我们把电机化简为一个带电源的切割磁感线的金属棒，即
其中，$B$为磁场强度，$E$为电源电压，$I$为电路中的电流，$L$为导体棒的切割磁场的有效长度，$V$为导体棒的速度。
导体棒的动力学模型为 $$ BIL-F_d=ma $$ 其中，$BIL$是安培力，即电流在磁场中会受到磁场力，用左手定则判断。$F_d$为空气阻力，计算式为$F_d=1/2 \rho V^2\cdot s\cdot C_d=k_d V^2$，而$k_d=1/2\rho\cdot s\cdot C_d$，这里$C_d$为导体棒的阻力系数。
继续细化上式： $$ \begin{aligned} &BIL-F_d=ma\ \Rightarrow&B\frac{E-BLV}{R}L-k_dV^2=ma \end{aligned} $$ 当导体棒达到受力平衡时，其加速度为0，安培力等于空气阻力，则根据上式，可得电源电压$E$和速度$V$的关系： $$ \begin{aligned} &B\frac{E-BLV}{R}L=k_dV^2\ \Rightarrow&E-BLV=\frac{k_dR}{BL}V^2\ \Rightarrow&E=\frac{k_dR}{BL}V^2+BLV\ \end{aligned} $$ 即 $$ E=f(V)=\frac{k_dR}{BL}\cdot V^2+BL\cdot V $$ 而我们又知道，空气阻力 $$ \begin{aligned} &F_d=1/2 \rho V^2\cdot s\cdot C_d=k_d V^2\ \Rightarrow& \left{\begin{matrix} V^2=\frac{F_d}{k_d}\ V=\sqrt{\frac{F_d}{k_d}} \end{matrix}\right. \end{aligned} $$ 则电源电压$E$和空气阻力$F_d$的关系为： $$ \begin{aligned} &E=f(V)=\frac{k_dR}{BL}\cdot V^2+BL\cdot V\ \Rightarrow&E=g(F_d)=\frac{k_dR}{BL}\cdot \frac{F_d}{k_d}+BL\cdot \sqrt{\frac{F_d}{k_d}} \end{aligned} $$ 即 $$ E=g(F_d)=\frac{R}{BL}\cdot F_d+\frac{BL}{\sqrt{k_d}}\cdot \sqrt{F_d} $$ 假设把导体棒看成一个旋翼，则导体棒由于空气动力学产生的升力$F_l$为： $$ \begin{aligned} &F_l=1/2 \rho V^2\cdot s\cdot C_l=k_l V^2\ \Rightarrow& \left{\begin{matrix} V^2=\frac{F_l}{k_l}\ V=\sqrt{\frac{F_l}{k_l}} \end{matrix}\right. \end{aligned} $$ 其中，$C_l$为旋翼的升力系数。
则电源电压$E$和导体棒由于空气动力学产生的升力$F_l$的关系为： $$ \begin{aligned} &E=f(V)=\frac{k_dR}{BL}\cdot V^2+BL\cdot V\ \Rightarrow&E=h(F_l)=\frac{k_dR}{BL}\cdot \frac{F_l}{k_l}+BL\cdot \sqrt{\frac{F_l}{k_l}} \end{aligned} $$ 即 $$ \begin{aligned} E=h(F_l)&=\frac{k_dR}{k_lBL}\cdot F_l+\frac{BL}{\sqrt{k_l}}\cdot \sqrt{F_l}\ &=\frac{R}{BL}/\frac{k_l}{k_d}\cdot F_l+\frac{BL}{\sqrt{k_l}}\cdot \sqrt{F_l}\ &=\frac{R}{BL}/\frac{C_l}{C_d}\cdot F_l+\frac{BL}{\sqrt{k_l}}\cdot \sqrt{F_l}\ &=\frac{R}{BL}/\frac{L}{D}\cdot F_l+\frac{BL}{\sqrt{k_l}}\cdot \sqrt{F_l}\ &=\frac{R}{BL\cdot (L/D)}\cdot F_l+\frac{BL}{\sqrt{\frac{1}{2}\cdot \rho \cdot S\cdot C_l}}\cdot \sqrt{F_l}\ \end{aligned} $$ 其中，$L/D$为旋翼（导体棒）的升阻比。
而电调给电机供电，电调的输入PWM波其实就是电压的占空比，即有效电压，简而言之，你可以把电调的输入PWM看成正比于电调的输出电压$E$，即有 $$ PWM=k_{E2PWM}\cdot E $$ 即PWM和旋翼推力$T$（即升力$F_l$）的关系为： $$ PWM=k_{E2PWM}\cdot E=k_{E2PWM} \left[ \frac{R}{BL\cdot (L/D)}\cdot T+\frac{BL}{\sqrt{\frac{1}{2}\cdot \rho \cdot S\cdot C_l}}\cdot \sqrt{T} \right] $$
下图是直流电机的等效回路图：
（1）电枢回路方程
直流电机电枢绕组的电压方程可以表示为 $$ V_a=R_ai_a+L_a\frac{di_a}{dt}+e_a $$ 其中，$i_a$为绕组电流，$L_a$为绕组电压，$e_a$是反电动势。反电动势是电枢绕组在永磁体的磁场下旋转产生的。
（2）反电动势方程
当长度为$l$的导体在磁感应强度为$B$的次场内，以速度$v$运动时，会产生感应电压： $$ e=Blv $$ 该电压被称为反电动势。我们从上式可粗略推导到电机的电枢绕组旋转时产生的反电动势： $$ e=Blv=Blrw=lr\cdot B\cdot w $$ 其中，$r$为电枢绕组旋转半径。
而实际上，当电枢绕组导体以角速度$w_m$在磁通量为$\phi_f$下运动时，产生的反电动势为： $$ e_a=k_e\phi_fw_m\quad\leftarrow(lr\cdot B\cdot w) $$ 其中，$k_e$是反电动势常数，对比可知，本质就是电枢绕组的线圈总长度和其旋转半径，其实意义和切割磁感线的金属棒的长度一样，也就是线圈绕组的构型，即其产生电流的能力。单位是$m^2$，通常，由于磁通量是常数，反电动势$e_a$正比于角速度$w_m$。
（3）扭矩方程
我们可通过电压$V_a$和反电动势$e_a$计算出电流$i_a$，从而可以获得直流电机的扭矩。
我们知道，当长度为$l$的导体棒在磁感应强度$B$的磁场内流过电流$i$，该导体将受到安培力的作用，作用力按下式计算，力的方向为左手定则： $$ F=Bil $$ 我们把上式改造一下适配到电机电枢上，即把力变为扭矩： $$ Fr=lr\cdot B\cdot i $$ 同理，在直流电机中，电枢载流导体在定子磁场的作用下，将产生扭矩： $$ T_e=k_T\cdot \phi_f \cdot i_a\quad\leftarrow(Fr=lr\cdot B\cdot i) $$ 其中，$k_T$是扭矩常数，对比可知，本质就是电枢绕组的线圈总长度和其旋转半径，其实意义和切割磁感线的金属棒的长度一样，也就是线圈绕组的构型，即其产生电流的能力。单位是$m^2$。当使用国际单位制SI时，在数值上扭矩常数$k_T$和反电动势常数$k_e$相等。
对于直流有刷电机，碳刷和换向器保证了电枢电流$i_a$始终和磁通量$\phi_f$垂直。因此，直流有刷电机总是可以输出最大扭矩。
（4）机械负载系统
如果将直流电机与负载相连，直流电机根据上式产生的电磁转矩将驱动负载旋转，电机的旋转速度可以由下式决定： $$ T_e=J\frac{dw_m}{dt}+B_vw_m+T_L $$ 其中，$w_m$为转子的机械角速度，$T_L$是负载扭矩，$J$是转动惯量，$B_v$是转子的旋转摩擦系数。
（5）直流电机的稳态特性
从上述4点，我们可得到直流电机的稳态和瞬态下的电流和速度等信息。
首先，让我们基于这些公式来研究转速和扭矩在稳态下的关系。
稳态是指电机的电流和速度已经稳定，分析直流电机的稳态可认为$di_a/dt=0$，$dw_m/dt=0$。根据上述4个公式，可得到稳态下的速度和扭矩关系： $$ \begin{aligned} T_e&=J\frac{dw_m}{dt}+B_vw_m+T_L\ \Rightarrow T_e-T_L&=J\frac{dw_m}{dt}\quad (B_v\ \text{is very small, ignore it})\ \Rightarrow k_T\cdot \phi_f \cdot i_a-T_L&=0\quad(\frac{dw_m}{dt}\ \text{is 0, }w_m\ \text{not change})\ \Rightarrow k_T\cdot \phi_f \cdot \frac{V_a-e_a}{R_a}&=T_L\ \Rightarrow k_T\cdot \phi_f \cdot \frac{V_a-k_e\phi_fw_m}{R_a}&=T_L\ \Rightarrow \frac{k_T\cdot \phi_f}{R_a} \cdot V_a&=\frac{k_Tk_e\cdot \phi_f^2}{R_a}w_m+T_L\ \end{aligned} $$ 对于负载力矩$T_L$，这里的场景是螺旋桨，所以，负载力矩其实就是螺旋桨旋转的阻力带来的力矩，即 $$ \begin{aligned} T_L&=l_{\text{drag}}\cdot F_{\text{drag}}\ &=\frac{2}{3}r_p\cdot F_{\text{drag}}\ &=\frac{2}{3}r_p\cdot \frac{1}{2}\rho V^2\cdot S\cdot C_d\ &=\frac{2}{3}r_p\cdot \frac{1}{2}\rho (w_m\cdot \frac{2}{3}r_p)^2\cdot S\cdot C_d\ &=\frac{2}{3}r_p\cdot \frac{1}{2}\rho (\frac{2}{3}r_p)^2\cdot S\cdot C_d\cdot w_m^2\ &=\frac{1}{2}\rho\cdot(\frac{2}{3}r_p)^3\cdot S\cdot C_d\cdot w_m^2\ &=k_L w_m^2 \end{aligned} $$ 其中，
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$l_{\text{drag}}=2/3\cdot r_p$ 是假设了螺旋桨的阻力$F_{\text{drag}}$的等效作用点在螺旋桨半径$r_p$的$2/3$处，不一定准确，就是个大概意思，你可以自己改。计算阻力时出现的$2/3\cdot r_p$意思是，要通过旋翼的角速度来得到等效的旋翼速度，也选了$2/3$这个位置，你可以自己改。 -
$k_L=\frac{1}{2}\rho\cdot(\frac{2}{3}r_p)^3\cdot S\cdot C_d$ ，是指阻力力矩和角速度之间的正比系数，这是和螺旋桨的性质相关。
所以外接电压和直流电机的旋转速度的关系是 $$ \begin{aligned} \frac{k_T\cdot \phi_f}{R_a} \cdot V_a&=\frac{k_Tk_e\cdot \phi_f^2}{R_a}w_m+T_L\ &=\frac{k_Tk_e\cdot \phi_f^2}{R_a}w_m+\frac{1}{2}\rho\cdot(\frac{2}{3}r_p)^3\cdot S\cdot C_d\cdot w_m^2\ \end{aligned} $$
现在我们计算电压和升力之间的关系，即 $$ F_{\text{lift}}=f(V_a) $$ 首先，我们需要知道$w_m$和$F_{\text{lift}}$的关系， $$ \begin{aligned} F_{\text{lift}}&=\frac{1}{2}\rho V^2\cdot S\cdot C_l\ &=\frac{1}{2}\rho (w_m\cdot \frac{2}{3}r_p)^2\cdot S\cdot C_l\ &=\frac{1}{2}\rho (\frac{2}{3}r_p)^2\cdot S\cdot C_l\cdot w_m^2\ &=\frac{1}{2}\rho(\frac{2}{3}r_p)^2\cdot S\cdot C_l\cdot w_m^2\ &=k_{\text{lift}} w_m^2 \end{aligned} $$ 可得 $$ \begin{aligned} w_m^2&=\frac{F_{\text{lift}}}{k_{\text{lift}}}=\frac{F_{\text{lift}}}{\frac{1}{2}\rho(\frac{2}{3}r_p)^2\cdot S\cdot C_l}\ w_m&=\sqrt{\frac{F_{\text{lift}}}{k_{\text{lift}}}}=\sqrt{\frac{F_{\text{lift}}}{\frac{1}{2}\rho(\frac{2}{3}r_p)^2\cdot S\cdot C_l}}\ \end{aligned} $$ 将上式带入外接电压和直流电机的旋转速度的关系式中，可得外接电压和直流电机产生升力的关系： $$ \begin{aligned} \frac{k_T\cdot \phi_f}{R_a} \cdot V_a&=\frac{k_Tk_e\cdot \phi_f^2}{R_a}w_m+T_L\ &=\frac{k_Tk_e\cdot \phi_f^2}{R_a}w_m+\frac{1}{2}\rho\cdot(\frac{2}{3}r_p)^3\cdot S\cdot C_d\cdot w_m^2\ &=\frac{k_Tk_e\cdot \phi_f^2}{R_a}\sqrt{\frac{F_{\text{lift}}}{\frac{1}{2}\rho(\frac{2}{3}r_p)^2\cdot S\cdot C_l}}+\frac{1}{2}\rho\cdot(\frac{2}{3}r_p)^3\cdot S\cdot C_d\cdot \frac{F_{\text{lift}}}{\frac{1}{2}\rho(\frac{2}{3}r_p)^2\cdot S\cdot C_l}\ &=\frac{k_Tk_e\cdot \phi_f^2}{R_a\sqrt{\frac{1}{2}\rho(\frac{2}{3}r_p)^2\cdot S\cdot C_l}}\sqrt{F_{\text{lift}}}+\frac{\frac{2}{3}r_p}{C_l/C_d}F_{\text{lift}} \end{aligned} $$ 现在需要反过来，已知电压$V_a$，求升力$F_{\text{lift}}$
对于上式，进行化简，即 $$ \begin{aligned} &\frac{k_T\cdot \phi_f}{R_a} \cdot V_a=\frac{k_Tk_e\cdot \phi_f^2}{R_a\sqrt{\frac{1}{2}\rho(\frac{2}{3}r_p)^2\cdot S\cdot C_l}}\sqrt{F_{\text{lift}}}+\frac{\frac{2}{3}r_p}{C_l/C_d}F_{\text{lift}}\ \Rightarrow &a \cdot V_a=b\sqrt{F_{\text{lift}}}+cF_{\text{lift}}\ \end{aligned} $$ 其中， $$ \begin{aligned} a&=\frac{k_T\cdot \phi_f}{R_a}\ b&=\frac{k_Tk_e\cdot \phi_f^2}{R_a\sqrt{\frac{1}{2}\rho(\frac{2}{3}r_p)^2\cdot S\cdot C_l}}\ c&=\frac{\frac{2}{3}r_p}{C_l/C_d} \end{aligned} $$
上述资料帮助回忆高中所学内容。
"直流电机动态模型"这一节参考了该知乎博客。
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这个模型更简单，要是对电机不太懂，可以先看这个。
这个讲了怎么用传递函数在simulink中建模。
这个Issue详细分析了曲线的来由和电机动力学模型。