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本文简明讲述GMM-HMM在语音识别上的原理，建模和测试过程。这篇blog只回答三个问题：
1. 什么是[Hidden Markov Model](http://en.wikipedia.org/wiki/Hidden_Markov_models)？
HMM要解决的三个问题:
1\) Likelihood
2\) Decoding
3\) Training
2. GMM是神马？怎样用GMM求某一音素（phoneme）的概率？
3. GMM+HMM大法解决语音识别
3.1 识别
3.2 训练
3.2.1 Training the params of GMM
3.2.2 Training the params of HMM
首先声明我是做视觉的不是做语音的，迫于\*\*需要24小时速成语音。上网查GMM-HMM资料中文几乎为零，英文也大多是paper。苦苦追寻终于貌似搞懂了GMM-HMM，感谢语音组老夏（[http://weibo.com/ibillxia](http://weibo.com/ibillxia)）提供资料给予指导。本文结合最简明的概括还有自己一些理解应运而生，如有错误望批评指正。
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1. 什么是[Hidden Markov Model](http://en.wikipedia.org/wiki/Hidden_Markov_models)？
ANS：一个有隐节点（unobservable）和可见节点（visible）的马尔科夫过程（见[详解](http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/25908495)）。
隐节点表示状态，可见节点表示我们听到的语音或者看到的时序信号。
最开始时，我们指定这个HMM的结构，训练HMM模型时：给定n个时序信号y1...yT（训练样本）, 用MLE（typicallyimplemented in EM） 估计参数：
1. N个状态的初始概率
2. 状态转移概率a
3. 输出概率b
--------------
* 在语音处理中，一个word由若干phoneme（音素）组成；
* 每个HMM对应于一个word或者音素（phoneme）
* 一个word表示成若干states，每个state表示为一个音素
用HMM需要解决3个问题：
1）.Likelihood: 一个HMM生成一串observation序列x的概率< the Forward algorithm>
其中，αt（sj）表示HMM在时刻t处于状态j，且observation = {x1,...,xt}的概率，
aij是状态i到状态j的转移概率，
bj（xt）表示在状态j的时候生成xt的概率，
2）.Decoding: 给定一串observation序列x，找出最可能从属的HMM状态序列< the Viterbi algorithm>
在实际计算中会做剪枝，不是计算每个可能state序列的probability，而是用Viterbi approximation：
从时刻1：t，只记录转移概率最大的state和概率。
记Vt\(si\)为从时刻t-1的所有状态转移到时刻t时状态为j的最大概率：
记为：从时刻t-1的哪个状态转移到时刻t时状态为j的概率最大；
进行Viterbi approximation过程如下：
然后根据记录的最可能转移状态序列进行回溯：
3）.Training: 给定一个observation序列x，训练出HMM参数λ = {aij, bij} the EM \(Forward-Backward\) algorithm
这部分我们放到“3. GMM+HMM大法解决语音识别”中和GMM的training一起讲
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2. GMM是神马？怎样用GMM求某一音素（phoneme）的概率？
2.1 简单理解混合高斯模型就是几个高斯的叠加。。。e.g. k=3
fig2. GMM illustration and the probability of x
2.2 GMM for state sequence
每个state有一个GMM，包含k个高斯模型参数。如”hi“（k=3）：
PS：sil表示silence（静音）
fig3. use GMM to estimate the probability of a state sequence given observation {o1, o2, o3}
其中，每个GMM有一些参数，就是我们要train的输出概率参数
fig4. parameters of a GMM
怎么求呢？和KMeans类似，如果已知每个点x^n属于某每类 j 的概率p\(j\|x^n\)，则可以估计其参数:
 ， 其中 
只要已知了这些参数，我们就可以在predict（识别）时在给定input sequence的情况下，计算出一串状态转移的概率。如上图要计算的state sequence 1->2->2概率：
fig5. probability of S1->S2->S3 given o1->o2->o3
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3. GMM+HMM大法解决语音识别
<!--识别-->
我们获得observation是语音waveform, 以下是一个词识别全过程：
1\). 将waveform切成等长frames，对每个frame提取特征（e.g. MFCC）,
2\).对每个frame的特征跑GMM，得到每个frame\(o\_i\)属于每个状态的概率b\_state\(o\_i\)
fig6. complete process from speech frames to a state sequence
3\). 根据每个单词的HMM状态转移概率a计算每个状态sequence生成该frame的概率; 哪个词的HMM 序列跑出来概率最大，就判断这段语音属于该词
宏观图：
fig7. Speech recognition, a big framework
\(from Encyclopedia of Information Systems, 2002\)
<!--训练-->
好了，上面说了怎么做识别。那么我们怎样训练这个模型以得到每个GMM的参数和HMM的转移概率什么的呢？
①Training the params of GMM
GMM参数：高斯分布参数：
从上面fig4下面的公式我们已经可以看出来想求参数必须要知道P\(j\|x\),即，x属于第j个高斯的概率。怎么求捏？
fig8. bayesian formula of P\( j \| x \)
根据上图 P（j \| x）, 我们需要求P\(x\|j\)和P（j）去估计P\(j\|x\).
这里由于P\(x\|j\)和P（j）都不知道，需要用EM算法迭代估计以最大化P\(x\) = P\(x1\)\*p\(x2\)\*...\*P\(xn\)：
A. 初始化（可以用kmeans）得到P\(j\)
B. 迭代
E（estimate）-step: 根据当前参数 \(means, variances, mixing parameters\)估计P\(j\|x\)
M（maximization）-step: 根据当前P\(j\|x\) 计算GMM参数（根据fig4 下面的公式：）
 ， 其中 
②Training the params of HMM
前面已经有了GMM的training过程。在这一步，我们的目标是：从observation序列中估计HMM参数λ；
假设状态->observation服从单核高斯概率分布：，则λ由两部分组成：
HMM训练过程：迭代
E（estimate）-step: 给定observation序列，估计时刻t处于状态sj的概率 
M（maximization）-step: 根据重新估计HMM参数aij.
其中，
E-step: 给定observation序列，估计时刻t处于状态sj的概率 
为了估计, 定义: t时刻处于状态sj的话，t时刻未来observation的概率。即
这个可以递归计算：β\_t（si）=从状态 si 转移到其他状态 sj 的概率aij\*状态 i 下观测到x\_{t+1}的概率bi\(x\_{t+1}\)\*t时刻处于状态sj的话{t+1}后observation概率β\_{t+1}（sj）
即：
定义刚才的为state occupation probability，表示给定observation序列，时刻t处于状态sj的概率P\(S\(t\)=sj \| X,λ\)。根据贝叶斯公式p\(A\|B,C\) = P\(A,B\|C\)/P\(B\|C\)，有：
由于分子p\(A,B\|C\)为
其中，αt（sj）表示HMM在时刻t处于状态j，且observation = {x1,...,xt}的概率；
: t时刻处于状态sj的话，t时刻未来observation的概率；
且
finally, 带入的定义式有：
好，终于搞定！对应上面的E-step目标，只要给定了observation和当前HMM参数 λ，我们就可以估计了对吧 \(\*^\_\_^\*\)
M-step：根据重新估计HMM参数λ：
对于λ中高斯参数部分，和GMM的M-step是一样一样的（只不过这里写成向量形式）：
对于λ中的状态转移概率aij, 定义C\(Si->Sj\)为从状态Si转到Sj的次数，有
实际计算时，定义每一时刻的转移概率为时刻t从si->sj的概率：
那么就有：
把HMM的EM迭代过程和要求的参数写专业点，就是这样的：
PS：这个训练HMM的算法叫 Forward-Backward algorithm。
一个很好的reference：[点击打开链接](http://www.inf.ed.ac.uk/teaching/courses/asr/2012-13/asr03-hmmgmm-4up.pdf)