二分查找高效判定子序列

一、问题分析

首先，一个很简单的解法是这样的：

bool isSubsequence(string s, string t) {
    int i = 0, j = 0;
    while (i < s.size() && j < t.size()) {
        if (s[i] == t[j]) i++;
        j++;
    }
    return i == s.size();
}

其思路也非常简单，利用双指针 i, j 分别指向 s, t，一边前进一边匹配子序列：

读者也许会问，这不就是最优解法了吗，时间复杂度只需 O(N)，N 为 t 的长度。

是的，如果仅仅是这个问题，这个解法就够好了，不过这个问题还有 follow up：

如果给你一系列字符串 s1,s2,... 和字符串 t，你需要判定每个串 s 是否是 t 的子序列（可以假定 s 较短，t 很长）。

boolean[] isSubsequence(String[] sn, String t);

你也许会问，这不是很简单吗，还是刚才的逻辑，加个 for 循环不就行了？

可以，但是此解法处理每个 s 时间复杂度仍然是 O(N)，而如果巧妙运用二分查找，可以将时间复杂度降低，大约是 O(MlogN)。由于 N 相对 M 大很多，所以后者效率会更高。

二、二分思路

二分思路主要是对 t 进行预处理，用一个字典 index 将每个字符出现的索引位置按顺序存储下来：

int m = s.length(), n = t.length();
ArrayList<Integer>[] index = new ArrayList[256];
// 先记下 t 中每个字符出现的位置
for (int i = 0; i < n; i++) {
    char c = t.charAt(i);
    if (index[c] == null) 
        index[c] = new ArrayList<>();
    index[c].add(i);
}

比如对于这个情况，匹配了 "ab"，应该匹配 "c" 了：

按照之前的解法，我们需要 j 线性前进扫描字符 "c"，但借助 index 中记录的信息，可以二分搜索 index[c] 中比 j 大的那个索引，在上图的例子中，就是在 [0,2,6] 中搜索比 4 大的那个索引：

这样就可以直接得到下一个 "c" 的索引。现在的问题就是，如何用二分查找计算那个恰好比 4 大的索引呢？答案是，寻找左侧边界的二分搜索就可以做到。

三、再谈二分查找

在前文二分查找详解中，详解了如何正确写出三种二分查找算法的细节。二分查找返回目标值 val 的索引，对于搜索左侧边界的二分查找，有一个特殊性质：

当 val 不存在时，得到的索引恰好是比 val 大的最小元素索引。

什么意思呢，就是说如果在数组 [0,1,3,4] 中搜索元素 2，算法会返回索引 2，也就是元素 3 的位置，元素 3 是数组中大于 2 的最小元素。所以我们可以利用二分搜索避免线性扫描。

// 查找左侧边界的二分查找
int left_bound(ArrayList<Integer> arr, int tar) {
    int lo = 0, hi = arr.size();
    while (lo < hi) {
        int mid = lo + (hi - lo) / 2;
        if (tar > arr.get(mid)) {
            lo = mid + 1;
        } else {
            hi = mid;
        } 
    }
    return lo;
}

以上就是搜索左侧边界的二分查找，等会儿会用到，其中的细节可以参见前文《二分查找详解》，这里不再赘述。

四、代码实现

这里以单个字符串 s 为例，对于多个字符串 s，可以把预处理部分抽出来。

boolean isSubsequence(String s, String t) {
    int m = s.length(), n = t.length();
    // 对 t 进行预处理
    ArrayList<Integer>[] index = new ArrayList[256];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        char c = t.charAt(i);
        if (index[c] == null) 
            index[c] = new ArrayList<>();
        index[c].add(i);
    }
    
    // 串 t 上的指针
    int j = 0;
    // 借助 index 查找 s[i]
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        char c = s.charAt(i);
        // 整个 t 压根儿没有字符 c
        if (index[c] == null) return false;
        int pos = left_bound(index[c], j);
        // 二分搜索区间中没有找到字符 c
        if (pos == index[c].size()) return false;
        // 向前移动指针 j
        j = index[c].get(pos) + 1;
    }
    return true;
}

算法执行的过程是这样的：

可见借助二分查找，算法的效率是可以大幅提升的。

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======其他语言代码======

392.判断子序列

c++

dekunma 提供C++代码 解法一：遍历（也可以用双指针）：

class Solution {
public:
    bool isSubsequence(string s, string t) {
        // 遍历s
        for(int i = 0; i < s.size(); i++) {
            // 找到s[i]字符在t中的位置
            size_t pos = t.find(s[i]);
            
            // 如果s[i]字符不在t中，返回false
            if(pos == std::string::npos) return false;
            // 如果s[i]在t中，后面就只看pos以后的字串，防止重复查找
            else t = t.substr(pos + 1);
        }
        return true;
    }
};

解法二：二分查找：

class Solution {
public:
    bool isSubsequence(string s, string t) {
        int m = s.size(), n = t.size();
        // 对 t 进行预处理
        vector<int> index[256];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            char c = t[i];
            index[c].push_back(i);
        }
        // 串 t 上的指针
        int j = 0;
        // 借助 index 查找 s[i]
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            char c = s[i];
            // 整个 t 压根儿没有字符 c
            if (index[c].empty()) return false;
            int pos = left_bound(index[c], j);
            // 二分搜索区间中没有找到字符 c
            if (pos == index[c].size()) return false;
            // 向前移动指针 j
            j = index[c][pos] + 1;
        }
        return true;
    }
    // 查找左侧边界的二分查找
    int left_bound(vector<int> arr, int tar) {
        int lo = 0, hi = arr.size();
        while (lo < hi) {
            int mid = lo + (hi - lo) / 2;
            if (tar > arr[mid]) {
                lo = mid + 1;
            } else {
                hi = mid;
            } 
        }
        return lo;
    }
};

javascript

双指针一遍扫描做法

/**
 * @param {string} s
 * @param {string} t
 * @return {boolean}
 */
var isSubsequence = function (s, t) {
    let i = 0, j = 0;
    while (i < s.length && j < t.length) {
        if (s[i] === t[j]) i++;
        j++;
    }
    return i === s.length;
};

升级：二分法做法，可应对与多个s的情况

var isSubsequence = function (s, t) {
    let m = s.length, n = t.length;
    let index = new Array(256);
    // 先记下 t 中每个字符出现的位置
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        let c = t[i];
        if (index[c] == null) {
            index[c] = [];
        }
        index[c].push(i)
    }

    // 串t上的指针
    let j = 0;
    // 借助index查找s[i]
    for (let i = 0; i < m; i++) {
        let c = s[i];
        // 整个t压根没有字符c
        if (index[c] == null) return false
        let pos = left_bound(index[c], j);
        // 二分搜索区间中没有找到字符c
        if (pos == index[c].length) return false;

        // 向前移动指针j
        j = index[c][pos] + 1;
    }
    return true;
};

var left_bound = function (arr, tar) {
    let lo = 0, hi = arr.length;
    while (lo < hi) {

        let mid = lo + Math.floor((hi - lo) / 2);
        if (tar > arr[mid]) {
            lo = mid + 1;
        } else {
            hi = mid;
        }
    }
    return lo;
}

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