采样方式为： $$ \begin{aligned} <u, i_0>,\ <u, i_1>,\ <u, i_2>,\ <u, i_3>,\ <u, i_4>,\ <u, i_5> \end{aligned} $$ 其中，$i_0$为正样本，$i_1,\ i_2, ... , i_5$为负样本。
损失计算方式为 $$ \begin{aligned} \text{loss}&=-p_0\mathop{\Pi}{i=1}^5(1-p_i)\ \Rightarrow\text{loss}&=-log(p_0)-\sum{i=1}^5log(1-p_i)\ &=-log\left(\frac{1}{1+\text{exp}(-s_0)}\right)-\sum_{i=1}^5log\left(1-\frac{1}{1+\text{exp}(-s_i)}\right)\ \end{aligned} $$
采样方式为： $$ <u, i_0, i_1, i_2, i_3, i_4, i_5> $$ 其中，$i_0$为正样本，$i_1,\ i_2, ... , i_5$为负样本。
损失计算方式为 $$ \begin{aligned} &\text{loss}=-\frac{\text{exp}(s_0)}{\sum_{i=0}^5\text{exp}(s_i)}\ \Rightarrow &\text{loss}=-(s_0-\text{log}\sum_{i=0}^5\text{exp}(s_i))=-s_0+\text{log}\sum_{i=0}^5\text{exp}(s_i) \end{aligned} $$
对两种负采样的损失函数分别求梯度。
$$ \begin{aligned} \frac{\partial \text{loss}}{\partial s_0}&=\frac{\partial\left[-log\left(\frac{1}{1+\text{exp}(-s_0)}\right)-\sum_{i=1}^5log\left(1-\frac{1}{1+\text{exp}(-s_i)}\right)\right]}{\partial s_0}\ &=-\frac{p_0(1-p_0)}{p_0}\ &=-1+p_0\
\frac{\partial \text{loss}}{\partial s_i}|{i=1,2,...,5}&=\frac{\partial\left[-log\left(\frac{1}{1+\text{exp}(-s_0)}\right)-\sum{i=1}^5log\left(1-\frac{1}{1+\text{exp}(-s_i)}\right)\right]}{\partial s_i}\ &=-\frac{p_i(1-p_i)}{1-p_i}\ &=p_i\ \end{aligned} $$
其中，上式的推导用到了 sigmoid导数的特点：$f'(z)=f(z)(1-f(z))$。
注意，这里的 $$ \begin{aligned} \sum_{i=0}^5\frac{\partial \text{loss}}{\partial s_i}=-1+\sum_{i=0}^5p_i\neq0 \end{aligned} $$ 即所有的变量$s_i$的梯度的和不是1
$$ \begin{aligned} \frac{\partial \text{loss}}{\partial s_0}&=\frac{\partial[-(s_0-\text{log}\sum_{i=0}^5\text{exp}(s_i))]}{\partial s_0}\ &=-1+\frac{\text{exp}(s_0)}{\sum_{i=0}^5\text{exp}(s_i)}\ &=-1+p_0\
\frac{\partial \text{loss}}{\partial s_i}|{i=1,2,...,5}&=\frac{\partial[-(s_0-\text{log}\sum{i=0}^5\text{exp}(s_i))]}{\partial s_i}\ &=\frac{\text{exp}(s_i)}{\sum_{i=0}^5\text{exp}(s_i)}\ &=p_i\ \end{aligned} $$
注意：所有变量的梯度值相加等于1: $$ \begin{aligned} \sum_{i=0}^5\frac{\partial \text{loss}}{\partial s_i}=-1+\sum_{i=0}^5p_i=-1+1=0 \end{aligned} $$ 所以，每个变量$s_i$的梯度更新值是相互制约的，总和等于1。
这就是两种负采样的本质区别，即所有的变量$s_i$的梯度的和是否等于1。