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线性回归可以说是机器学习中最基本的问题类型了，这里就对线性回归的原理和算法做一个小结。

# 1. 线性回归的模型函数和损失函数

线性回归遇到的问题一般是这样的。我们有m个样本，每个样本对应于n维特征和一个结果输出，如下：

$$(x^{(0)}_1,x^{(0)}_2,...x^{(0)}_n,y_0),(x^{(1)}_1,x^{(1)}_2,...x^{(1)}_n,y_1),...(x^{(m)}_1,x^{(m)}_2,...x^{(m)}_n,y_n)$$

我们的问题是，对于一个新的$$x = y$$, 他所对应的$$y_x$$是多少呢？ 如果这个问题里面的y是连续的，则是一个回归问题，否则是一个分类问题。

对于n维特征的样本数据，如果我们决定使用线性回归，那么对应的模型是这样的：

$$h_\theta (x_1,x_2,...x_n)=\theta_0+\theta_1x_1+...+\theta_nx_n$$, 其中$$\theta_i(i=0,1,2....n)$$为模型参数，$$x_i(i=0,1,2....n)$$为每个样本的n个特征值。这个表示可以简化，我们增加一个特征$$x_0=1$$，这样$$h_\theta (x_0,x_1,...x_n)=\sum_{i=0}^{n}\theta_ix_i$$。

进一步用矩阵形式表达更加简洁如下：

$$h_\theta(X)=X\theta$$

其中， 假设函数$$h_\theta(X)$$为mx1的向量,θ为nx1的向量，里面有n个代数法的模型参数。X为mxn维的矩阵。m代表样本的个数，n代表样本的特征数。

得到了模型，我们需要求出需要的损失函数，一般线性回归我们用均方误差作为损失函数。损失函数的代数法表示如下：

$$J(\theta_0,\theta_1....,\theta_n)=\sum_{i=0}^{m}(h_\theta(x_0,x_1,...x_n)-y_i)^2$$

进一步用矩阵形式表达损失函数：

$$J(\theta)=\frac{1}{2}(X\theta-Y)^T(X\theta-Y)$$

由于矩阵法表达比较的简洁，后面我们将统一采用矩阵方式表达模型函数和损失函数。

# 2. 线性回归的算法

对于线性回归的损失函数$$J(\theta)=\frac{1}{2}(X\theta-Y)^T(X\theta-Y)$$，我们常用的有两种方法来求损失函数最小化时候的θ参数：一种是[**梯度下降法**](/math/analytic/gradient_descent.md)，一种是[**最小二乘法**](/math/analytic/least-square.md)。由于已经在其它篇中单独介绍了梯度下降法和最小二乘法，可以点链接到对应的文章链接去阅读。

如果采用梯度下降法，则θ的迭代公式是这样的：

$$\theta=\theta-\alpha X^T(X\theta-Y)$$

通过若干次迭代后，我们可以得到最终的θ的结果

如果采用最小二乘法，则θ的结果公式如下：

$$\theta=(X^TX)^{-1}X^TY$$

当然线性回归，还有其他的常用算法，比如牛顿法和拟牛顿法，这里不详细描述。

# 3. 线性回归的推广：多项式回归

回到我们开始的线性模型，$$h_\theta (x_1,x_2,...x_n)=\theta_0+\theta_1x_1+...+\theta_nx_n$$, 如果这里不仅仅是x的一次方，比如增加二次方，那么模型就变成了多项式回归。这里写一个只有两个特征的p次方多项式回归的模型：

$$h_\theta (x_1,x_2)=\theta_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2+\theta_3x_1^2+\theta_4x_2^2+\theta_5x_1x_2$$

我们令$$x_0=1, x_1=x_1,x_2=x_2,x_3=x_1^2,x_4=x_2^2,x_5=x_1x_2$$,这样我们就得到了下式：

$$h_\theta (x_1,x_2)=\theta_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2+\theta_3x_3+\theta_4x_4+\theta_5x_5$$

可以发现，我们又重新回到了线性回归，这是一个五元线性回归，可以用线性回归的方法来完成算法。对于每个二元样本特征$$(x_1,x_2)$$,我们得到一个五元样本特征$$(x_1,x_2,x_1^2,x_2^2,x_1x_2)$$，通过这个改进的五元样本特征，我们重新把不是线性回归的函数变回线性回归。

# 4. 线性回归的推广：广义线性回归

在上一节的线性回归的推广中，我们对样本特征端做了推广，这里我们对于特征y做推广。比如我们的输出Y不满足和X的线性关系，但是lnY和X满足线性关系，模型函数如下：

lnY=Xθ

这样对与每个样本的输入y，我们用 lny去对应， 从而仍然可以用线性回归的算法去处理这个问题。我们把 Iny一般化，假设这个函数是单调可微函数g\(.\)g\(.\),则一般化的广义线性回归形式是：

g\(Y\)=Xθ或者 $$Y=g^{-1}(X\theta)$$

这个函数g\(.\)我们通常称为联系函数。

# 5. 线性回归的正则化

为了防止模型的过拟合，我们在建立线性模型的时候经常需要加入正则化项。一般有L1正则化和L2正则化。

线性回归的L1正则化通常称为Lasso回归，它和一般线性回归的区别是在损失函数上增加了一个L1正则化的项，L1正则化的项有一个常数系数α来调节损失函数的均方差项和正则化项的权重，具体Lasso回归的损失函数表达式如下：

$$J(\theta)=\frac{1}{2}(X\theta-Y)^T(X\theta-Y)+\alpha ||\theta||_1$$

其中n为样本个数，α为常数系数，需要进行调优。$$||\theta||_1$$为L1范数。

Lasso回归可以使得一些特征的系数变小，甚至还是一些绝对值较小的系数直接变为0。增强模型的泛化能力。

Lasso回归的求解办法一般有坐标轴下降法（coordinate descent）和最小角回归法（ Least Angle Regression），由于它们比较复杂，在我的这篇文章单独讲述： [线性回归的正则化-Lasso回归小结](/ml/regression/linear-regression-summary.md)

线性回归的L2正则化通常称为Ridge回归，它和一般线性回归的区别是在损失函数上增加了一个L2正则化的项，和Lasso回归的区别是Ridge回归的正则化项是L2范数，而Lasso回归的正则化项是L1范数。具体Ridge回归的损失函数表达式如下：

$$J(\theta)=\frac{1}{2}(X\theta-Y)^T(X\theta-Y)+\frac {1} {2}\alpha ||\theta||_2^2$$

其中α为常数系数，需要进行调优。$$||\theta||_2$$为L2范数。

Ridge回归在不抛弃任何一个特征的情况下，缩小了回归系数，使得模型相对而言比较的稳定，但和Lasso回归比，这会使得模型的特征留的特别多，模型解释性差。

Ridge回归的求解比较简单，一般用最小二乘法。这里给出用最小二乘法的矩阵推导形式，和普通线性回归类似。

令J\(θ\)的导数为0，得到下式：

$$X^T(X\theta-Y)+\alpha \theta=0$$

整理即可得到最后的θ的结果：

$$\theta=(X^TX+\alpha E)^{-1}X^TY$$

其中E为单位矩阵。