高数

README.md

@@ -8,6 +8,7 @@
 
 - [高等数学](math/高等数学.md)
 - [线性代数](math/线性代数.md)
+- [概率统计](math/概率统计.md)
 
 ## 数据分析与可视化
 
@@ -67,6 +68,8 @@ jupyter notebook ,numpy,pandas,matplotlib
 - 逻辑回归
   - [逻辑回归理论、公式](machinelearning/04逻辑回归.md)
 
+- 朴素叶贝斯
+
 
 
 ### 案例
@@ -82,11 +85,11 @@ jupyter notebook ,numpy,pandas,matplotlib
 ## links
 - [基于Python的数据分析与可视化](https://juejin.cn/book/7240731597035864121)
 - [sklearn官网](https://scikit-learn.org/stable/index.html)
-- [Python3入门机器学习 经典算法与应用](https://coding.imooc.com/class/chapter/169.html)
 - [matplotlib中文网](https://www.matplotlib.org.cn/)
 - 书籍
   - 机器学习(公式推导与代码实现)
   - 从零开始机器学习的数学原理和算法实践
+  - 高等数学第6版上下册
 
 
 

machinelearning/linearRegression/08-UnderfittingAndOverfitting/underfittingAndOverfitting.ipynb

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machinelearning/recommand/03NearestNeighborsAndConsineSimiarity/NearestNeighbors_and_consine_simiarity.ipynb

@@ -24,6 +24,7 @@
     "import matplotlib.pyplot as plt\n",
     "from sklearn.metrics.pairwise import cosine_similarity,cosine_distances\n",
     "\n",
+    "# 假设用户给６个相同商品打个分数，０－１００分\n",
     "user1=np.array([50,30,25,76,89,100])\n",
     "user2=np.array([79,67,67,90,70,60])\n",
     "user3=np.array([10,45,20,78,50,50])\n",

math/线性代数.md

@@ -182,3 +182,15 @@ X = B . A的逆矩阵  （上面两边都乘A的逆矩阵)
 行列式等与０ ，逆不存在。 
 
 
+###  矩阵的秩
+
+矩阵的秩 ：线性变换后空间的维数
+
+子式：假设A为m*n矩阵，任取A中的K行K列所得到的K阶行列式称之为A的一个K阶子式。
+
+
+二阶子式：
+
+矩阵的秩：矩阵A中非零子式的最高阶数为矩阵A的秩，记作r(A).r(A)=2.
+
+总结：这个数学家在处理某个矩阵的时候，发现需要知道怎么如何用最少的几个向量去表达这个矩阵向量组，他为此引入了秩的概念。我们知道了秩，就知道了这个矩阵向量组的最关键的几个向量组，我们用这两个向量组通过数乘运算就可以表达其他向量组

math/高等数学.md

@@ -1,68 +1,104 @@
 # 高等数学
 
-
 ## 集合、映射和函数
-
 ### 集合
 
 集合列子：
-
 - 某特定时间上，某城市的树的种类
 
 非集合例子
-
 - 100个同批次同型号的乒乓球。 无法区别（元素互异性）
 - 一个城市的好人（不确定性）
 
 集合中的元素是坐标系中的点
 
 - {(x,y)|x+y<3}
 
-集合有包含关系。 子集： 所有元素都是 某集合。
+集合有包含关系。 子集： 所有元素都是 某集合。记作 A ∈ B
 
 真子集（ 集合不相等)
 
+####  数集分类
+
+- N 自然数集 N={0,1,2,3,...,n...}
+- Z 整数集合 Z ={...,-n,...,-2,-1,0,1,2,...,n,....}
+- Q 有理数集合 
+- R 实数集合 R = {x| x是有理数或无理数}
+
+N ∈ Z, Z∈Q ,Q ∈ R
+
+#### 全集和补集
+
+
+在实数集R中，集合A={x|0<x<=1} 的余集（补集) 就是 A^c  = {x|x<=0或x>1}
+
+
+#### 区间
+{x|a<x<b},称为开区间，记作(a,b)
+
+{x|a<=x<=b} ,成为闭区间，记作[a,b]
+
+#### 领域
+
+点a的领域记作  U(a)
+
+设η是任一正数，则开区间(a-η,a+η) 就是a的一个领域，这个领域称为点a的η领域，记作U(a,η)
+
+U(a,η) = {x|a-η <x < a+η}
+
+
 ### 映射
 
 设A、B是两个非空集合，如果存在一个法则f:A->B，使得对于任意a∈A，都有f(a)∈B，则称f为A到B的映射。记作f:A→B。
 
-b 称为元素 a 在映射 f 下的像记为 b = f(a)。
+b 称为元素a在映射 f 下的像, 记为 b = f(a)。
 
-a 称为元素 b 在映射 f 上的原像
+a 称为元素 b在映射 f 上的原像
 
-A 称为映射 f 的定义域，记作 D(f)
+集合A称为映射f的定义域，记作 D(f)
 
-A 中所有元素的像所组成的集合称为映射f 的值域，记作 R(f)
+集合A中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作 R(f)或者f(A)
 
 - 映射三要素： 定义域，值域，对应法则
 - 定义域 D(f) = A
 - 值域 R(f) ∈ B
 - 对于每个 a ∈ A ,元素 a 的像 b 唯一
 - 对应每个b ∈ R(f) ,元素 b 的原像不一定唯一。
 
-满射 、单射 、一一映射
+
+满射： Rf=Y
+
+单射: ψ(任意符号)x,x2 ∈ X,x1!=x2,有f(x1) != f(x2) 
+
+一一映射: 满射＋单射
+
 
 逆映射
 
 - 设f 是 A到B 的双射，那么存在一个映射 g:B→A，使得g(f(a))=a,g(b)=f(g(b))
 
 对每个 b ∈ B ,规定g(b) = a, 这 a 满足f(a)=b
 
-g 称为 f 的逆映射。记为 g=f^(-1)，定义域 D(g) = B, 值域 R(g) = A
+g 称为 f 的逆映射。记为 g=f-¹，定义域 D(g) = B, 值域 R(g) = A
+
 
+
 ### 函数
 
 设数集D ∈ R ,则称映射f : D → R 为定义在 D上的函数。记为 y=f(x),x ∈ D，x 称为自变量，y 称为因变量， D称为定义域
 
-反函数
+#### 反函数
 
 设映射 f： D->E为双射(D∈R,E∈R)
 
-则它的逆映射 f-1 : E->D称为 f 的反函数。
+则它的逆映射 f-¹ : E->D称为 f 的反函数。
 
 f(x)=x²
 
-f-1(x)=sqrt(x)
+f-¹(x)=sqrt(x)
+
+#### 函数的特性
+
 
 函数单调性
 
@@ -72,7 +108,8 @@ f-1(x)=sqrt(x)
 
 偶函数: f(x)=f(-x) ,图像关于 y 轴对称。
 
-函数的周期性
+函数的周期性: x∈D，且(x+l)∈D ，f(x+l)=f(x) 恒成立，则f(x)为周期函数。如正弦、余弦函数,周期2π。
+
 
 #### 基本初等函数
 
@@ -167,6 +204,114 @@ y=rsinθ
 
 描述与角度有关的曲线会更简洁
 
+
+## 数列极限
+
+### 数列
+
+将自然数按1,2,3...编号依次排列的一列数x1,x2,x3,...,xn称为无穷数列，简称数列。
+
+xn称为通项，此数列可以记为:{xn}
+
+例如2,4,8,16... 记为: {2^n}
+
+- 如果对于任意给定的正数ε（不论有多么小），
+- 总存在正整数N，
+- 使得对于n > N时的一切xn,
+- 不等式|xn-a| < ε都成立
+
+那么就称常数a 是数列xn的极限，或者称数列xn收敛于a.
+
+记为: 数列xn 当n接近无穷大时，数列的极限是a。
+```text
+lim xn=a (或 xn->a(n->∞))
+n->∞   
+```
+
+如果数列没有极限，就说数列是发散的，否则是收敛的。
+
+```text
+lim xn=a     <=>    ∀ε > 0 ,∃ 正整数N，当n>N时，有|xn - a| < ε
+n->∞   
+```
+-  ∀表示任意给定的或对于每一个
+- ∃ 表示存在或至少有一个
+- 数列极限的定义未给出求极限的方法
+
+
+收敛数列的性质
+- 有界性
+- 唯一性，，每个收敛数列只有一个极限.
+
+## 函数极限
+
+函数的极限：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在一一变化过程中的函数的极限。
+
+ - 如果对于任意给定的正数ε（不论有多么小），
+- 总存在正数δ，使得对于合适不等式0<|x-x0|<δ的一切x
+- 所对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A| <ε,
+- 那么常数A就叫做函数f(x)当x->x0时的极限
+
+```text
+lim f(x)=A     <=>     f(x)->A(当x->x0)
+x->x0   
+```
+
+
+```text
+lim f(x)=A     <=>    ∀ε > 0 ,∃ δ>0，当0<|x-x0| < δ时，恒有|f(x)-A| < ε 
+x->x0   
+```
+![](images/math_17.png)
+
+当x在x0的δ去心领域时，函数y=f(x)图形完全落在以直线y=A,带宽为2 ε 的区域内
+
+
+- 函数极限与f(x)在x0是否有定义无关。(x0 是否在定义域内没有关系)
+- δ与任意给定的正数ε相关
+- 找到一个δ后，δ越小越好，它体现x与x0的接近程度。
+
+
+### 单侧极限
+
+左极限
+```text
+   ∀ε > 0 ,∃ δ>0，当x0-δ<x<x0 ,恒有|f(x)-A| < ε 
+记作 lim     f(x) =A  <=> f(x0-0)=A
+    x->x0-
+```
+
+右极限
+```text
+   ∀ε > 0 ,∃ δ>0，当x0<x<x0+δ ,恒有|f(x)-A| < ε 
+记作 lim     f(x) =A  <=> f(x0+0)=A
+    x->x0+
+```
+
+
+### 自变量无穷大函数的极限
+ε-X语言：
+
+ ```text
+ lim f(x) =A     <=> ∀ε > 0 ,∃ X>0,使当|x|>X时，恒有|f(x)-A| < ε 
+ x->∞
+ ```
+定理: 
+
+```text
+lim   f(x)=A <=>   lim    f(x)=A 且  lim    f(x)=A
+x->∞               x->+∞             x->-∞  
+```
+
+### 函数极限的性质
+
+- 唯一性
+  ```text
+  如果lim f(x)存在， 那么此极限唯一.
+      x->x0
+  ```
+- 局部有界性
+
 ## 极值 
 
 ### 无穷小
@@ -326,3 +471,10 @@ y=1 就是极小值
 
 ![](images/math_02.png)
 
+
+## links
+
+- 高等数学第６版 上下册
+
+
+