有理数可数

.gitignore

@@ -2,4 +2,6 @@
 /example.py
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 .DS_Store
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+.vscode
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+.checkpoints

docs/About/devices.md

@@ -99,9 +99,9 @@ tags:
 - `2020-202?`：小度智能音箱（有点智障，但可以控制红外设备）
 
 
-## NS游戏卡带/PS光碟
+## NS卡带/PS光碟
 
-> 虽然这不是电子设备，但姑且列在这里。毕竟这也是大额固定资产（欢迎来换游戏玩
+> 虽然这不是电子设备，但姑且列在这里（欢迎来换游戏玩
 - NS
     - 八方旅人1
     - 怪物猎人XX

docs/Python/index.md

@@ -13,7 +13,7 @@ hide:
 <div class="console">
 
 ```console
-$ echo import this > a.py | python a.py
+$ python -c "import this"
 The Zen of Python, by Tim Peters
 
 Beautiful is better than ugly.

docs/SomeMath/real/rational_numbers_countable.md

@@ -4,30 +4,215 @@ tags:
 ---
 
 # 有理数集是可数的
+直觉上有理数是无穷无尽的，在数轴上是稠密的，不太可数的样子。
 
-## 双射
+但实际上我们可以构造一个有理数到自然数的双射，从而非常直观地说明有理数是**可数的**。
+## 双射(bijection)
+既单又满的映射是双射。
 
-## 基数
+所谓单射(injection)就是指将不同的变量映射到不同的值的映射：
+$$
+f:A\to B \quad s.t. \quad \forall a,b \in A \quad a\ne b\implies f(a)\ne f(b)
+$$
+所谓满射(surjection)就是指陪域等于值域的映射：
+$$
+f:A\to B \quad s.t. \quad \forall y\in B \quad \exists x\in A \quad f(x)=y
+$$
 
-## 证明
+> 对于映射$f:A\to B$，我们说$A$是定义域，$B$是陪域，$f(A)$是值域。
+## 基数(cardinality)
+所谓的基数（或者叫势）直观来说就是衡量集合中元素数量的一个度量。集合$S$的基数记作$|S|$。
 
-Define a map $f:\mathbb{Q} \to \mathbb{N}$ by
+我们定义
+
+- 如果存在一个单射$f:A\to B$，那么：
 $$
-f(x) = q_1^{2r_1}q_2^{2r_2}\cdots q_M^{2r_M}\times p_1^{2s_1-1}p_2^{2s_2-1}\cdots p_N^{2s_N-1}
+|A|\le |B| 
+$$
+
+- 如果存在一个满射$f:A\to B$，那么：
+$$
+|A|\ge |B| 
 $$
 
-where the prime numbers $q_i$ and $p_j$ are defined by:
 
+如果存在一个双射$f:A\to B$，那么：
+$$
+|A|= |B| 
+$$
+这时候我们说$A$和$B$是等势的。
+
+## 可数
+
+如果一个集合$S$和自然数集合$\mathbb{N}$是等势的，那么称这个$S$是可数的。
+
+一个简单的例子是：
+$$
+f:\{2k:k\in \mathbb{N}\} \to \mathbb{N}
+$$
+其中$f(2k)=k$。
+
+不难发现这个映射是一个双射
+
+- 单：任何两个不想等的偶数除以二之后还是不相等
+- 满：任何一个自然数(n)都在值域中，因为有一个对应的偶数(2n)作为原象
+## 有理数可数（好实现的）
+> 这个映射非常炫酷，但是没那么直观
+
+定义映射 $f:\mathbb{Q} \to \mathbb{N}$：
+$$
+f(x) = q_1^{2r_1}q_2^{2r_2}\cdots q_M^{2r_M}\times p_1^{2s_1-1}p_2^{2s_2-1}\cdots p_N^{2s_N-1}
+$$
+
+其中**互相不相等的**质数 $q_i,p_j$以及正整数$r_i$,$s_j$通过$x$分数表示的质因数分解定义为：
 $$
 x = \frac{m}{n} = \frac{q_1^{r_1}q_2^{r_2}\cdots q_M^{r_M}}{p_1^{s_1}p_2^{s_2}\cdots p_N^{s_N}}
-\quad q_i \ne p_j \forall i,j
 $$
 
-We want to show $f$ is **bijective**.
+> 这么定义的合理性在于算数基本定理：$m,n$可以质因数分解，并且分解唯一。
+
+例如：
+$$
+f(3.2) = f(\frac{16}{5})=f(\frac{2^4}{5})=2^{2*4}\times 5^{2*1-1}=2^8\times 5=1280
+$$
+
+下面证明$f$是一个双射。
+
+### Step 1 $f$ 是单射
+也就是要证明$x_1\ne x_2 \implies f(x_1)\ne f(x_2)$
+
+设
+$$
+x_1 = \frac{q_{1,1}^{r_{1,1}}q_{1,2}^{r_{1,2}}\cdots q_{1,M}^{r_{1,M}}}{p_{1,1}^{s_{1,1}}p_{1,2}^{s_{1,2}}\cdots p_{1,N}^{s_{1,N}}}
+$$
+$$
+x_2 = \frac{q_{2,1}^{r_{2,1}}q_{2,2}^{r_{2,2}}\cdots q_{2,M}^{r_{2,M}}}{p_{2,1}^{s_{2,1}}p_{2,2}^{s_{2,2}}\cdots p_{2,N}^{s_{2,N}}}
+$$
+
+那么
+$$
+\begin{aligned}
+&f(x_1)\\
+=&q_{1,1}^{2r_{1,1}}q_{1,2}^{2r_{1,2}}\cdots q_{1,M}^{2r_{1,M}}\times p_{1,1}^{2s_{1,1}-1}p_{1,2}^{2s_{1,2}-1}\cdots p_{1,N}^{2s_{1,N}-1}\\
+&f(x_2)\\
+=&q_{2,1}^{2r_{2,1}}q_{2,2}^{2r_{2,2}}\cdots q_{2,M}^{2r_{2,M}}\times p_{2,1}^{2s_{2,1}-1}p_{2,2}^{2s_{2,2}-1}\cdots p_{2,N}^{2s_{2,N}-1}
+\end{aligned}
+$$
+其中$q_{1,i}, p_{1,j}$互不相等，$q_{2,i}, p_{2,j}$互不相等。
+
+假设$f(x_1)=f(x_2)$，那么根据自然数质因数分解（**按照指数的奇偶分开，按照底数从小到大排列**）的唯一性
+$$q_{1,i}=q_{2,i},\quad r_{1,i}=r_{2,i}\quad \forall i$$
+并且
+$$p_{1,j}=p_{2,j},\quad s_{1,j}=s_{2,j}\quad \forall j$$
+于是$x_1=x_2$，与条件矛盾。
+
+所以假设不成立，$f(x_1)\ne f(x_2)$
+
+所以$f$是单射。
+### Step 2 $f$ 是满射
+也就是要证明$\forall y \in \mathbb{N} \quad \exists x \in \mathbb{Q} \quad s.t.\quad f(x)=y$
+
+根据算数基本原理，$\forall y \in \mathbb{N}$，存在质因数分解（**按照指数的奇偶分开，按照底数从小到大排列**）
+$$
+y=q_1^{2r_1}q_2^{2r_2}\cdots q_M^{2r_M}\times p_1^{2s_1-1}p_2^{2s_2-1}\cdots p_N^{2s_N-1}
+$$
+从而存在一个这样的有理数
+$$
+x = \frac{q_1^{r_1}q_2^{r_2}\cdots q_M^{r_M}}{p_1^{s_1}p_2^{s_2}\cdots p_N^{s_N}}
+$$
+使得$f(x)=y$
+
+所以$f$是满射。
+## 有理数可数（好理解的）
+> 这个映射非常直观，但是很难写出具体的形式。因为中间有大量的可约分数需要跳过。
+
+更加广为流传的版本是对角线排列的方法：
+![对角线](./assets/对角线.png)
+如图所示，每一行的分子都是相同的，每一列的分母都是相同的，通过这样一种方式我们把所有的有理数（除了0，这不影响我们的结论）放到了一个矩阵当中。
+
+接下来，按照箭头所指的方向来数数即可，遇到可约分数就跳过。
+
+最终我们得到这样一个映射：
+$$
+\begin{aligned}
+&f(1/1)=1,\quad f(2/1)=2,\quad f(1/2)=3\\
+&f(1/3)=4,\quad f(3/1)=5,\quad \cdots
+\end{aligned}
+$$
+补充定义$f(0)=0$即可把所有的有理数一一映射到自然数了。
+## 编程实现
+最后我们用python写一个小程序实现前面提到的第一个双射：
+
+```python
+from sympy.ntheory import factorint
+from fractions import Fraction
+
+def f(x: Fraction|float) -> int:
+    if isinstance(x, float):
+        # 取最近的有理数
+        x = Fraction(x).limit_denominator()
+        print(f"f({x}) = ", end='')
+    m = x.numerator # 分子
+    n = x.denominator # 分母
+    y = 1
+    for q,r in factorint(m).items():
+        y *= q**(2*r)
+    for p,s in factorint(n).items():
+        y *= p**(2*s-1)
+    print(y)
+    return y
+```
+
+这个函数可以把有理数映射到自然数：
+```python
+>>> f(16/5)
+f(16/5) = 1280
+```
+
+它的逆映射是：
+```python
+def f_inverse(x: int) -> Fraction:
+    if x==0:
+        res = Fraction(0)
+    else:
+        prime_factorization = factorint(x)
+        m,n = 1,1
+        for prime, power in prime_factorization.items():
+            if power%2 == 0:
+                m *= prime**(power//2)
+            else:
+                n *= prime**((power+1)//2)
+        res = Fraction(m,n)
+    print(f"f_inverse({x}) = {res}")
+    return res
+```
+可以输出第$n$个有理数：
+```python
+>>> for i in range(20):
+...     f_inverse(i)
+f_inverse(0) = 0
+f_inverse(1) = 1
+f_inverse(2) = 1/2
+f_inverse(3) = 1/3
+f_inverse(4) = 2
+f_inverse(5) = 1/5
+f_inverse(6) = 1/6
+f_inverse(7) = 1/7
+f_inverse(8) = 1/4
+f_inverse(9) = 3
+f_inverse(10) = 1/10
+f_inverse(11) = 1/11
+f_inverse(12) = 2/3
+f_inverse(13) = 1/13
+f_inverse(14) = 1/14
+f_inverse(15) = 1/15
+f_inverse(16) = 4
+f_inverse(17) = 1/17
+f_inverse(18) = 3/2
+f_inverse(19) = 1/19
+```
+这个函数的图像大概长这个样子：
 
-### Step 1 show $f$ is injective
-Which means: $f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2$
-### Step 2 show $f$ is surjective
-Which means: $\forall y \in \mathbb{N} \quad \exists x \in \mathbb{Q} \quad s.t.\quad f(x)=y$
+![图像](./assets/plot.png)
 
-TBD:有理数可数
+它恰好被$y=\sqrt{x}$包络住。