Write MATLAB summary

MNOL-MATLAB/README.md

@@ -0,0 +1,12 @@
+# MNOL - MATLAB
+Nesta secção vamos explorar a parte de MATLAB lecionada em MNOL.
+
+# Índice
+
+* [Introdução ao MATLAB](introducao.md)
+* [Resolver equações e sistemas de equações](equacoes.md)
+* [Estimar valores](estimar_valores.md)
+* [Valor do Integral](integral.md)
+* [Mínimos Quadrados](minimos_quadrados.md)
+* [Quasi-Newton](quasi-newton.md)
+* [Método de Nelder-Mead](nelder-mead.md)

MNOL-MATLAB/equacoes.md

@@ -0,0 +1,22 @@
+# Resolver sistemas de equações
+* definir a função
+* utilizar o comando **fsolve**
+```Matlab
+op = optimset('tolfun',TolFun_Value,'tolx',TolX_Value);
+x1 = Aproximação_inicial;
+format long;
+[x,fval,exitflag, output] = fsolve('fun2', x1, op)
+```
+NOTA: tolx é o critério de paragem
+
+- - - -
+
+# Resolver equação
+* definir a função
+* utilizar o comando **fsolve**
+```Matlab
+op = optimset('tolx',TolX_Value);
+x1 = Aproximação_inicial;
+format long;
+[x,fval,exitflag, output] = fsolve('fun2', x1, op)
+```

MNOL-MATLAB/estimar_valores.md

@@ -0,0 +1,39 @@
+# Estimar valores
+## Polinómio Interpolador de Newton
+* obter os grau + 1 pontos em torno do ponto x (por proximidade)
+* calcular o polinómio interpolador
+```Matlab
+pol = polyfit(points_X, points_Y, grau);
+```
+* calcular um ponto nesse polinómio
+```Matlab
+format long;
+polyval(pol, point_X)
+```
+
+## Spline
+### Spline Cúbica
+```Matlab
+sp = spline(points_X, points_Y, x)
+```
+
+### Spline Cúbica Completa
+```Matlab
+sp = spline(points_X, [declive_inferior points_Y declive_superior], x)
+```
+
+NOTAS(apenas utilizar se for explicitado que é necessário):
+* se tiver função e não tiver declives
+  * derivar função
+  * calcular declive para pontos
+* se não tiver função nem declives
+  * calcular declive dos primeiros dois e últimos dois
+  * remover o segundo ponto e último ponto dos vetores
+
+### Segmento de Spline
+```Matlab
+sp = spline(points_X, points_Y)
+% OU
+sp = spline(points_X, [declive_inferior points_Y declive_superior])
+sp.coefs
+```

MNOL-MATLAB/integral.md

@@ -0,0 +1,25 @@
+# Mínimos Quadrados
+## Polinómios Ortogonais
+```matlab
+x = [1.5 2 3 4]
+y = [4.9 3.3 2 1.5]
+
+[p,s] = polyfit(x,y,1)
+
+polyval(p,2.5)
+
+%Residuo do erro
+(s.normr)^2
+```
+
+## Modelo não polinomial linear
+```matlab
+x = [1.5 2 3 4]
+y = [4.9 3.3 2 1.5]
+
+foo = @(c,x) c(1)./x + c(2).*x
+[c,resnorm,residual,exitflag,out] = lsqcurvefit(foo,[1 1],x,y)
+
+%Residuo do erro
+resnorm
+```

MNOL-MATLAB/introducao.md

@@ -0,0 +1,122 @@
+# Introdução
+
+## Variáveis
+MATLAB e dinamicamente tipado o que significa que não se indica qual e o tipo da
+variável. Desta forma, para declarar uma variável utiliza-se o operador `=`:
+```matlab
+>> x = 20
+x =
+ 20
+>> x = 'JBB'
+x =
+JBB
+>> x = [10*2, pi]
+x =
+   20.0000    3.1416
+```
+
+- - - -
+
+## Vetores
+Para facilmente declarar um vetor pode-se utilizar o método de MATLAB em que se
+indica o valor inicial e final do vetor e o incremento entre cada elemento.
+```matlab
+>> array = 1:2:9
+array =
+    1 3 5 7 9
+```
+Omitindo o campo relativo ao incremento assume-se que seja 1.
+```matlab
+>> array = 1:4
+array =
+    1 2 3 4
+```
+
+- - - -
+
+## Matrizes
+Para declarar uma matriz fila a fila, separando os elementos de cada fila com um
+`;` ou com `\n` e a lista de elementos deve ser rodeada de `[]`
+```matlab
+>> A = [ 1:4 ; 5 6 7 8 ; 9:12 ; 14:17]
+A = 
+     1  2  3  4
+     5  6  7  8
+     9 10 11 12
+    14 15 16 17
+```
+Para aceder a uma matriz utiliza-se o operador `()`, podendo ser indicado um
+intervalo para obter uma slice da matriz
+```matlab
+>> A(2,3)
+ans =
+    7
+
+>> A(2:4, 3:4)
+ans =
+     7  8
+    11 12
+    16 17
+```
+
+- - - -
+
+## Funções pré-definidas importantes
+| funcao      | descricão                              |
+| ----------- | -------------------------------------- |
+| ones(n)     | matriz de 1s tamanho nxn               |
+| zeros(n)    | matriz nula de ordem n                 |
+| eye(n)      | matriz identidade de ordem n           |
+| (A)’        | transposta da matriz A                 |
+| det(A)      | determinante da matriz A               |
+| rank(A)     | característica da matriz A             |
+| inv(A)      | inversa da matriz A                    |
+| diag(A)     | diagonal da matriz A                   |
+| triu(A)     | matriz triangular superior da matriz A |
+| tril(A)     | matriz triangular inferior da matriz A |
+| norm(A,1)   | norma 1 da matriz A                    | 
+| norm(A,inf) | norma inf da matriz A                  | 
+| A \ b       | resolução do sistema linear Ax = b     |
+
+### Exemplo
+```matlab
+>> b=[1; 3; -6]
+>> A=[1 -3 4; 2 5 -2; 3 8 10]
+>> A\b %sistema linear Ax=b
+ans =
+2.2703
+-0.6216
+-0.7838
+```
+
+- - - -
+
+## Definir Funções
+```Matlab
+function [output] = function_name(input)
+output = operation_on_input
+```
+**NOTA:** definir na *Function Window*
+
+### Exemplos
+* definir uma função "normal"
+```Matlab
+function [f] = fun1(x)
+f = x^2 + x +1
+```
+
+* definir um sistema de equações
+```Matlab
+function [f] = fun2(x)
+f(1) = x
+f(2) = x^2
+```
+
+**NOTA:** é possível definir lambdas com `@(x) operation_on_x`
+
+
+## Alterar precisão
+```matlab
+format long  % 15 casas decimais
+format short %  5 casas decimais
+```

MNOL-MATLAB/minimos_quadrados.md

@@ -0,0 +1,25 @@
+# Mínimos Quadrados
+## Polinómios Ortogonais
+```matlab
+x = [1.5 2 3 4]
+y = [4.9 3.3 2 1.5]
+
+[p,s] = polyfit(x,y,1)
+
+polyval(p,2.5)
+
+%Residuo do erro
+(s.normr)^2
+```
+
+## Modelo não polinomial linear
+```matlab
+x = [1.5 2 3 4]
+y = [4.9 3.3 2 1.5]
+
+foo = @(c,x) c(1)./x + c(2).*x
+[c,resnorm,residual,exitflag,out] = lsqcurvefit(foo,[1 1],x,y)
+
+%Residuo do erro
+resnorm
+```

MNOL-MATLAB/nelder-mead.md

@@ -0,0 +1,8 @@
+# Método de Nelder-Mead
+```matlab
+foo = @(x) max(abs(x(1)),abs(x(2)-1))
+
+op = optimset('display','iter')
+
+[x,y,ef,out] = fminsearch(foo,[1 1],op)
+```

MNOL-MATLAB/quasi-newton.md

@@ -0,0 +1,40 @@
+# Quasi-Newton
+Este método apenas calcula o mínimo. Assim, para calcular o máximo utilizamos a
+seguinte formula:
+```
+max = -min(-f(x))
+```
+
+## Sem derivadas
+```matlab
+foo = @(x) 0.25*x(1)^4-0.5*x(1)^2+0.1*x(1)+0.5*x(2)^2
+fminunc(foo)
+% OU
+[x,y,ef,out] = fminunc(@(x) 0.25*x(1)^4-0.5*x(1)^2+0.1*x(1)+0.5*x(2)^2,[-1 0.5])
+```
+
+> Se `ef < 0` não converge
+
+> Se `ef = 0` atinge nº max iterações -> aumentar maxIter
+
+> Se `ef > 0` converge
+
+## Com derivadas
+```matlab
+function [f,g] = foo(x)
+    f = 0.25*x(1)^4-0.5*x(1)^2+0.1*x(1)+0.5*x(2)^2;
+    g(1) = x(1)^3 %derivada em x1
+    g(2) = x(2)   %derivada em x2
+end
+
+op = optimset('gradobj','on')
+[x,y,ef,out] = fminunc('foo',[-1 0.5],op)
+
+```
+
+### optimset options:
+* 'tolfun',10
+* 'tolx',10
+* 'HessUpdate','DFP'
+* 'MaxIter',10000
+* 'MaxFunEvals',10000

README.md

@@ -18,6 +18,9 @@ Para guardarem este repositório podem fazer `star`.
   * [Java](POO-Java/README.md)
   * [SO](SO/README.md)
 
+## Terceiro ano
+  * [MNOL](MNOL-MATLAB/README.md)
+
 # Contribuidores
 
 ## Resumos