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Chaps/AppendixC.tex

@@ -23,7 +23,7 @@ \section{引言}
 然而，本附录只涉及势能面的一小部分：那些对应于极小值的点，代表稳态或亚稳态的构象，以及对应于过渡态的点。
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 \section{概论}
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+\label{secC.2}
 在Born-Oppenheimer近似下得到的分子体系的能量$E$是一个以核坐标为参数的函数，记核坐标为
 $\mathbf{X}^{\dagger}=(X_1,X_2,\dots,X_{3N})$。
 我们希望从$E(\mathbf{X})$进而得到$E(\mathbf{X_1})$，$\mathbf{q=(X_1-X)}$。
@@ -323,6 +323,33 @@ \section{解析导数}
 表达式的最后三项包含了分子轨道系数的导数并且不能用简单的方式避开。它们可以通过耦合微扰Hartree-Fock理论(CPHF)$^3$得到。
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 \section{优化技术}
+对一个多变量函数求驻点的数值方法是一个很宏大的课题。
+这些方法可以分成下列4类：
+\begin{enumerate}
+	\item[(a) ] 不用梯度的方法
+	\item[(b) ] 使用数值梯度和数值二阶导数的方法
+	\item[(c) ] 使用解析梯度和数值二阶导数的方法
+	\item[(d) ] 使用解析梯度和解析二阶导数的方法
+\end{enumerate}
+等等。
+
+上述方法除了第一种之外都是基于能量$E$的泰勒展开，它们的导数$\mathbf{f}$已经在\autoref{secC.2}给出。
+在实际应用上，这些方法可以用在“估算”技术或者“迭代”技术上。
+
+d类型的方法可能是首选，因为它使用了最丰富的信息，但只有当解析的一阶导数和二阶导数能够同时获得，并且与能量$E$一样容易时，才会有这种情况。
+然而，很明显，只要我们对极值处的几何结构的初始估计在价键力场的二次区域内（\autoref{C.6}的$\mathbf{Y}$坐标），
+单一的应用\autoref{C.4}和\autoref{C.5}就给出$\mathbf{X_e}$和$\mathbf{E(X_e)}$。
+这一对于\autoref{C.4}的单一应用，我们把它称为\textit{估算}。
+如果我们不在势的二次区域内，估算可能不是非常准确，可能需要迭代；也就是说，从初猜$\mathbf{X_0}$已经确定了一个新的集合$\mathbf{X_1}$，
+我们可以通过求解\autoref{secC.2}的方程得到$\mathbf{X_2}$。这要求$\mathbf{f(X_1)}$和$\mathbf{H^{-1}(X_1)}$。
+这个流程可能需要一直重复，直到$E_n-E_{n-1}$小于给定的阈值，$\sigma =\mathbf{f(X_n)}^{\dagger}\mathbf{f(X_n)}$小于给定的阈值，
+$\mathbf{q_n}^{\dagger}\mathbf{q_n}$小于给定的阈值，或者全部三个都满足。
+
+实际应用中，由于在获得解析二阶导数的困难，d类型算法没有被普遍的使用在几何搜索上。另一方面，一阶导数的计算时间一般与能量计算相当。
+因为这个原因，c类型算法是最流行的，而且被应用在大多数的现代量子化学程序中。不幸的是，多数的过渡态搜索算法需要解析的二阶导数，因此
+需要非常昂贵的计算机资源。解析的二阶导数也被用在确定极值点是不是势能面的最小值点（Hessian矩阵所有的本征值为正），或者确定是不是过渡态
+（Hessian矩阵的本征值有且只有一个为负），以及确定是否是在寻求情况下产生最小的振动光谱。
+
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 \section{一些优化算法}
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Chaps/progess.tex

@@ -60,8 +60,8 @@ \chapter*{进度表}
         \item[\CheckedBox] 附录B
         \item[\DSquare] 附录C
         \begin{itemize}
-	        \item[\CheckedBox] C.1-C.3
-	        \item[\Square] C.4-C.7 
+	        \item[\CheckedBox] C.1-C.4
+	        \item[\Square] C.5-C.7 
     	\end{itemize}
         \item[\CheckedBox] 附录D
     \end{itemize}