-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy pathmain.tex
376 lines (279 loc) · 15 KB
/
main.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[textwidth=17cm, top=0.4cm, bottom=1.4cm]{geometry} % для изменения размеров текста
\usepackage[english, russian]{babel} % для подключения русского языка
\usepackage[unicode, pdftex]{hyperref} % для гиперссылок
\usepackage{color} % для измнения цвета гиперссылок
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{tabularx} % для таблиц
\usepackage{multirow}
\usepackage[final]{graphicx} % для вставки картинок
\usepackage{framed} % обводка
\usepackage{amsmath} % матрицы
\hypersetup{
colorlinks=true, % цветные ссылки
linkcolor=blue, % цвет гиперссылок внутри документа
urlcolor=blue % цвет ссылок на ресурсы в сети
}
\title{Blocks}
\author{Виктор Пичугов}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage
\section{Предисловие}
В этом файлике я описываю примеры работы блоков, с которыми мне довелось поработать.
\section{CFAR Detector}
\subsection{Смысл блока CFAR Detector}
Желательный свойством детектора является способность поддерживать заданную среднюю вероятность ложной тревоги $\overline{P}_{FA}$ в присутствии гетерогенных (неоднородных) или изменяющихся помех. Детектор, обладающий этим свойством, называется детектором с постоянной частотой ложных тревог.
Детекторы CFAR оценивают статистику помех $\widehat{g}_{Method}$, полученную в результате измерений радаром, и регулируют порог детектора $T_{Method}$ (threshold) для поддержания постоянной частоты ложных срабатываний или, что эквивалентно, $\overline{P}_{FA} = const$.
\subsection{Архитектура CFAR Detector}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{Architecture.png}
\caption{Архитектура блока CFAR Detector}
%\label{fig:mpr}
\end{figure}
\subsection{Примечания}
Константа порогового значение $\alpha_{Method}$ вычисляется для белого Гауссовского шума.
В настоящее время мы можем рассчитать порог $T_{Method}$ только тогда, когда на вход поступают одиночные импульсы (single pulses), без интегрирования импульсов.
\subsection{Примеры расчета порогового коэффициента, статистики помех}
\subsubsection{CA - Cell Averaging}
Пример 1. X - Vector(M,)
Пусть:
\begin{itemize}
\item Number of guard cells - 0; (окружающие ячейки независимы)
\item Number of training cells - 2;
\item Threshold Factor Method - Auto;
\item Probability of false alarm ($\overline{P}_{FA}$) - 0.1;
\item Output Format - CUT result;
\end{itemize}
$$X = [\colorbox{Cerulean}{5.825}, \colorbox{Apricot}{5.925}, \colorbox{Cerulean}{12.22}, 6.2, 2.525, 7.855, 1.725], Idx = 2$$
Защитные ячейки не учавствуют в расчете, для вычисления оценки статистики $\widehat{g}_{CA}$, найдем среднее голубых ячеек:
$$ \widehat{g}_{CA} = mean(z) = \frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{2}z_{i} = \frac{5.825 + 12.22}{2} = 9.0225$$
Для вычисления константы порогового значения $\alpha_{CA}$ воспользуемся формулой:
$$ \alpha_{CA} = N \left[\overline{P}_{FA}^{-\frac{1}{N}} - 1\right] = 2 \left[0.1^{-0.5} - 1\right] = 4.324555320336758$$
Порог $T_{Method}$ во всех методах в Matlab расчитывается по фомуле:
$$ T_{Method} = \alpha_{Method}\cdot \widehat{g}_{Method} \Rightarrow $$
$$ T_{CA} = \alpha_{CA}\cdot \widehat{g}_{CA} = 4.324555320336758 \cdot 9.0225 = 39.018300377738406$$
\begin{framed}
$$ T_{CA} = \colorbox{Apricot}{39.018300377738406}$$
$$ \widehat{g}_{CA} = \colorbox{Apricot}{9.0225}$$
$$ Y = [5.925 > 39.018300377738406] = \colorbox{Apricot}{[0]}$$
\end{framed}
Пример 2. X - Matrix(M, N)
$$X =
\begin{bmatrix}
\colorbox{Cerulean}{6.99} & \colorbox{Cerulean}{7.09} & \colorbox{Cerulean}{6.354}\\
\colorbox{Apricot}{13.38} & \colorbox{Apricot}{7.365} & \colorbox{Apricot}{4.19}\\
\colorbox{Cerulean}{3.69} & \colorbox{Cerulean}{9.02} & \colorbox{Cerulean}{8.33}\\
2.89 & 7.855 & -2.79
\end{bmatrix}, Idx = 2
$$
$$ \widehat{g}_{CA} = \left[\frac{6.99 + 3.69}{2}, \frac{7.09 + 9.02}{2}, \frac{6.354 + 8.33}{2}\right] = [5.34, 8.055, 7.342]$$
$$ \alpha_{CA} = N \left[\overline{P}_{FA}^{-\frac{1}{N}} - 1\right] = 2 \left[0.1^{-0.5} - 1\right] = 4.324555320336758$$
$$ T_{CA} = \alpha_{CA}\cdot \widehat{g}_{CA} = broadcast(*, \alpha_{CA}, \widehat{g}_{CA})= [23.0931, 34.8343, 31.7509] $$
\begin{framed}
$$ T_{CA} = \colorbox{Apricot}{[23.0931, 34.8343, 31.7509]}$$
$$ \widehat{g}_{CA} = \colorbox{Apricot}{[5.34, 8.055, 7.342]}$$
$$ Y = [13.38 > 23.0931, 7.365 > 34.8343, 4.19 > 31.7509] = \colorbox{Apricot}{[0, 0, 0]}$$
\end{framed}
\subsubsection{GO - Greatest of Cell Averaging}
Пример 1. X - Vector(M,)
Пусть:
\begin{itemize}
\item Number of guard cells - 4;
\item Number of training cells - 4;
\item Threshold Factor Method - Auto;
\item Probability of false alarm ($\overline{P}_{FA}$) - 0.1;
\item Output Format - CUT result;
\end{itemize}
$$X =
\begin{bmatrix}
1.421\\
2.12\\
1.169\\
\colorbox{Cerulean}{1.607}\\
\colorbox{Cerulean}{1.235}\\
\colorbox{LimeGreen}{1.214}\\
\colorbox{LimeGreen}{1.641}\\
\colorbox{Apricot}{1.232}\\
\colorbox{LimeGreen}{2.067}\\
\colorbox{LimeGreen}{1.46}\\
\colorbox{Cerulean}{1.357}\\
\colorbox{Cerulean}{1.519}\\
1.332\\
1.357\\
1.534
\end{bmatrix}, Idx = 8
$$
$$ \widehat{g}_{GO} = \max(mean(\widehat{f}_{GO,lag}), mean(\widehat{f}_{GO,lead})) = \max(\widehat{f}_{GO,lag}, \widehat{f}_{GO,lead}) = \max\left(\frac{1}{\frac{N}{2}}\sum_{i = 1}^{\frac{N}{2}}z_{i},\frac{1}{\frac{N}{2}}\sum_{i = \frac{N}{2} + 1}^{N}z_{i}\right)$$
$$ \widehat{f}_{GO,lag} = \frac{1.607 + 1.235}{2} = 1.421$$
$$ \widehat{f}_{GO,lead} = \frac{1.357 + 1.519}{2} = 1.438$$
$$ \widehat{g}_{GO} = \max(1.421, 1.438) = 1.438 $$
$$ CAThreshold = N \left[\overline{P}_{FA}^{-\frac{1}{N}} - 1\right] = 4 \left[0.1^{-0.25} - 1\right] = 3.113117640155691$$
$$ \alpha_{GO} = |fzero(4, 0.1, |CAThreshold|, Rank=1)| = 2.341796132759153$$
$$ T_{GO} = \alpha_{GO}\cdot \widehat{g}_{GO} = 2.341796132759153 \cdot 1.438 = 3.367502838907662$$
\begin{framed}
$$ T_{GO} = \colorbox{Apricot}{3.367502838907662}$$
$$ \widehat{g}_{GO} = \colorbox{Apricot}{1.438}$$
$$ Y = [1.232 > 3.367502838907662] = \colorbox{Apricot}{[0]}$$
\end{framed}
\subsubsection{SO - Smallest of Cell Averaging}
Пример 1. X - Vector(M,)
\begin{itemize}
\item Number of guard cells - 4;
\item Number of training cells - 4;
\item Threshold Factor Method - Auto;
\item Probability of false alarm ($\overline{P}_{FA}$) - 0.1;
\item Output Format - CUT result;
\end{itemize}
$$X =
\begin{bmatrix}
1.421\\
2.12\\
1.169\\
1.607\\
\colorbox{Cerulean}{1.235}\\
\colorbox{Cerulean}{1.214}\\
\colorbox{LimeGreen}{1.641}\\
\colorbox{LimeGreen}{1.232}\\
\colorbox{Apricot}{2.067}\\
\colorbox{LimeGreen}{1.46}\\
\colorbox{LimeGreen}{1.357}\\
\colorbox{Cerulean}{1.519}\\
\colorbox{Cerulean}{1.332}\\
1.357\\
1.534
\end{bmatrix}, Idx = 9
$$
$$ \widehat{g}_{SO} = \min(mean(\widehat{f}_{SO,lag}), mean(\widehat{f}_{SO,lead})) =\min(\widehat{f}_{SO,lag}, \widehat{f}_{SO,lead}) = \min\left(\frac{1}{\frac{N}{2}}\sum_{i = 1}^{\frac{N}{2}}z_{i},\frac{1}{\frac{N}{2}}\sum_{i = \frac{N}{2} + 1}^{N}z_{i}\right)$$
$$ \widehat{f}_{SO,lag} = \frac{1.607 + 1.235}{2} = 1.2245$$
$$ \widehat{f}_{SO,lead} = \frac{1.357 + 1.519}{2} = 1.4255$$
$$ \widehat{g}_{SO} = \min(1.2245, 1.4381.4255) = 1.2245$$
$$ CAThreshold = N \left[\overline{P}_{FA}^{-\frac{1}{N}} - 1\right] = 4 \left[0.1^{-0.25} - 1\right] = 3.113117640155691$$
$$ \alpha_{SO} = |fzero(4, 0.1, |CAThreshold|, Rank=1)| = 6.509460338847331$$
$$ T_{SO} = \alpha_{SO}\cdot \widehat{g}_{SO} = 6.509460338847331 \cdot 1.2245 = 7.970834184918557$$
\begin{framed}
$$ T_{SO} = \colorbox{Apricot}{7.970834184918557}$$
$$ \widehat{g}_{GO} = \colorbox{Apricot}{1.2245}$$
$$ Y = [2.067 > 7.970834184918557] = \colorbox{Apricot}{0}$$
\end{framed}
\subsubsection{OS - Order Statistics}
Пример 1. X - Vector(M,)
\begin{itemize}
\item Rank 2;
\item Number of guard cells - 4;
\item Number of training cells - 4;
\item Threshold Factor Method - Auto;
\item Probability of false alarm ($\overline{P}_{FA}$) - 0.1;
\item Output Format - CUT result;
\end{itemize}
$$X =
\begin{bmatrix}
1.421\\
2.12\\
1.169\\
1.607\\
\colorbox{Cerulean}{1.235}\\
\colorbox{Cerulean}{1.214}\\
\colorbox{LimeGreen}{1.641}\\
\colorbox{LimeGreen}{1.232}\\
\colorbox{Apricot}{2.067}\\
\colorbox{LimeGreen}{1.46}\\
\colorbox{LimeGreen}{1.357}\\
\colorbox{Cerulean}{1.519}\\
\colorbox{Cerulean}{1.332}\\
1.357\\
1.534
\end{bmatrix}, Idx = 9
$$
$$ \widehat{g}_{OS} = sort(X) =
sort\begin{bmatrix}
\colorbox{Cerulean}{1.235}\\
\colorbox{Cerulean}{1.214}\\
\colorbox{Cerulean}{1.519}\\
\colorbox{Cerulean}{1.332}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\colorbox{Cerulean}{1.214}\\
\colorbox{Cerulean}{1.235}\\
\colorbox{Cerulean}{1.332}\\
\colorbox{Cerulean}{1.519}
\end{bmatrix}
, sort(X)[Rank] = sort(X)[2] = 1.235
$$
$$ T_{OS} = \alpha_{OS} \cdot \widehat{g}_{OS}$$
$$ CAThreshold = N \left[\overline{P}_{FA}^{-\frac{1}{N}} - 1\right] = 4 \left[0.1^{-0.25} - 1\right] = 3.113117640155691$$
$$ \alpha_{OS} = fzero(4, 0.1, CAThreshold, Rank=2) = 7.4688259109311740890688259109312 $$
$$ T_{OS} = 7.4688259109311740890688259109312 * 1.235 = 9.224 $$
\begin{framed}
$$ T_{OS} = \colorbox{Apricot}{9.224}$$
$$ \widehat{g}_{OS} = \colorbox{Apricot}{1.235}$$
$$ Y = [2.067 > 9.224] = \colorbox{Apricot}{0}$$
\end{framed}
\noindent\rule{\textwidth}{2pt}
\section{CFAR Detector 2D}
По сути, CFAR Detector 2D работает также, как и одномерный. Сейчас покажу в чем различия.
\subsection{CA - Cell Averaging}
Пример 1. X - Matrix(M, N, K)
\begin{itemize}
\item GuardBandSize - 0;
\item NumTrainingCells - [2, 1];
\item Threshold Factor Method - Auto;
\item Probability of false alarm ($\overline{P}_{FA}$) - 0.1;
\item Output Format - CUT result;
\end{itemize}
$$
Idx =
\begin{bmatrix}
3 & 3 & 3 & 3\\
2 & 3 & 4 & 5
\end{bmatrix}
$$
Вот тут надо по-медленее. У нас в распоряжении 4 элемента: $[3, 2], [3, 3], [3, 4], [3, 5]$. Теперь для каждого элемента из $Idx$ для каждой матрицы $X[:, :, i]$ рассчитывается статистики $\widehat{g}_{Method}$. Например, для элемента $[3, 2]$ получается такая картина. Не забываем, что область расчета для каждой ячейки $[1, 2]$.
$$X[:, :, 1] =
\begin{bmatrix}
\colorbox{Cerulean}{0.3405} & \colorbox{Cerulean}{0.4562} & \colorbox{Cerulean}{0.5847} & 0.8753 & 0.9131 & 0.3587\\
\colorbox{Cerulean}{0.3703} & \colorbox{Cerulean}{0.6264} & \colorbox{Cerulean}{0.5992} & 0.6108 & 0.8785 & 0.8746\\
\colorbox{Cerulean}{0.0927} & \colorbox{Apricot}{0.3006} & \colorbox{Cerulean}{0.9646} & 0.2729 & 0.081 & 0.9238\\
\colorbox{Cerulean}{0.5937} & \colorbox{Cerulean}{0.5477} & \colorbox{Cerulean}{0.7804} & 0.9249 & 0.7785 & 0.066\\
\colorbox{Cerulean}{0.9422} & \colorbox{Cerulean}{0.7789} & \colorbox{Cerulean}{0.4621} & 0.6751 & 0.9459 & 0.0758\\
0.9737 & 0.7881 & 0.4712 & 0.6059 & 0.1029 & 0.8549
\end{bmatrix},$$
$$
X[:, :, 2] =
\begin{bmatrix}
\colorbox{Cerulean}{0.9488} & \colorbox{Cerulean}{0.8312} & \colorbox{Cerulean}{0.833} & 0.902 & 0.0536 & 0.152\\
\colorbox{Cerulean}{0.4265} & \colorbox{Cerulean}{0.6524} & \colorbox{Cerulean}{0.399} & 0.3634 & 0.5333 & 0.3657\\
\colorbox{Cerulean}{0.1149} & \colorbox{Apricot}{0.4204} & \colorbox{Cerulean}{0.5529} & 0.604 & 0.9317 & 0.7697\\
\colorbox{Cerulean}{0.4929} & \colorbox{Cerulean}{0.0506} & \colorbox{Cerulean}{0.5763} & 0.3867 & 0.684 & 0.4179\\
\colorbox{Cerulean}{0.8446} & \colorbox{Cerulean}{0.6383} & \colorbox{Cerulean}{0.6795} & 0.5688 & 0.1191 & 0.3555\\
0.2888 & 0.9298 & 0.7851 & 0.7652 & 0.0636 & 0.0592
\end{bmatrix}
$$
$$ \widehat{g}_{CA} = mean(X) =
mean\begin{bmatrix}
\colorbox{Cerulean}{0.3405} & \colorbox{Cerulean}{0.4562} & \colorbox{Cerulean}{0.5847}\\
\colorbox{Cerulean}{0.3703} & \colorbox{Cerulean}{0.6264} & \colorbox{Cerulean}{0.5992}\\
\colorbox{Cerulean}{0.0927} & & \colorbox{Cerulean}{0.9646}\\
\colorbox{Cerulean}{0.5937} & \colorbox{Cerulean}{0.5477} & \colorbox{Cerulean}{0.7804}\\
\colorbox{Cerulean}{0.9422} & \colorbox{Cerulean}{0.7789} & \colorbox{Cerulean}{0.4621}\\
\end{bmatrix} = 0.5814
$$
$$ T_{CA} = \alpha_{CA} \cdot \widehat{g}_{CA}$$
$$ \alpha_{CA} = 2.502760887110222 $$
$$ T_{CA} = 0.5814 \cdot 2.502760887110222 = 1.4551051797658832$$
По аналогии остается рассчитать статистики для остальные элементов. Итого у нас получится матричка $[4, 2]$. Тоесть $4$ - это вторая размерность $Idx$ и $2$ это 3 размерность матрицы $X$.
\begin{framed}
$$ T_{CA} = \colorbox{Apricot}{1.4551051797658832}$$
$$ \widehat{g}_{CA} = \colorbox{Apricot}{0.5814}$$
$$ Y = [0.3006 > 1.4551051797658832] = \colorbox{Apricot}{0}$$
\end{framed}
\noindent\rule{\textwidth}{2pt}
\section{MVDR Spectrum}
\noindent\rule{\textwidth}{2pt}
\section{Beamscan Spectrum}
\noindent\rule{\textwidth}{2pt}
\section{Propagation delay}
\noindent\rule{\textwidth}{2pt}
\end{document}