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Representação de números reais

A representação de reais parte da notação científica de um número. Um número está em notação científica se estiver na forma:

± F x B^e, sendo B^e uma potência

Onde:

  • F é a fração (significando ou mantissa)
  • B é a base numérica da representação (radix)
  • e é o expoente (exponent)

Exemplo

  • 3.155.760 = 3,155760 x 10^6

Em binário, a representação é a mesma e os números à direita da vírgula são potências negativas de 2.

  • 5,5 = 101,1
    = 2^2 + 2^1 + 2^0 + 2^-1

Um número em notação científica pode ser:

  • Normalizado: quando a fração é maior ou igual a 1 e menor que a base

  • 2,34 x 10^2

0 ≤ F < B

  • Não-normalizado: quando a fração é menor que 1

Em binário, um número normalizado tem a forma:

± 1,xxxxxxx x 2^e, sendo x a mantissa e e o expoente

O padrão de representação de números reais adotado mais amplamente é o padrão IEEE 754, que admite dois formatos: precisão simples e dupla.

Precisão simples

Sinal Expoente Mantissa
1 bit 8 bits 23 bits

Total: 32 bits
Expoente: é um número com sinal no padrão excesso (não é complemento de dois!)
Fração (ou mantissa): é o que vem à direita do ponto binário (já que à esquerda é sempre 1)
A representação dos bits são dadas, em ordem, da esquerda para a direita.

Representação do expoente

  • x = 101,1 x 2^-6 => 1,011 x 2^-4
Sinal Expoente Mantissa
0 1111 1100 01100000000000000000000
  • y = 1,1 x 2^3 => 2^-1 x 2^4
Sinal Expoente Mantissa
0 0000 0011 10000000000000000000000
  • x > y
  • A discrepância é indesejável

Sinal por excesso

  • Por que o professor realizou a explicação através de desenho no quadro, deixarei este espaço em branco para mostrar que o conteúdo foi ministrado e que deve ser estudado. Em breve, terá uma explicação aqui.

Capacidade de representação

  • Os expoentes 0 e 255 são reservados

  • menor = 0 | 0000 | 0001 | 00000000000000000000000 = 2^-126

  • maior = 0 | 1111 | 1110 | 11111111111111111111111 = 2^127

Precisão dupla

Sinal Expoente Mantissa
1 bit 11 bits 20 + 32 = 52 bits
  • Total: 64 bits
  • Bias: 1023
  • Capacidade:
    • menor: 2^-1023
    • maior: 2^1024

Números especiais

Expoente Fração Descrição
0 0 zero
0 ≠ 0 ± número desnormalizado
1...254 qualquer ± número normalizado
1...2046 qualquer ± número normalizado
255/2047 0 ± infinito
255/2047 ≠ 0 Not a Number (NaN)
  • NaN: resultado de operações inválidas, como 0/0 ou ∞ - ∞