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thrust2pwm_curve.md

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螺旋桨推力与转速的关系

螺旋桨推力thrust与转速pwm（假设转速正比于pwm）的关系为： $$ \begin{aligned} \text{thrust}&=k_1\times C_l \times \text{rpm}^2\ &=k_2\times C_l \times \text{pwm}^2 \end{aligned} $$ 其中，$C_l$表示升力系数，$\sqrt{\frac{k_2}{k_1}}$为电调输入pwm和转速rpm的正比系数。

但有的电调比如T-model可能会做pwm到推力的线性化

下面是经验公式，实际上不符合物理模型，但是能用：

pwm2thrust_curve

我们需要一个参数a来对直线和平方曲线进行混合，并根据真实值进行曲线拟合，得到最适合的a，但一般来说，0.65适合大部分情况。

即令转速为p，推力为t，则有 $$ t=(1-a)\cdot p+a\cdot p^2 $$ 现在我们想根据推力t来求转速p： $$ \begin{aligned} t&=(1-a)\cdot p+a\cdot p^2\ &=a(p^2+\frac{1-a}{a}p)\ &=a(p^2+2bp+b^2)-ab^2\quad \text{assum}\ b=\frac{1-a}{2a}\ &=a(p+b)^2-ab^2 \end{aligned} $$ 从而 $$ \begin{aligned} &t=a(p+b)^2-ab^2\ \Rightarrow&a(p+b)^2=t+ab^2\ \Rightarrow&p=\sqrt{\frac{t+ab^2}{a}}-b\ \Rightarrow&p=\sqrt{\frac{t+a(\frac{1-a}{2a})^2}{a}}-\frac{1-a}{2a}\ \Rightarrow&p=\sqrt{\frac{at+a^2(\frac{1-a}{2a})^2}{a^2}}-\frac{1-a}{2a}\ \Rightarrow&p=\sqrt{\frac{at+\frac{(1-a)^2}{4}}{a^2}}-\frac{1-a}{2a}\ \Rightarrow&p=\sqrt{\frac{4at+(1-a)^2}{4a^2}}-\frac{1-a}{2a}\ \Rightarrow&p=\frac{\sqrt{4at+(1-a)^2}}{2a}+\frac{a-1}{2a}\ \Rightarrow&p=\frac{a-1+\sqrt{(1-a)^2+4at}}{2a}\ \end{aligned} $$ 即

thrust2pwm_curve

上图的python代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
import math
import numpy as np

def apply_thrust_curve_and_volt_scaling(thrust, motors_thrust_curve_expo=0.65):
    motors_lift_max = 1.0
    a = (motors_thrust_curve_expo - 1.0) + math.sqrt((1.0 - motors_thrust_curve_expo)**2 + 4.0 * motors_thrust_curve_expo * thrust)
    b = 2.0 * motors_thrust_curve_expo
    throttle_ratio = a / b
    return throttle_ratio

thrust = np.linspace(0, 1, 1001)
throttle_ratio = [apply_thrust_curve_and_volt_scaling(i) for i in thrust]
sqrt_x = [math.sqrt(i) for i in thrust]

plt.figure()
plt.plot(thrust, sqrt_x, '--g', linewidth=3.0, label='$y=\sqrt{x}$')
plt.plot(thrust, thrust, '--b', linewidth=3.0, label='$y=x$')
LINE_NUM = 5
for i in range(LINE_NUM - 1):
    factor = (i + 1) / LINE_NUM
    thrust = np.linspace(0, 1, 1001)
    throttle_ratio = [apply_thrust_curve_and_volt_scaling(i, factor) for i in thrust]
    plt.plot(thrust, throttle_ratio, '--r')
plt.grid()
plt.xlabel("thrust")
plt.ylabel("throttle_ratio")
plt.title("$pwm=\sqrt{thrust}$")
plt.legend()  # plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

猜测：

电调电压和转速线性相关？回答：并不线性相关，而是转速和转速平方的加权和。

台架实验

使用实验台架测试

电调ECS实时输出PWM值，其范围是$1000us\leqslant \text{ECS} \leqslant 2000us$。

电调ECS输出对应螺旋桨产生的推力是Thrust​，单位为kgf，1kgf表示一公斤质量产生的重力，其实就是9.8N。

电调的实时电压为Voltage，其单位是V。

就只测这三个值，测一组数据（最好能达到100组数据），如下图所示（只列出5个）：

index PWM of ECS (us) Thrust (kgf) Voltage (V)
1 1000 0.196 21.72
2 1118 0.245 21.72
3 1512 0.915 21.68
4 1923 2.028 21.55
5 2000 2.254 21.52

在计算之前，设定一些阈值

参数 值 推出的参数 值
MOT_PWM_MIN 1000 Data Rows 76
MOT_PWM_MAX 2000 PWM at MOT_SPIN_MIN 1150
MOT_THST_EXPO 0.5 PWM at MOT_SPIN_MAX 1950
MOT_SPIN_ARM 0.1 Thrust at MOT_SPIN_MIN 0.271
MOT_SPIN_MIN 0.15 Thrust at MOT_SPIN_MAX(应当为scale) 1.881383512
MOT_SPIN_MAX 0.95

其中，左侧值是给定值，右侧值是根据左侧给定值和实验数据计算得到：

PWM at MOT_SPIN_MIN的值为 $$ \begin{aligned} &\text{PWM_at_MOT_SPIN_MIN}\ =&\text{PWM_MIN} + (\text{PWM_MIN}-\text{PWM_MIN})\cdot \text{SPIN_MIN}\ =&1000+(2000-1000)*0.15\ =&1150 \end{aligned} $$ PWM at MOT_SPIN_MAX的值为 $$ \begin{aligned} &\text{PWM_at_MOT_SPIN_MAX}\ =&\text{PWM_MIN} + (\text{PWM_MIN}-\text{PWM_MIN})\cdot \text{SPIN_MAX}\ =&1000+(2000-1000)*0.95\ =&1950 \end{aligned} $$ Thrust at MOT SPIN_MIN的值为

=INDEX(B12:B1000, MATCH(SMALL(A12:A1000, COUNTIF(A12:A1000, "<"&$G$5)+1), A12:A1000, 0), 1)

该值的含义是，当SPIN_MIN=0.15，即PWM at MOT_SPIN_MIN=1150时，对应的推力值为0.271kgf。

Thrust at MOT_SPIN_MAX的值为1.881383512

其含义是。。。这个值应该是写错了。

1

（1）Normalized Throttle为归一化后的油门，归一化的同时，考虑了压降，其定义为 $$ \begin{aligned} \text{throttle}{\text{norm}}&=\frac{V}{V{\text{max}}}max(0, \frac{\text{PWM}-\text{PWM}{\text{spin_min}}}{\text{PWM}{\text{spin_max}}-\text{PWM}_{\text{spin_min}}})\ &=\frac{21.68}{21.72}max(0, \frac{1555-1150}{1950-1150})\ &=0.9982\times 0.5063\ &=0.5053 \end{aligned} $$

（2）Normalized Thrust为由归一化后的油门计算得到的推力，其定义为 $$ \begin{aligned} \text{thrust}{\text{norm}}&=max((1-\text{EXPO})\cdot \text{throttle}{\text{norm}} + \text{EXPO}\cdot \text{throttle}_{\text{norm}}^2,0)\ &=(1-0.5)\times 0.5053 + 0.5\times 0.5053^2\ &=0.25265+0.12766\ &=0.3803 \end{aligned} $$ 注意，该变量不是测出来的推力值，而是根据油门值估算出的推力值。

（3）Rescaled Thrust为 $$ \begin{aligned} \text{thrust}{\text{rescaled}}&=\frac{\text{thrust}{\text{real-kgf}}-{\text{thrust}{\text{spin_min}}}}{\text{thrust}{\text{norm}}}\ &=\frac{1.039-0.271}{0.3803}\ &=2.0193 \end{aligned} $$ 这其实是，真实推力值和估算推力值的比值。

（4）Corrected Thrust为修正后的推力，其定义为 $$ \begin{aligned} \text{thrust}{\text{corrected}}&=\text{thrust}{\text{norm}}\cdot mean(\text{thrust}{\text{rescaled}}) + \text{thrust}{\text{spin_min}}\ &=\text{thrust}{\text{norm}}\cdot mean(\frac{\text{thrust}{\text{real-kgf}}-{\text{thrust}{\text{spin_min}}}}{\text{thrust}{\text{norm}}}) + \text{thrust}_{\text{spin_min}} \end{aligned} $$ 下面这个xlsx可以自动计算thrust_curve_expo值。

原版ArduPilot Motor Thrust Fit.xlsx

我改进的ArduPilot Motor Thrust Fit.xlsx

改进的点：

G7处改为了：

=INDEX(B12:B1000, MATCH(SMALL(A12:A1000, COUNTIF(A12:A1000, "<"&$G$5)+1), A12:A1000, 0), 1)

参考资料

这里作者讲了对thrust_curve_expo的理解。

这是调整飞机的一个极其重要的参数。大多数 ESC 的工作原理是指令输入与用于驱动电机的平均电压大致成正比。这导致每个螺旋桨的强烈非线性推力响应。我使用大约 100 个螺旋桨的测量值得出默认的 MOT_THST_EXPO 值 0.65。基本原则是道具越大价值越高。因此，对于普通 ESC，30" 螺旋桨将更接近 0.8，而 5" 螺旋桨将更接近 0.5。同轴螺旋桨似乎也更低，所以如果我没有测量推力特性，我对大多数同轴设计使用 0.5。

但是，某些 ESC 似乎会对命令输入进行补偿以尝试使推力值线性化。根据 ESC 和螺旋桨的不同，MOT_THST_EXPO 可以在 -0.3 到 0.5 之间变化。

另一个改变 MOT_THST_EXPO 值的参数是 MOT_SPIN_MIN 值。因此，如果您增加 MOT_SPIN_MIN，则需要减少完美的 MOT_THST_EXPO。

因此，正确定义此参数的唯一方法是测量推力曲线并计算 MOT_THST_EXPO。然而，对于大多数 ESC 和螺旋桨组合，默认值会很好地工作。

那么如何判断这个值是否错误呢？ 全油门时会出现振荡，或者在低油门时控制很差。 您发现如果不重新进行调整就无法更改飞机的起飞重量。

这两个都假设你在悬停时有一个近乎完美的曲调（我的意思是我对一个近乎完美的曲调的想法）。您还应该在 MOT_ 参数中设置电压补偿功能。

所以给你一些我调过的飞机的例子。我有悬停油门小于 15% 的飞机，在全油门下不会显示任何振荡迹象，在低油门设置下不会调整或妥协 PID。我的飞机起飞重量可以在 12.5 到 50 公斤之间变化，而无需调整 PID 值。

我希望这能回答你的问题。

下面这个xlsx可以自动计算thrust_curve_expo值。

ArduPilot Motor Thrust Fit.xlsx

这一章：推力曲线 / 大油门 PID 衰减(Throttle PID Attenuation) {#thrust_curve}

用 THR_MDL_FAC参数来调整推力曲线(推荐的方式)。 默认情况下的PWM - 推力 对应关系是线性的。 — 你可以把参数THR_MDL_FAC设为1来让这种关系变成二次的。 01之间的值表示线性和二次之间的一个插值。 这个参数一般在0.30.5之间，你可以每次增加0.1。 如果该参数太大，你可以看到低油门下的振荡现象。

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这个Issue详细分析了曲线的来由和电机动力学模型。