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Other/复分析/--复分析--.md
Other/复分析/复泰勒级数.md
Other/复分析/柯西-黎曼方程.md
Other/复分析/柯西积分公式.md
Other/复分析/柯西积分定理.md
Other/复分析/留数定理.md
Other/复分析/罗兰展开.md
微积分/曲线曲面积分/向量场的曲线积分.md

Other/复分析/--复分析--.md

@@ -15,12 +15,12 @@ aliases:
 > 
 
 # 要点目录
-- [[柯西-黎曼方程]]
-- [[罗兰展开]]
+- [[留数定理]]
 - [[柯西积分定理]]
-- [[柯西-黎曼方程]]
+- [[柯西积分公式]]
+- [[罗兰展开]]
 
-# dataview
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 ```dataview
 list
 from #数学 

Other/复分析/复泰勒级数.md

@@ -0,0 +1,57 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[--复分析--]]"
+---
+复数泰勒级数用于将复变函数 $f(z)$ 在某一点 $z_0$ 的邻域内表示为幂级数形式。它是实数泰勒级数的推广，但在复数领域，级数展开的条件更为严格，因此适用的范围也更具约束力。
+
+#### 定义
+如果复变函数 $f(z)$ 在点 $z_0$ 的某个邻域内正则（即解析），则 $f(z)$ 可以表示为以下形式的级数：
+
+$$
+f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z - z_0)^n
+$$
+
+其中：
+- $a_n$ 是泰勒级数的系数，其表达式为：
+  $$
+  a_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}
+  $$
+  这里 $f^{(n)}(z_0)$ 是 $f(z)$ 在 $z_0$ 点的 $n$ 阶导数。
+
+#### 收敛性
+复数泰勒级数的收敛性由函数的解析性决定。对于解析函数：
+1. 泰勒级数的收敛半径 $R$ 由函数的奇点位置决定：
+   $$
+   R = \min_{z \in \text{奇点}} |z - z_0|
+   $$
+   即，从 $z_0$ 到最近的奇点的距离决定了级数的收敛半径。
+2. 在半径 $R$ 内，泰勒级数绝对收敛，并且一致收敛于函数 $f(z)$。
+
+#### 与实数泰勒级数的区别
+- **解析性条件**：复数泰勒级数展开的前提是 $f(z)$ 在邻域内解析，而实数泰勒级数只需要 $f(z)$ 足够光滑（即具备高阶导数）。
+- **唯一性**：如果复变函数的泰勒级数在某邻域内收敛，那么这个级数唯一地决定了 $f(z)$。这一性质在复分析中至关重要。
+- **收敛性更强**：在复数域中，解析性保证了泰勒级数不仅收敛而且一致收敛。
+
+#### 举例
+1. **指数函数 $f(z) = e^z$**：
+   $$
+   e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}, \quad z \in \mathbb{C}
+   $$
+
+2. **正弦函数 $f(z) = \sin z$**：
+   $$
+   \sin z = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad z \in \mathbb{C}
+   $$
+
+3. **对数函数 $f(z) = \log(1+z)$**：
+   $$
+   \log(1+z) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{z^n}{n}, \quad |z| < 1
+   $$
+
+#### 应用
+1. **函数解析性判断**：通过泰勒级数展开可以验证一个函数在某点是否解析。
+2. **数值计算**：泰勒级数提供了高效的函数近似方法。
+3. **解微分方程**：许多复数微分方程的解可以通过泰勒级数表示。
+4. **物理与工程**：在电磁场、信号处理等领域中，泰勒级数用于描述波动、信号变化等现象。

Other/复分析/柯西-黎曼方程.md

@@ -3,64 +3,70 @@ tags:
   - 数学
 dlink:
   - "[[--复分析--]]"
-author:
-  - Cyletix
-aliases:
-  - 留数定理
 ---
-留数定理用于计算闭合路径上的复积分。这一定理尤其适用于函数在其积分路径内有奇点的情况。
+## 简介
+柯西-黎曼方程用于描述复变函数 $f(z)$ 在某区域内解析的必要条件。柯西-黎曼方程给出了函数的实部和虚部之间的关系，确保函数在复平面上的导数处处存在且独立于方向。
+复分析中的柯西-黎曼方程是全纯函数的必要条件，导致复函数具有比实函数更强的对称性。
 ## 定义
-如果复函数 $f(z)$ 在某闭合路径 $\gamma$ 内部的所有点上都解析，除了有限个奇点 $z_1, z_2, ..., z_n$，那么沿这个闭合路径 $\gamma$ 的积分可以通过以下公式计算：
+复变函数 $f(z)$ 可表示为：
 $$
-\int_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \text{Res}(f, z_k)
+f(z) = u(x, y) + i v(x, y)
 $$
-其中 $\text{Res}(f, z_k)$ 是函数 $f(z)$ 在点 $z_k$ 处的留数。
-## 留数的计算
-留数是函数在其奇点处的行为的量化表示。计算留数的方法依赖于奇点的类型：
-- **简单极点**：如果 $z_0$ 是 $f(z)$ 的一个简单极点，那么在 $z_0$ 处的留数可以通过下列极限来计算：
+其中：
+- $u(x, y)$ 是 $f(z)$ 的实部；
+- $v(x, y)$ 是 $f(z)$ 的虚部；
+- $z = x + i y$，其中 $x, y$ 分别是实部和虚部。
+
+那么，$f(z)$ 在区域 $D$ 内解析的充要条件是 $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 满足以下 **柯西-黎曼方程**：
 $$
-\text{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0)f(z)
+\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.
 $$
-- **高阶极点**：对于高阶极点，留数的计算更为复杂，通常需要通过洛朗级数或其他方法来确定。
-## 应用
-留数定理的一个常见应用是计算复平面上的积分，特别是当积分路径围绕一个或多个奇点时。此外，留数定理也可以应用于计算实数积分，特别是那些难以用传统方法求解的积分。
-## 示例
-假设有函数 $f(z) = \frac{z+1}{z^2 + 4}$，我们需要计算围绕路径 $|z| = 2$ 的积分。
-首先，我们需要确定函数 $f(z) = \frac{z+1}{z^2 + 4}$ 的奇点。将分母设为零：
-$$
-z^2 + 4 = 0 \Rightarrow z^2 = -4 \Rightarrow z = \pm 2i
-$$
-这表明有两个奇点：$z = 2i$ 和 $z = -2i$。由于我们的路径是 $|z| = 2$，这意味着这两个奇点恰好在积分路径上。当奇点位于路径上时，使用留数定理需要更多的注意 — 通常情况下，我们假设奇点完全在路径内部或外部，因此这种特殊情况需要小心处理。为了简化问题，我们可以稍微调整路径来确保所有奇点都在路径内部。假设我们将路径调整为 $|z| = 3$。
-### 计算留数
-现在我们的路径包含两个奇点 $2i$ 和 $-2i$。每个点都是简单极点。对于每个极点，留数可以通过以下公式计算：
-$$
-\text{Res}(f, z_k) = \lim_{z \to z_k} (z - z_k)f(z)
-$$
-- 对于 $z = 2i$：
-$$
-\text{Res}\left(\frac{z+1}{z^2 + 4}, 2i\right) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \frac{z + 1}{z^2 + 4} = \lim_{z \to 2i} \frac{z + 1}{z + 2i}
-$$
-由于 $z^2 + 4 = (z - 2i)(z + 2i)$，在 $z = 2i$ 时，有：
+这个条件强制 $u$ 和 $v$ 之间存在严格的关系，函数的局部行为完全由其在一点的性质确定。
+
+## 几何性质
+1. **方向导数的一致性**  
+   柯西-黎曼方程保证复变函数的复导数在复平面中任何方向上都相等。这意味着，复导数的定义不依赖于计算导数时选取的方向。
+2. **角度保持性（共形性）**  
+   如果 $f(z)$ 在区域内解析且导数非零，柯西-黎曼方程确保 $f(z)$ 是一个共形映射，即在复平面上的任意点处保持角度不变。
+
+## 推导
+
+函数 $f(z)$ 的复导数定义为：
 $$
-\text{Res}(f, 2i) = \frac{2i + 1}{4i} = \frac{2i + 1}{4i}
+f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z},
 $$
-进一步计算得：
+其中 $\Delta z = \Delta x + i \Delta y$。
+
+为了使导数存在且独立于方向，要求：
 $$
-\text{Res}(f, 2i) = \frac{2i + 1}{4i} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}i
-$$
-- 对于 $z = -2i$：
-$$
-\text{Res}\left(\frac{z+1}{z^2 + 4}, -2i\right) = \lim_{z \to -2i} (z + 2i) \frac{z + 1}{z^2 + 4} = \lim_{z \to -2i} \frac{z + 1}{z - 2i}
-$$
-$$
-\text{Res}(f, -2i) = \frac{-2i + 1}{-4i} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}i
-$$
-### 应用留数定理
-$$
-\begin{align}
-\int_{|z|=3} \frac{z+1}{z^2 + 4} \, dz 
-&= 2\pi i \left(\text{Res}(f, 2i) + \text{Res}(f, -2i)\right) \\
-&= 2\pi i \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}i + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}i\right) \\
-&= 2\pi i
-\end{align}
+\lim_{\Delta z \to 0} \frac{\partial f}{\partial x} \quad \text{和} \quad \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\partial f}{\partial y}
 $$
+在计算结果中一致，推导即可得到柯西-黎曼方程。
+
+## 应用
+1. **解析性判定**  
+   利用柯西-黎曼方程可以判断一个复变函数是否在某区域内解析。
+2. **构造解析函数**  
+   给定一个函数的实部 $u(x, y)$ 或虚部 $v(x, y)$，可以通过柯西-黎曼方程求出另一个部分，从而构造出解析函数。
+3. **物理应用**  
+   - 柯西-黎曼方程在流体力学和电磁学中具有重要应用，例如描述二维无旋流场的速度势和流函数。
+
+## 示例
+
+1. **函数 $f(z) = z^2$**  
+   展开 $f(z) = (x + i y)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$，其中：
+   $$
+   u(x, y) = x^2 - y^2, \quad v(x, y) = 2xy.
+   $$
+   检查柯西-黎曼方程：
+   $$
+   \frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 2x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -2y, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 2y.
+   $$
+   满足柯西-黎曼方程，因此 $f(z)$ 在复平面上解析。
+
+2. **函数 $f(z) = \bar{z} = x - i y$**  
+   其中 $u(x, y) = x, v(x, y) = -y$，检查：
+   $$
+   \frac{\partial u}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -1, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 0.
+   $$
+   不满足柯西-黎曼方程，因此 $f(z)$ 在复平面上不解析。

Other/复分析/柯西积分公式.md

@@ -0,0 +1,55 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[-高等数学-]]"
+---
+## Wikipedia
+柯西积分公式说明了任何一个闭合区域上的[[全纯函数]]在区域内部的值完全取决于它在区域边界上的值，并且给出了区域内每一点的任意阶导数的积分计算方式。柯西积分公式是复分析中全纯函数“微分等同于积分”特性的表现。而在实分析中这样的结果是完全不可能达到的。
+
+## 定义​
+假设 $f(z)$ 是定义在单连通区域 $D$ 上的解析函数，并且曲线 $C$ 是 $D$ 内的一条简单闭合正向曲线（逆时针方向，右手螺旋确定）。如果 $z_0$ 是 $C$ 内的点，则柯西积分公式如下：
+$$
+f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} \, dz
+$$
+当$n=0$时显然也成立: 
+$$
+f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z-z_0} \, dz
+$$
+
+### 性质
+1. **平均值性质**：一个解析函数的值完全由其边界上的信息决定，这是解析函数的一个独特性质。
+2. **路径独立性**：积分的值只与曲线 $C$ 的形状及其包围的点有关，而与路径的具体形式无关。
+
+## 示例
+设 $f(z) = z^2 + 2z + 1$，曲线 $C$ 是以原点为圆心、半径为 2 的圆。要求 $f(0)$ 的值：
+$$
+f(0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z} \, dz
+$$
+
+
+---
+## 关系
+#### 与柯西积分定理的关系
+柯西积分公式的推导依赖[[柯西积分定理]]，如果 $f(z)$ 在 $D$ 内解析且 $C$ 是闭合曲线，则：
+$$
+\oint_C f(z) \, dz = 0
+$$
+### 与留数定理的关系
+留数定理是柯西积分公式的推广，用于计算具有孤立奇点的函数在闭曲线上的积分：
+$$
+\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, z_k)
+$$
+柯西积分公式是留数定理的一个特例，当奇点 $z_k = z_0$ 时，积分公式中的 $f(z)$ 可以用其留数表示。
+
+
+
+### 性质
+柯西积分公式表明，全纯函数的 $n$ 阶导数可以通过围绕点 $z_0$ 的路径积分计算，其核心原因在于复变函数的解析性和柯西-黎曼方程的强约束性。全纯函数的解析性使得其值和导数在局部与全局之间保持严格一致，而柯西-黎曼方程则强制函数具有全局对称性，从而使积分操作与导数性质紧密联系。此外，复分析中的路径独立性和解析延拓能力进一步强化了这一联系，使复函数的局部性质能够完全决定其全局行为。这种“微分等同于积分”的特性在实分析中因缺乏解析性与对称性而无法实现。
+
+
+柯西积分公式表明，全纯函数的 $n$ 阶导数可以通过围绕点 $z_0$​ 的路径积分计算。
+这一结果源自全纯函数的解析性，而柯西-黎曼方程提供了全纯的必要条件。
+解析性意味着全纯函数在一个区域内的值由任意小邻域的信息完全决定，建立了局部与全局的紧密联系。
+路径独立性是解析性的直接结果，而解析延拓体现了全纯函数的全局一致性。
+这种“微分等同于积分”的特性在实分析中因缺乏解析性和路径独立性而无法实现。

Other/复分析/柯西积分定理.md

@@ -5,24 +5,13 @@ dlink:
   - "[[-高等数学-]]"
 aliases:
   - 柯西-古萨定理
+  - Cauchy Integral Theorem
+  - Cauchy-Goursat Theorem
 ---
-### 柯西积分定理概述
+## 概述
+柯西积分定理说明，复平面上全纯函数的闭合路径积分为零。这意味着，任何尝试绕回起点的积分都将抵消，可以简化留数定理和复平面上全纯函数的积分的计算。从柯西积分定理可以推导出柯西积分公式和[[留数定理]]。
 
-#### 基本描述
-柯西积分定理（Cauchy Integral Theorem），有时也称为柯西-古萨定理（Cauchy-Goursat Theorem），是复分析中的一个核心定理，它描述了复平面上全纯函数的闭合路径积分的性质。这一定理对于理解和计算复变函数的积分具有基础性的重要性。
-
-#### 定理内容
-柯西积分定理可以描述为以下两个关键点：
-1. **路径独立性**：在复平面上，如果函数 \( f(z) \) 在区域 \( D \) 内全纯（即处处解析且导数存在），并且 \( D \) 是单连通的（没有洞），那么从一点到另一点的积分值不依赖于路径的选择，只要这些路径完全位于 \( D \) 内。
-2. **闭合路径积分为零**：如果 \( f(z) \) 在单连通区域 \( D \) 内全纯，那么对于任何完全包含在 \( D \) 内的可求长闭合曲线 \( C \)，有
-   $$
-   \oint_C f(z) \, dz = 0
-   $$
-
-#### 数学意义
-这个定理的强大之处在于它提供了一种非常有效的方法来计算复平面上全纯函数的积分，特别是在涉及留数定理和复变函数积分的计算时。闭合路径积分为零的性质意味着，任何尝试绕回起点的积分都将抵消，这简化了许多复杂积分的计算。
-
-#### 应用示例
-在实际应用中，柯西积分定理允许我们通过选择简单的路径来计算复杂路径上的积分，或者使用留数定理来求解具有奇点的积分。例如，在物理和工程问题中，经常需要计算围绕奇点的积分，此时柯西积分定理及其推广形式（如留数定理）便显得尤为重要。
-
-这一定理不仅是复变函数理论中的一个重要工具，也是许多物理和工程学科中不可或缺的数学基础。
+## 定义
+柯西积分定理有两个等价的描述：
+1. **路径独立性**：在复平面上，如果函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内全纯（即处处解析且导数存在），并且 $D$ 是单连通的（没有洞），那么从一点到另一点的积分值不依赖于路径的选择，只要这些路径完全位于 $D$ 内。
+2. **闭合路径积分为零**：如果 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内全纯，那么对于任何完全包含在 $D$ 内的可求长闭合曲线 $C$，有：$$\oint_C f(z) \, dz = 0$$

Other/复分析/留数定理.md

@@ -0,0 +1,67 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[--复分析--]]"
+author:
+  - Cyletix
+aliases:
+  - 残数定理
+  - Residue theorem
+---
+留数定理用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分，也可以用来计算实函数的积分。它是[[柯西积分定理]]和[[柯西积分公式]]的推论。留数定理用于计算闭合路径上的复积分。这一定理尤其适用于函数在其积分路径内有奇点的情况。
+## 定义
+如果复函数 $f(z)$ 在某闭合路径 $\gamma$ 内部的所有点上都解析，除了有限个奇点 $z_1, z_2, ..., z_n$，那么沿这个闭合路径 $\gamma$ 的积分可以通过以下公式计算：
+$$
+\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \text{Res}(f, z_k)
+$$
+其中 $\text{Res}(f, z_k)$ 是函数 $f(z)$ 在点 $z_k$ 处的留数。
+## 留数的计算
+留数是函数在其奇点处的行为的量化表示。计算留数的方法依赖于奇点的类型：
+- **简单极点**：如果 $z_0$ 是 $f(z)$ 的一个简单极点，那么在 $z_0$ 处的留数可以通过下列极限来计算：
+$$
+\text{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0)f(z)
+$$
+- **高阶极点**：对于高阶极点，留数的计算更为复杂，通常需要通过洛朗级数或其他方法来确定。
+## 应用
+留数定理的一个常见应用是计算复平面上的积分，特别是当积分路径围绕一个或多个奇点时。此外，留数定理也可以应用于计算实数积分，特别是那些难以用传统方法求解的积分。
+## 示例
+假设有函数 $f(z) = \frac{z+1}{z^2 + 4}$，我们需要计算围绕路径 $|z| = 2$ 的积分。
+首先，我们需要确定函数 $f(z) = \frac{z+1}{z^2 + 4}$ 的奇点。将分母设为零：
+$$
+z^2 + 4 = 0 \Rightarrow z^2 = -4 \Rightarrow z = \pm 2i
+$$
+这表明有两个奇点：$z = 2i$ 和 $z = -2i$。由于我们的路径是 $|z| = 2$，这意味着这两个奇点恰好在积分路径上。当奇点位于路径上时，使用留数定理需要更多的注意 — 通常情况下，我们假设奇点完全在路径内部或外部，因此这种特殊情况需要小心处理。为了简化问题，我们可以稍微调整路径来确保所有奇点都在路径内部。假设我们将路径调整为 $|z| = 3$。
+### 计算留数
+现在我们的路径包含两个奇点 $2i$ 和 $-2i$。每个点都是简单极点。对于每个极点，留数可以通过以下公式计算：
+$$
+\text{Res}(f, z_k) = \lim_{z \to z_k} (z - z_k)f(z)
+$$
+- 对于 $z = 2i$：
+$$
+\text{Res}\left(\frac{z+1}{z^2 + 4}, 2i\right) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \frac{z + 1}{z^2 + 4} = \lim_{z \to 2i} \frac{z + 1}{z + 2i}
+$$
+由于 $z^2 + 4 = (z - 2i)(z + 2i)$，在 $z = 2i$ 时，有：
+$$
+\text{Res}(f, 2i) = \frac{2i + 1}{4i} = \frac{2i + 1}{4i}
+$$
+进一步计算得：
+$$
+\text{Res}(f, 2i) = \frac{2i + 1}{4i} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}i
+$$
+- 对于 $z = -2i$：
+$$
+\text{Res}\left(\frac{z+1}{z^2 + 4}, -2i\right) = \lim_{z \to -2i} (z + 2i) \frac{z + 1}{z^2 + 4} = \lim_{z \to -2i} \frac{z + 1}{z - 2i}
+$$
+$$
+\text{Res}(f, -2i) = \frac{-2i + 1}{-4i} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}i
+$$
+### 应用留数定理
+$$
+\begin{align}
+\int_{|z|=3} \frac{z+1}{z^2 + 4} \, dz 
+&= 2\pi i \left(\text{Res}(f, 2i) + \text{Res}(f, -2i)\right) \\
+&= 2\pi i \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}i + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}i\right) \\
+&= 2\pi i
+\end{align}
+$$