forked from vlsergey/infosec
-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
groups_of_ec_points_over_finite_fields.tex
274 lines (228 loc) · 17.7 KB
/
groups_of_ec_points_over_finite_fields.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
\section{Группа точек эллиптической кривой над полем}
\selectlanguage{russian}
\subsection{Группы точек на эллиптических кривых}
Эллиптическая кривая $E$ над полем вещественных чисел записывается в виде уравнения, связывающего координаты $x$ и $y$ точек кривой:
\begin{equation}
E: ~ y^{2} = x^{3} + ax + b,
\label{Wer}
\end{equation}
где $a,b \in \R$ -- вещественные числа. Эта форма представления эллиптической кривой называется формой Вейерштрасса.
На кривой определен инвариант
\begin{equation}
J(E)=1728\frac{4a^{3} }{4a^{3} +27b^{2} }
%\label{Inv}
\end{equation}
Пусть $x_{1} ,x_{2} ,x_{3} $ -- корни уравнения $x^3 + a x + b = 0$. Определим дискриминант $D$ в виде
\[ D =(x_1 - x_2)^2 (x_1 - x_3)^2 (x_2 - x_3)^2 = - (4 a^3 + 27 b^2) \].
Рассмотрим различные значения дискриминанта $D$ и соответствующие им кривые, которые представлены на рисунках \ref{fig:elliptic-curve-1}, \ref{fig:elliptic-curve-2}, \ref{fig:elliptic-curve-3}.
\begin{enumerate}
\item При $D>0$ график эллиптической кривой состоит из двух частей (см. рис. \ref{fig:elliptic-curve-1}). Прямая, проходящая через точки $P(x_1, y_1)$ и $Q(x_2, y_2)$, обязательно пересечет вторую часть кривой в точке с координатами $(x_3, \widetilde{y}_3)$, отображением которой является точка $R(x_3, y_3)$, где $y_3 = - \widetilde{y}_3$. Любые точки на кривой при $D>0$ являются элементами группы по сложению.
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{pic/elliptic-curve-1}
\caption{Эллиптическая кривая с дискриминантом $D>0$\label{fig:elliptic-curve-1}}
\end{figure}
\item Если $D=0$, то левая и правая части касаются в одной точке (см. рис. \ref{fig:elliptic-curve-2}). Эти кривые называются сингулярными и не рассматриваются.
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{pic/elliptic-curve-2}
\caption{Эллиптическая кривая с дискриминантом $D = 0$\label{fig:elliptic-curve-2}}
\end{figure}
\item Если $D<0$, то записанное выше уравнение \ref{Wer} описывает одну кривую, представленную на рис. \ref{fig:elliptic-curve-3}.
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{pic/elliptic-curve-3}
\caption{Эллиптическая кривая с дискриминантом $D < 0$\label{fig:elliptic-curve-3}}
\end{figure}
\end{enumerate}
Рассмотрим операцию сложения точек на эллиптической кривой при $D>0$ (другие кривые не расматриваются).
Пусть точки $P(x_1, y_1)$ и $Q(x_2, y_2)$ принадлежат эллиптической кривой (рис. \ref{fig:elliptic-curve-1}). Определим операцию сложения точек
\[ P + Q = R. \]
\begin{enumerate}
\item Eсли $P \neq Q$, то точка $R$ определяется как отображение (инвертированная $y$-координата) точки, полученной пересечением эллиптической кривой и прямой $PQ$. Совместно решая уравнения кривой и прямой, можно найти координаты точки пересечения. Точка $R = (x_3, y_3)$ равна:
\[ x_3 = \lambda^2 - x_1 - x_2, \]
\[ y_3 = - y_1 + \lambda (x_1 - x_3), \]
где
\[ \lambda = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
есть тангенс угла наклона между прямой, проходящей через точки $P$ и $Q$, и осью $x$.
Теперь рассмотрим специальные случаи.
\item Пусть точки совпадают: $P = Q$. Прямая $PQ$ превращается в касательную к кривой в точке $P$. Находим пересечение касательной с кривой, инвертируем $y$-координату полученной точки и это будет точка $P + P = R$. Тогда $\lambda$ -- тангенс угла между касательной, проведенной к эллиптической кривой в точке $P$, и осью $x$. Запишем уравнение касательной к эллиптической кривой в точке $(x,y)$ в виде
\[ 2 y y' = 3 x^2 + a. \]
Производная равна
\[ y' = \frac{3 x^2 + a}{2 y} \]
и
\[ \lambda = \frac{3 x_1^2 + a}{2 y_1}. \]
Координаты $R$ имеют прежний вид:
\[ x_3 = \lambda^2 - x_1 - x_2, \]
\[ y_3 = - y_1 + \lambda (x_1 - x_3), \]
\item Пусть $P$ и $Q$ -- противоположные точки, то есть $P=(x,y)$ и $Q=(x, -y)$. Введем еще одну точку на бесконечности и обозначим ее $O$ (точка $O$ или точка 0 <<ноль>>, или альтернативное обозначение $\infty$). Результатом сложения двух противоположных точек определим точку $O$. Точка $Q$ в данном случае обозначается как $-P$:
\[ P = (x,y), ~ -P = (x, -y), ~ P + (-P) = O. \]
\item Пусть $P = (x, 0)$ лежит на оси $x$, тогда
\[ -P = P, ~ P + P = O. \]
\end{enumerate}
Все точки эллиптической кривой, а также точка $O$ образуют коммутативную группу $\E(\R)$ относительно введенной операции сложения, то есть выполняются законы коммутативной группы\index{группа!точек эллиптической кривой}:
\begin{itemize}
\item сумма точек $P + Q$ лежит на эллиптической кривой;
\item существует нулевой элемент -- это точка $O$ на бесконечности:
\[ \forall P \in \E(\R): ~ O + P = P; \]
\item для любой точки $P$ существует единственный обратный элемент $-P$:
\[ P + (-P) = O; \]
\item выполняется ассоциативный закон:
\[ (P + Q) + F = P + (Q + F) = P + Q + F; \]
\item выполняется коммутативный закон:
\[ P + Q = Q + P. \]
\end{itemize}
Сложение точки с самой собой $d$ раз обозначим как умножение точки на число $d$:
\[ \underbrace{P + P + \ldots + P}_{d \text{ раз}} = d P. \]
\subsection{Эллиптические кривые над конечным полем}
Эллиптические кривые можно строить не только над полем рациональных чисел, но и над другими полями. То есть координатами точек могут выступать не только числа, принадлежащие полю рациональных чисел $\R$, но также полю комплексных чисел $\mathbb{C}$ или конечному полю $\F$. В криптографии нашли своё применение эллиптические кривые именно над конечными полями.
Далее будем рассматривать эллиптические кривые над конечным полем, являющимся кольцом вычетов по модулю нечётного простого числа $p$ (дискриминант не равен 0):
\[ E: ~ y^2 = x^3 + a x + b, \]
\[ a, b, x, y \in \Z_p, \]
\[ \Z_p = \{0, 1, 2, \ldots, p-1\},\]
Возможна также более компактная запись:
\[ E: ~ y^2 = x^3 + a x + b \mod p\]
Точкой эллиптической кривой является пара чисел
\[ (x,y): x, y \in \Z_p, \]
удовлетворяющая уравнению эллиптической кривой, определенной над конечным полем $\Z_p$.
Операцию сложения двух точек $P = (x_1, y_1)$ и $Q = (x_2, y_2)$ определим точно так же, как и в случае кривой над полем вещественных чисел, описанным выше.
\begin{enumerate}
\item Две точки $P = (x_1, y_1)$ и $Q = (x_2, y_2)$ эллиптической кривой, определенной над конечным полем $\Z_p$, складываются по правилу:
\[
P + Q = R \equiv (x_3, y_3),
\] \[
\left\{ \begin{array}{l}
x_3 = \lambda^2 - x_1 - x_2 \mod p,\\
y_3 = - y_1 + \lambda (x_1 - x_3) \mod p,\\
\end{array} \right.
\]
где
\[
\lambda = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \mod p, ~ \text{ если } P \ne Q, \\
\\
\frac{3 x_1^2 + a}{2 y_1} \mod p, ~ \text{ если } P = Q. \\
\end{array} \right.
\]
\item Сложение точки $P=(x,y)$ c противоположной точкой \\
$(-P) = (x,-y)$ дает точку в бесконечности $O$:
\[ P + (-P) = O, \]
\[ (x_1, y_1) + (x_1, -y_1) = O, \]
\[ (x_1, 0) + (x_1, 0) = O, \]
\end{enumerate}
Мы рассматриваем эллиптические кривые над конечным полем $\Z_p$, где $p > 3$ -- простое число, элементы $\Z_p$ -- целые числа $\{0, 1, 2, \ldots, p-1\}$, т.е. исследуем следующее уравнение двух переменных $x, y \in \Z_p$:
\[ y^2 = x^3 + a x + b \mod p, \]
где $a, b \in \Z_p$ -- некоторые константы.
Как и в случае выше, множество точек над конечным полем $\Z_p$, удовлетворяющих уравнению эллиптической кривой, вместе с точкой в бесконечности $O$ образуют конечную группу $\E(\Z_p)$ относительно описанного закона сложения:\index{группа!точек эллиптической кривой}
\[ \E(\Z_p) ~ \equiv~ O ~ \bigcup ~
\left\{ (x, y) \in \Z_p \times \Z_p ~\Big|~ y^2 = x^3 + a x + b \mod p \right\}. \]
По теореме Хассе\index{теорема!Хассе} порядок группы точек $|\E(\Z_p)|$ оценивается как
\[ (\sqrt{p}-1)^2 \leq |\E(\Z_p)| \leq (\sqrt{p}+1)^2, \]
или в другой записи
\[ \Big| |\E(\Z_p)| - p - 1 \Big| \le 2 \sqrt{p}. \]
\subsection{Примеры группы точек}
\subsubsection{Пример 1}
Пусть эллиптическая кривая задана уравнением
\[ E: ~ y^2 = x^3 + 1 \mod 7. \]
Найдем все решения этого уравнения, а также количество точек $|\E(\Z_p)|$ на этой эллиптической кривой. Для нахождения решений уравнения составим следующую таблицу:
\begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
$y^2$ & 1 & 2 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
\hline
$y_1$ & 1 & 3 & 3 & 0 & 3 & 0 & 0 \\
\hline
$y_2 = - y_1 \mod p$ & 6 & 4 & 4 & & 4 & & \\
\hline
\end{tabular} \end{center}
Выпишем все точки, принадлежащие данной эллиптической кривой $\E(\Z_p)$:
\[
\begin{array}{cccc}
P_1 = O, & P_2 = (0,1), & P_3 = (0,6), & P_4 = (1,3), \\
P_5 = (1,4), & P_6 = (2,3), & P_7 = (2,4), & P_8 = (3,0), \\
P_9 = (4,3), & P_{10} = (4,4), & P_{11} = (5,0), & P_{12} = (6,0). \\
\end{array}
\]
Получили
\[ |\E(\Z_p)| = 12. \]
Проверим выполнение неравенства Хассе:
\[ \left| 12 - 7 - 1 \right| = 4 < 2 \sqrt{7}. \]
Следовательно, неравенство Хассе выполняется.
Введем следующие определения:
\begin{itemize}
\item число $a$ называется квадратным вычетом, если уравнение $y^{2} =a \mod p$ имеет решение;
\item число $a$ называется квадратным невычетом, если уравнение $y^{2} =a \mod p$ не имеет решения;
\item минимальное число $s$ такое, что
\[ \underbrace{P + P + \ldots + P}_{s} \equiv s P = O \]
называется порядком точки P.
\end{itemize}
%Теорема Лагранжа определяет порядок подгруппы.
\subsubsection{Пример 2}
Группа точек эллиптической кривой
\[ y^2 = x^3 + 5 x + 6 \mod 17 \]
состоит из точек
\[ \begin{array}{ccccccc}
\E(\Z_p) & =~ \Big\{ & (-8, \pm 7), & (-7, \pm 6), & (-6, \pm 7), & & \\
& & (-5, \pm 3), & (-3, \pm 7), & (-1, 0), & O & \Big\}. \\
\end{array} \]
Порядок группы:
\[ |\E(\Z_p)| = 12. \]
Порядок группы точек по теореме Хассе:
\[ (\sqrt{p}-1)^2 \leq |\E(\Z_p)| \leq (\sqrt{p}+1)^2, \]
\[ 10 \leq 12 \leq 26. \]
Порядки возможных подгрупп: 2, 3, 4, 6 (все возможные делители порядка группы 12).
В табл. \ref{tab:ellipic-point-order-sample} найден порядок точки $P = (-8, 7)$ той же кривой
\[ y^2 = x^3 + 5 x + 6 \mod 17. \]
Проверяются только степени точки, равные всем делителям порядка группы 12: 2, 3, 4, 6. Найденный порядок точки $(-8,7)$ равен 12, следовательно, она -- генератор всей группы.
\begin{table}[h!]
\centering
\caption{Пример нахождения порядка точки\label{tab:ellipic-point-order-sample}}
\resizebox{\textwidth}{!}{ \begin{tabular}{|c|p{0.9\textwidth}|}
\hline
2 & $2 P = P + P = 2 \cdot (-8,7) = (-8,7) + (-8,7) = R$, \\
& $\lambda = \frac{3 x_P^2 + a}{2y_P} = \frac{3 \cdot (-8)^2 + 5}{2 \cdot 7} = 8 \mod 17$, \\
& $x_R = \lambda^2 - 2x_P = 8^2 - 2 \cdot (-8) = -5 \mod 17$, \\
& $y_R = \lambda (x_P - x_R) - y_P = 8 \cdot ((-8) - (-5)) - 7 = 3 \mod 17$, \\
& $R = 2P = (-5, 3)$ \\
\hline
3 & $3 P = 2 P + P = Q + P = R$, \\
& $Q = 2P = (-5, 3)$, \\
& $\lambda = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{3 - 7}{-5 - (-8)} = -7 \mod 17$, \\
& $x_R = \lambda^2 - x_P - x_Q = (-7)^2 - (-8) - (-5) = -6 \mod 17$, \\
& $y_R = \lambda (x_P - x_R) - y_P = -7 \cdot (-8 - (-6)) - 7 = 7 \mod 17$, \\
& $R = 3P = (-6, 7)$ \\
\hline
4 & $4 P = 2 \cdot (2 P) = 2 \cdot (-5,3) = (-3, -7)$ \\
\hline
6 & $6 P = 2 P + 4 P = (-5,3) + (-3, -7) = (-1, 0)$ \\
\hline
12 & $12 P = 2 \cdot (6 P) = 2 \cdot (-1, 0) = O$ \\
\hline
\end{tabular} }
\end{table}
В табл. \ref{tab:elliptic-group-sample} найдены порядки точек и циклические подгруппы группы точек $\E(\Z_p)$ такой же эллиптической кривой
\[ y^2 = x^3 + 5 x + 6 \mod 17. \]
Группа циклическая, число генераторов:
\[ \varphi(12) = 4. \]
Циклические подгруппы:
\[ \Gr^{(2)}, ~ \Gr^{(3)}, ~ \Gr^{(4)}, ~ \Gr^{(6)}, \]
верхний индекс обозначает порядок подгруппы.
\begin{table}[h!]
\centering
\caption{Генераторы и циклические подгруппы группы точек эллиптической кривой\label{tab:elliptic-group-sample}}
\resizebox{\textwidth}{!}{
\begin{tabular}{|c|l|c|}
\hline
Элемент & Порождаемая группа или подгруппа & Порядок \\
\hline
$(-8, \pm 7) $ & Вся группа $\E(\Z_p)$ & 12, генератор \\
$(-7, \pm 6) $ & Вся группа $\E(\Z_p)$ & 12, генератор \\
$(-6, \pm 7) $ & $\Gr^{(4)} ~=~ \big\{ ~ (-6, \pm 7), ~ (-1,0), ~ O ~ \big\}$ & 4 \\
$(-5, \pm 3) $ & $\Gr^{(6)} ~=~ \big\{ ~ (-5, \pm 3), ~ (-3, \pm 7), ~ (-1,0), ~ O ~ \big\}$ & 6 \\
$(-3, \pm 7) $ & $\Gr^{(3)} ~=~ \big\{ ~ (-3, \pm 7), ~ O ~ \big\}$ & 3\\
$(-1, 0) $ & $\Gr^{(2)} ~=~ \big\{ ~ (-1, 0), ~ O ~ \big\}$ & 2\\
\hline
\end{tabular}
}
\end{table}