quarternion

_posts/2024-05-02-개념-quaternion.md

@@ -6,10 +6,108 @@ description:
 categories: [개념]
 author: rosi
 tags:
+math: true
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 ### c code
-[Quaternion, Euler, Matrix변환](/assets/img/개념/quaternion_euler.c)
+[Quaternion, Euler, Matrix변환](/assets/img/개념/2024-05-02-개념-quaternion/quaternion_euler.c)
 
-### quaternion
-[Quaternion](https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion)
+### 필수x100 시청영상
+아래 영상은 Quaternion은 complex를 확장한 것이고,\
+Quaternion에 unit quaternion을 곱하는 것은 4d hypersphere의 회전임을 직관적으로 설명하는 3Blue1Brown의 감동적인 영상이다.\
+[Visualizing quaternions (4d numbers) with stereographic projection](https://www.youtube.com/watch?v=d4EgbgTm0Bg)
+[Quaternions and 3d rotation, explained interactively](https://www.youtube.com/watch?v=zjMuIxRvygQ&t=115s)\
+[quaternions simulation](https://eater.net/quaternions)
+
+### 개요
+
+mujoco를 통해 biper의 다리회전을 구현하다가 로보틱스에서는 회전을 quaternion으로 표현하는게 많은 이득이 있다고 한다.(gimbal lock해결)\
+위키피디아에서 [Quaternion](https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion)에 대해 알아보았다.\
+Quaternion이 SO(3)에 속하는, 회전행렬과 동치라는 것 말고는 이해가 안된다.. lie group과 마찬가지로 추상대수학에 대한 이해가 필요해보인다.\
+3차원 회전 연산(rotation operation)만 보면, 사원수의 회전 표현식이 벡터나 행렬 공식보다 확실히 아름답다고한다.
+
+### 문제상황
+
+1. 우선 Quaternion이 뭔지 직관적으로 모르겠다.\
+2. c code[Quaternion, Euler, Matrix변환](/assets/img/개념/2024-05-02-개념-quaternion/quaternion_euler.c)이 이해가 안된다.
+
+### 해결방법
+1. 부족한 직관을 채우기위해 유튜브에서 3Blue1Brown이 제작한 [Visualizing quaternions (4d numbers) with stereographic projection](https://www.youtube.com/watch?v=d4EgbgTm0Bg)을 참고했다.
+2. 회전에 대응되는 Quaternion number 계산방법을 알아보기위해 [Using quaternions as rotations](https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation#Using_quaternions_as_rotations)을 참고했다.
+
+### 1.2. Quaternion에 대한 이해
+
+quaternion은 real quaternion와 vector quaternion(i,j,k)으로 나뉜다.\
+$$
+{\displaystyle a+b\ \mathbf {i} +c\ \mathbf {j} +d\ \mathbf {k} ,}
+$$
+
+quaternion에 unit quaternion을 곱하는 행위는 4d hyper sphere를 회전시키는 것이다..!\
+(정확히는 동기화된 서로 직교하는 두 원의 2d회전. 한 원이 회전하는 양만큼 직교하는 다른 원도 회전한다.)\
+unit quaternion를 나타내는 모든 좌표 상의 임의의 점은 회전으로 생각할 수 있고, 그 모든 점(회전)은 3d로 mapping할 수 있다.\
+
+아래 영상과 같이, 초기에 real part가 0이라서 vector space(ijk)에 unit sphere로 표시되는 4d hypersphere는\
+우측상단에 표기되는 unit quaternion을 곱할 때, 우리가 인지할 수 없는 방식으로 회전하게된다.\
+해당 경우 pure한 i축 성분을 곱하고 있으므로 i축에 대한 회전이다.\
+회전의 결과는 역시 unit quaternion를 나타내는 모든 좌표 상의 임의의 점으로 나타난다.
+
+![영상](/assets/img/개념/2024-05-02-개념-quaternion/quaternion_rotation.gif){: width=300}
+
+영상의 결과에 대해 해석해보자.\
+해당 vector space(ijk)에서 회전의 결과인 점들의 이동을 살펴보면, i를 곱할 때마다 다음과 같은 일이 벌어진다.\
+jk평면에 mapping한 경우: i축기준으로 반시계로 90도 회전\
+jk평면과 수직한 평면(real,i평면)에 mapping한 경우:\
+해당 공간에서 real축을 인지할 수는 없지만, 2d에서 회전에 해당하는 2d circle을 1d line에 mapping할 수 있었던 것처럼,\
+(**real,i축에 수직한 축 기준으로 회전의 결과를 i축에 나타내는 방법. 이를 i축에 대한 회전이라고 하자**. 이게 핵심임.\
+허수축은 방향만을위해 존재하는 것이지 대소비교는 의미없으므로 이런짓이 가능함. 회전의 결과를 i축 여러군데에 표시하는 거임.)\
+4d hypersphere이 i축을 지나는 교점만큼은 mapping을 통해 인지할 수 있다.\
+따라서 i축의 1d line을 따라 1,i,-1,-i(실제 대소비교가 불가능하지만 2d를 1d로 projection하면 이러한 순서임)순서로 반복하는 각 현상은\
+{real,i}평면에서 2d circle을 따라 {real축,i축}에 수직한 축기준으로 90도 회전하는 현상이 일어났고 이를 i축에 projection한 것이라고 상상할 수 있다.\
+즉 **i축**기준회전이라는 말은 사실 {i,j,k,real}모든 축에 대한 회전이고, 우리는 real축을 인지할 수 없기때문에 \
+이를 **i축**에 projection함으로써, i축에 회전량이 기록되고, quaternion number로 표기되는 것임.
+
+정리하자면 순수한 회전이라는 말은, unit quternion number를 곱한다는 말이고,\
+이 경우 곱해지는 quternion number를 구성하는 성분 중에 real quternion의 인지를 포기하고 vector quternion을 basis로 하는 space에\
+real number -1에서 바라보는 방향으로 quternion number를 projection할 경우,\
+각 축에는 real축과 그 축에 수직인 축에 대한 회전량이 저장되어 있기때문에\
+곱해진 결과인 quternion number를 통해 각 축에 대한 회전량을 알 수 있게 된다.\
+(i축에는 i와 real에 수직인 축에 대한 회전,j축에는 j와 real에 수직인 축에 대한 회전,k축에는 k와 real에 수직인 축에 대한 회전)\
+즉 다음과 같이 임의의 unit quaternion을 곱하게 될 때, 이에 수직하고 vector space의 원점(1+0i+0j+0k)을 지나는 평면은 vector quaternion의 크기만큼 회전(최대 1 radian이므로 90degree)하게 된다.\
+(이 때 회전축은 {real,i,j,k}에 모두 수직인 방향으로의 hyper sphere의 회전이고, 인지할 수 없는 orthogonal한 세축에 대해 $$ \sin(\theta) $$만큼 projection되기때문에, 그러므로 각 basis에 대해 모두 수직인 방향으로 회전이 일어나는 것이고, 각각에 projection될 수 있기때문에 그 합은 vector quaternion의 크기와 같다.)\
+![회전](/assets/img/개념/2024-05-02-개념-quaternion/rotation%20for%20each%20axis.png){: width=300}
+
+이는 3차원의 회전을 기술하기 위한 것으로, 4차원 hyper sphere를 회전시키고 real축의 인지를 포기하면 3축(i,j,k축은 아닌 어떤 축)에 대한 회전량을 알 수 있게 되는 놀라운 계산법인 것이다..
+
+
+### 1.2. 주의할 점
+
+quternion number는 complex number의 확장인만큼, commutativity(교환성)가 성립하지 않는다.\
+실수의 경우 교환법칙이 성립하지만, 사실 commutativity는 매우 특별한 특성이며\
+우리가 아는게 적어서 그렇지 실제로는 대부분의 행동그룹에서 commutativity가 성립되는 경우는 드물다고 한다.
+
+### 2. Quaternion, Euler, Matrix변환
+
+[Using quaternions as rotations](https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation#Using_quaternions_as_rotations)을 보면,\
+
+다음과 같이 표현되는 unit vector를 축으로 rotation of angle $$\theta$$ 만큼 회전하는 경우,
+$$
+{\displaystyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y},u_{z})=u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} }
+$$
+
+unit vector에 대해 $$\theta/2$$만큼 회전하는 quaternion number는 다음과 같다.
+$$
+{\displaystyle \mathbf {q} =e^{ {\frac {\theta }{2}}{(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )}}=\cos {\frac {\theta }{2}}+(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )\sin {\frac {\theta }{2}}=\cos {\frac {\theta }{2}}+\mathbf {u} \sin {\frac {\theta }{2}}}
+$$
+
+unit quaternion의 크기는 최대 1 radian이므로 90degree이고, 한쪽방향에서 양의 회전만으로 SO(3) group전체를 덮는 것은 불가능하다.(180degree가 필요하다.)\
+그래서 한 축방향으로 오른손법칙으로 $$\theta/2$$만큼 돌리고, 반대 축방향에서 왼손법칙으로 $$\theta/2$$만큼 한번더 돌리는 방식으로 총 $$\theta$$만큼의 회전을 정의한다.
+
+회전이 pure queternion $${\displaystyle \mathbf {p'} }$$에 적용될 경우, q에 의한 $$p'$$의 congugation으로써 다음과 같이 나타난다.
+
+$$
+{\displaystyle L(\mathbf {p'} ):=\mathbf {q} \mathbf {p'} \mathbf {q} ^{-1}=(0,\mathbf {r} ),}
+$$
+
+$$
+{\displaystyle \mathbf {r} =(\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}||\mathbf {u} ||^{2})\mathbf {p} +2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}(\mathbf {u} .\mathbf {p} )\mathbf {u} +2\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}(\mathbf {u} \times \mathbf {p} ),}
+$$