我爱数学

pages/goldsaying/index.md

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 title: 金句
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+17. #### 我欲穿花寻路, 直入白云深处, 浩气展虹霓。
+- 《水调歌头·游览》[北宋]黄庭坚
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 16. #### 祸患常积于忽微, 智勇多困于所溺。
 - 《五代史伶官传序》[北宋]欧阳修
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 > 一个翻译版本是 **“我当然不会试图摘月, (我要月亮奔我而来!)”**
 >
 > 其中前句确实为赫本原话，但后一句有待商榷。[参考 - 知乎](https://www.zhihu.com/question/349627995)
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 14. #### 一日三餐没烦恼, 今天就吃老八秘制小汉堡。
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pages/posts/2024051801.md

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 ##### 发起缘由
 
-- 无意间发现的开源博客框架[Valaxy](https://valaxy.site/);
-- 好看是第一要素，而它刚刚好;
-- 我喜欢***(实际上没啥关系);
-- 一直在想为班级搞一个自建博客，有了个人实际上班级也好搞了;
+- 无意间发现的开源博客框架[Valaxy](https://valaxy.site/)
 
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@@ -30,7 +27,4 @@ top: 1
 
 ##### 待办
 
-- 搞个音乐播放器
-- 搞定RSS订阅
 - 留言板
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pages/posts/2024052101.md

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 title: 三大公式 & 梯散旋度
 date: 2024-05-21
-updated: 2024-05-29
+updated: 2024-05-31
 categories: 数学
 tags:
   - 数学
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-#### 一、格林公式(Green Foumula)
+#### 一、格林公式(Green Formula)
 
 > 若函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 在闭区域 $D$ 连续, 并且具有一阶连续偏导数, 则
 > $$I = \oint_{C^{+}} Pdx + Qdy = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy$$
 > 其中 $C$ 是闭区域的边界。
+
 - **注意**: 做题的时候别忘了一定是<font color='#ED1C24'>闭区域</font>, 而且要抠原点。
 - 旋度定义为括号内的。
 - 格林公式的意义就是: 从**第二型曲线积分**[^1]简化计算成闭曲线围成的二重积分。
 - 二重积分就是这么做: $x$ 型区域、 $y$ 型区域，或者转化成极坐标。
+
 [^1]: 指对坐标的积分, 是有方向的积分。
 
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 > 设空间闭区域 $V$ 由分片光滑的双侧封闭曲面 $S$ 围成, 若函数 $P, Q, R$ 在 $V$ 上连续, 且有一阶的连续偏导数, 则
 > $$I = \oiint_{S^{+}}Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \iiint_{V}(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z})dxdydz$$
 > 其中 $S^{+}$ 代表 $S$ 的外侧。
+
 - 旋度定义为括号内的。
+
 > 如果将<font color='#00A2E8'>严格确定方向</font>的**第二型曲面积分**转化为面积积分(为了好算), 则
 > $$\oiint_{S^{+}}Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \iint_{S}(P\cos\alpha + R\cos\beta + Q\cos\gamma)dS$$
 > 其中 $(\alpha, \beta, \gamma)$ 是方向余弦。
-- 计算方法
+
+- 计算方法(其实是第二型曲面积分的解法)
+
 1. 整体投影 > 适用于有几个面投影过去变成曲线;
 2. 分别投影 > 适用于比较规则的面。
+
 - 单面投影
+
 > $$I = \pm\iint_{\Sigma}[P(-z_{x}^{'}) + Q(-z_{y}^{'}) + R]dxdy$$
 > 其中 $\Sigma$ 是 $S$ 在 $Oxy$ 平面上的投影。
 >
 > 若 $S$ 要计算的方向与 $Oxy$ 相对朝"**上**", 则取 $+$ , 反之取 $-$ 。
+
 - 由上能知道(实际不是)方向余弦的计算方法
+
 > $$(\alpha, \beta, \gamma) = \frac{(z_{x}^{'}, z_{y}^{'}, 1)}{\sqrt{z_{x}^{'2} + z_{y}^{'2} + 1}}$$
 > 其中 $z = z(x, y)$ 实际上是 $S$ 给出的显式表达式。
+
 - 高斯公式的意义就是, 把格林公式作了维数上的推广, 从**第二型曲面积分**简化计算成闭曲面围成的三重积分。
+
 > - 别忘了三重积分!
 > 1. 先一后两法: 投影法 > 小柱体体积求和!
 > $$I = \iiint_{V}f(x, y, z)dxdydz = \iint_{\sigma_{xy}}d\sigma\int_{z_{1}}^{z_{2}}f(x, y, z)dz$$
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 > 柱坐标千万别忘了 $rdr$ !
 >
 > 极坐标千万别忘了 $\rho^{2}\sin\varphi$ !
->
-> 画个图(如下)
+
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-#### 三、斯托克斯公式(Stokes Foumula)
+#### 三、斯托克斯公式(Stokes Formula)
 
 > 光滑曲面 $S$ 的边界 $L (\partial{S} = L)$ 是**按段**光滑的**连续**曲线, 若函数 $P, Q, R$ 在 $V$ 上连续且有一阶连续偏导数, 则
 > $$I = \oint_{L} Pdx + Qdy + Rdz = \iint_{S} (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z})dydz + (\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x})dzdx + (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy$$
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 - 由于对 $L$ 进行环路积分, 所以上述"方向"就好理解(仅限个人认知思路)。
 - 不记行列式的**规律: $dx$ 对应 $dydz$ , 也就对应 $R$ 和 $Q$ 。**
 
-#### 四、三度
-
-1. 梯度(向量) $\nabla F = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z}$
-2. 散度 $div(\bold F) = \nabla\bold F$
-3. 旋度(向量) $rot(F)$ 是Stokes公式里边的那一大坨偏导数相减。
+#### 四、三度向量
 
-- $div(rot(\bold F)) = 0$
-- $rot(\nabla u) = 0$
+1. 梯度 $\nabla F = {\rm grad}F = (\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z})$
+2. 散度 ${\rm div}\bold F = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z}$
+3. 旋度 ${\rm rot}\bold F$ 是Stokes公式里边的那一大坨偏导数相减。

pages/posts/2024052201.md

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 title: 那些将要被遗忘的数学知识
 date: 2024-05-22
-updated: 2024-05-29
+updated: 2024-05-31
 categories: 数学
 tags:
   - 数学
   - 笔记
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-#### 一、一阶线性微分方程秒杀公式
+#### 一、微分方程
+
+##### 1 一阶线性微分方程秒杀公式
 
 > 对于方程 $y^{'} + P(x)y = Q(x)$，有
 >
 > $\begin{aligned}y = e^{- \int P(x)dx}(C + \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx)\end{aligned} , C \in R$
 
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-
-#### 二、二阶线性微分方程的解法
+##### 2 二阶线性微分方程的解法
 
-##### 1 齐次方程的通解公式
+###### (1) 齐次方程的通解公式
 
 先将 $y^{''} + Py^{'} + Qy = 0$ 的通解算出: 特征方程 $\lambda^{2} + P\lambda + Q = 0$ 。
 
@@ -29,7 +29,7 @@ top: 0
 - 若 $P^{2} - 4Q = 0$ , 则有二重根 $\lambda \in R, s.t. Y = e^{\lambda x}(c_{1} + c_{2}x)$
 - 若 $P^{2} - 4Q < 0$ , 则有共轭复数 $\lambda_{1}, \lambda_{2} = \alpha \pm \beta i, s.t. Y = e^{\alpha x}(c_{1}\cos\beta x + c_{2}\cos\beta x)$
 
-##### 2 猜(科学地蒙)非齐次方程的特解
+###### (2) 猜(科学地蒙)非齐次方程的特解
 
 完整方程为: $y^{''} + Py^{'} + Qy = T(x)$
 
@@ -53,15 +53,17 @@ top: 0
 
 </font>
 
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+##### 3 其他具有明显特征的微分方程
 
-#### 三、空间曲线/曲面的切线、法平面/切平面、法线
+1. 伯努利方程
 
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+#### 二、空间曲线/曲面的切线、法平面/切平面、法线
 
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-#### 四、多元函数的极值
+#### 三、多元函数的极值
 
 ##### 1 无条件极值
 
@@ -72,25 +74,43 @@ top: 0
 ##### 2 Lagrange乘子法
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-#### 五、方向导数
+#### 四、方向导数
 
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-#### 六、Riemann积分的物理应用
+#### 五、重积分
+
+##### 1 第一型曲线积分
+
+> 是对弧长的积分。对 $f = f(x, y)$ 有如下弧长微元的转化:
+> $$ds = \sqrt{(x_{t}^{'})^2 + (x_{t}^{'})^2}dt = \sqrt{(f_{x}^{'})^2 + 1}dx = \sqrt{r^2(\theta) + r^{'2}(\theta)}d\theta$$
+
+##### 2 第二型曲线积分
+
+> 直接使用[格林公式](./2024052101/#一、格林公式-green-formula)。
+
+##### 3 第一型曲面积分
+
+> 是对面积的积分。对 $z = z(x, y)$ 有如下面积微元的转化:
+> $$dS = \sqrt{1 + (z_{x}^{'})^2 + (z_{y}^{'})^2}dxdy = \frac{1}{\vert F_{z}^{'}\vert}\sqrt{F_{x}^{'2} + F_{y}^{'2} + F_{z}^{'2}}dxdy$$
+
+##### 4 第二型曲面积分(详见[高斯公式](./2024052101/#二、高斯公式-gauss-formula))
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+##### 5 Riemann积分的物理应用
 
 设物体质量为 $M$ 。
 
-##### 1 质心
+1. 质心
 
 $\begin{aligned}\bar t = \frac{\int_{\Omega}t\mu(P)d\Omega}{M}\end{aligned}, t = x, y, z$
 
-##### 2 转动惯量
+2. 转动惯量
 
 $\begin{aligned}I_{x} = \int_{\Omega}(y^2 + z^2)\mu(P)d\Omega\end{aligned}$ , 其他同理。
 
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-#### 七、平面曲线积分与路径无关的等价条件
+#### 六、平面曲线积分与路径无关的等价条件
 
 $P, Q$ 具有连续的一阶偏导数。
 
@@ -110,15 +130,10 @@ $P, Q$ 具有连续的一阶偏导数。
 
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-#### 八、无穷级数
+#### 七、无穷级数
 
 ##### 1 正项级数敛散性判别法
 
-- 比较判别法
-- 比值判别法
-- 根值判别法
-- Rabbe判别法
-- 积分判别法
 - 比较判别法
 - 比值判别法
 - 根值判别法