总体方差（ population variance）：总体中变量离其平均值距离的平均。一组数据 $$ \begin{aligned} x_1,x_2,x_3,...,x_N\ \sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^2}{N} \end{aligned} $$ 样本方差（sample variance）：样本中变量离其平均值距离的平均。一组数据 $$ \begin{aligned} x_1,x_2,x_3,...,x_n\ S^2=\frac{\sum_{i=1}^N(x_i-\bar{x})^2}{n-1} \end{aligned} $$ 为什么样本方差的分母是$n-1$？两种不同角度的直观解释：
1、样本的均值$\bar{x}$和样本服从分布的理论均值$\mu$有一定的偏差，所以，当以样本的均值$\bar{x}$来计算方差时，计算出的方差会偏小，而实际的方差本应该更大，所以就需要把方差计算公式的分母$n$减小，到底减到多小呢？就需要严格的数学计算了。
2、是因为因为均值已经用了$n$个数的平均来做估计在求方差时，只有$n-1$个数和均值信息是不相关的。而你的第$n$个数已经可以由前$n-1$个数和均值来唯一确定，实际上没有信息量。所以在计算方差时，只除以$n-1$。
那么更严格的证明呢？请耐心的看下去。
为什么样本方差中分母是$n-1$而不是$n$？我们假设是$n$看看： $$ \begin{aligned} &\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{n}\ =&\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left[(x_i-\mu)+(\mu-\bar{x})\right]^2\ =&\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2+\frac{2}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)(\mu-\bar{x})+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\mu-\bar{x})^2\ =&\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2+2(\bar{x}-\mu)(\mu-\bar{x})+(\mu-\bar{x})^2\ =&\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2-2(\bar{x}-\mu)^2+(\bar{x}-\mu)^2\ =&\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2-(\bar{x}-\mu)^2\ \end{aligned} $$ 从上式来看，样本方差采用$n$做分母，会比总体方差更小，小的值为$(\bar{x}-\mu)^2$，这其实就是样本均值$\bar{x}$和总体分布的均值$\mu$的方差了。对应了上述直观解释的第一点。
除非$\mu=\bar{x}$，否则一定有： $$ \frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{n} <\sigma^2 =\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2}{n} $$ 样本方差计算公式里分母为$n-1$的目的是为了让方差的估计是无偏的。
无偏的估计(unbiased estimator)比有偏估计(biased estimator)更好是符合直觉的，尽管有的统计学家认为让mean square error即MSE最小才更有意义，这个问题我们不在这里探讨；不符合直觉的是，为什么分母必须得是$n-1$而不是$n$才能使得该估计无偏。
首先，我们假定随机变量的数学期望是已知的，然而方差未知。在这个条件下，根据方差的定义我们有 $$ \mathbb{E}\left[(x_i-\mu)^2\right]=\sigma^2, \forall i=1,...,n $$ 由此可得 $$ \mathbb{E}\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\right]=\sigma^2 $$
因此$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2$是方差的一个无偏估计，注意式中的分母不偏不倚正好是$n$！这个结果符合直觉，并且在数学上也是显而易见的。
现在，我们考虑随机变量$X$的数学期望是未知$\mu$的情形。这时，我们会倾向于无脑直接用样本均值$\bar{x}$替换掉上面式子中的$\mu$。
这样做有什么后果呢？后果就是，如果直接使用$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2$作为估计，那么你会倾向于低估方差。
那么，在不知道随机变量真实数学期望的前提下，如何“正确”的估计方差呢？答案是把上式中的分母$n$换成$n-1$，通过这种方法把原来的偏小的估计“放大”一点点，我们就能获得对方差的正确估计了： $$ \mathbb{E}\left[\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\right]=\mathbb{E}\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\right]=\sigma^2 $$ 至于为什么分母是$n-1$而不是$n-2$或者别的什么数，原因如下： $$ \begin{aligned} &\mathbb{E}(\bar{x})=\mathbb{E}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbb{E}(x_i)=\mu\ &\mathbb{E}(\bar{x}-\mu)^2\ =&\mathbb{E}(\bar{x}-\mathbb{E}(\bar{x}))^2=\text{Var}(\bar{x})\ =&\text{Var}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\right)=\frac{1}{n^2}\text{Var}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)\ &\text{by}\ D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm \text{Cov}(X,Y)\ =&\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n\text{Var}(x_i)=\frac{1}{n^2}n\text{Var}(x)=\frac{1}{n}\text{Var}(x)\ =&\frac{1}{n}\sigma^2\ \end{aligned} $$ 所以可得样本方差$n$做分母和真实方差的关系为： $$ \begin{aligned} &\mathbb{E}\left(\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{n}\right)\ =&\mathbb{E}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left[(x_i-\mu)-(\bar{x}-\mu)\right]^2\right)\ =&\mathbb{E}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\right)-\mathbb{E}\left((\bar{x}-\mu)^2\right)\ =&\mathbb{E}(\sigma^2)-\frac{1}{n}\sigma^2\ =&\sigma^2-\frac{1}{n}\sigma^2\ =&\frac{n-1}{n}\sigma^2 \end{aligned} $$ 所以有 $$ \begin{aligned} \sigma^2=&\frac{n}{n-1}\mathbb{E}\left(\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{n}\right)\ =&\mathbb{E}\left(\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{n-1}\right)\ =&\sigma^2 \end{aligned} $$ 即样本方差$S^2$为： $$ S^2=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{n-1} $$ 我们可以直观的看到随着样本总量$n$的增加，样本方差$s$会越来越接近总体方差。样本方差等于总体方差减样本均值的方差。如果用样本均值去估计总体均值，对总体方差的估计是有偏差的，偏差是样本均值的方差。需要做Bessel's correction去修正偏差，让偏差的期望等于0。
当$n$很大的时候，其实除以$n$和除以$n-1$的区别并不大。随着样本的增多，两者都会收敛到真实的总体方差。
本文参考此资料
本文也看了点这个。
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为什么样本方差（sample variance）的分母是 n-1？
据说这个解释很好，但还没看。