，在这样的学习当中，我们容易更真切地认识一个方法的根本来历，一点一点地理解它是如何在探索中逐渐地被丰富的，而不是像平时那样被动地接受知识的灌输。
当然，由于先前探索时笔者几乎未系统地学习过高等数学体系下微分方程的求解方法，写作过程中也没有参考借鉴求解微分方程的科学方法，所以这里的很多定义与计算过程可能会有失严谨，还望读者们多加指教。
此处所谓微分方程，是指由一个函数及其导数、自变量以及其他运算与常数组成的方程，一个例子是： $$ f'(x)=2f(x)+e^x $$ 与我们所常见的其他各种方程类似，微分方程也会有一系列的根，但不同的是，微分方程的解不是一个常数，而是一个函数。例如上面的方程的一个解是： $$ f(x)=xe^{2x} $$ 将函数代入其中不难验证其正确性： $$ f'(x)=e^{2x}+2xe^{2x}=2f(x)+e^{2x} $$
先给目录：
-1. 积分快速入门
- 梦开始的地方
- 入门
- 初识公式化方法
- 高阶微分方程
- 构造法的进一步认识与另外两类重要方程
- 非线性方程
- 微分方程组
- 同构思想
- 待定系数法
- 整活方法——数列通项法
- 太长不看
内容大致按笔者在高中时的摸索历程安排，部分内容为方便讲解对顺序作出了调整。
实际上自己高中时摸索到这些方法的顺序大致是0、1、5、6、2、3、4、7、9，甚至第8章的方法是否出现过就是一个问题。